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相关试卷

1、设实数 $a$ ， $b$ ， $c$ 满足， $a^{2} + b^{2} \leq c \leq 1$ 则 $a + b + c$ 的最小值为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2} - 1$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $- 1$

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2、目前发射人造天体，多采用多级火箭作为运载工具．其做法是在前一级火箭燃料燃烧完后，连同其壳体一起抛掉，让后一级火箭开始工作，使火箭系统加速到一定的速度时将人造天体送入预定轨道．现有材料科技条件下，对于一个 $n$ 级火箭，在第 $n$ 级火箭的燃料耗尽时，火箭的速度可以近似表示为 $v = 3 l n \frac{1 0^{n} a_{1} a_{2} ⋯ a_{n}}{(9 + a_{1}) (9 + a_{2}) ⋯ (9 + a_{n})}$ ，
其中 $a_{i} = \frac{m_{p} + \sum_{j = i}^{n} m_{j}}{m_{p} + \sum_{j = i}^{n} m_{j} - m_{i}} (i = 1, 2, ⋯, n)$ ．
注： $m_{p}$ 表示人造天体质量， $m_{j}$ 表示第 $j$ （ $j = 1, 2, ⋯, n$ ）级火箭结构和燃料的总质量．
给出下列三个结论：
① $a_{1} a_{2} ⋯ a_{n} < 1$ ；
②当 $n = 1$ 时， $v < 3 l n 10$ ；
③当 $n = 2$ 时，若 $v = 12 l n 2$ ，则 $\sqrt{a_{1} a_{2}} ≥ 6$ ．
其中所有正确结论的序号是．

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3、已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ， $a \geq \frac{1}{a} + \frac{2}{b}$ ， $b \geq \frac{1}{b} + \frac{2}{a}$ ，则 $a + b$ 的最小值为．

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4、我们可以利用曲线和直线写出很多不等关系，如由 $y = l n x$ 在点 $(0, 1)$ 处的切线 $y = x - 1$ 写出不等式 $l n x \leq x - 1$ ，进而用 $\frac{n + 1}{n}$ 替换 $x$ 得到一系列不等式，叠加后有 $l n (n + 1) < 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{n}$ 这些不等式体现了数学之美.运用类似方法推导，下面的不等式正确的有（）

A、 $n! < e^{\frac{n (n - 1)}{2}}$ B、 $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{n} < l n n (n \geq 2)$ C、 $(1 + \frac{1}{n^{2}}) (1 + \frac{2}{n^{2}}) \dots (1 + \frac{n}{n^{2}}) < e^{\frac{3}{4}}$ D、 ${(\frac{1}{2})}^{2} + {(\frac{2}{3})}^{3} + \dots + {(\frac{n}{n + 1})}^{n + 1} < \frac{1}{e}$

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5、已知两个不为零的实数 $x$ ， $y$ 满足 $x < y$ ，则下列说法中正确的有（）

A、 $3^{| x - y |} > 1$ B、 $x y < y^{2}$ C、 $x | x | < y | y |$ D、 $\frac{1}{x} > \frac{1}{y}$

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6、已知函数 $y = f (x), y = g (x)$ 满足：对任意 $x_{1}, x_{2} \in R$ ，都有 $| f (x_{1}) - f (x_{2}) | \geq | g (x_{1}) - g (x_{2}) |$ ．
命题 $p$ ：若 $y = f (x)$ 是增函数，则 $y = f (x) - g (x)$ 不是减函数；
命题 $q$ ：若 $y = f (x)$ 有最大值和最小值，则 $y = g (x)$ 也有最大值和最小值．
则下列判断正确的是（）

A、 $p$ 和 $q$ 都是真命题 B、 $p$ 和 $q$ 都是假命题 C、 $p$ 是真命题， $q$ 是假命题 D、 $p$ 是假命题， $q$ 是真命题

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7、已知 $a < b < c$ ，且 $a + 2 b + 3 c = 0$ ，则下列结论成立的是（）

A、 $a + c < 0$ B、 $\frac{c}{a} + \frac{a}{c} < - 2$ C、存在 $a, c$ 使得 $a^{2} - 25 c^{2} = 0$ D、若 $x y < 0$ 且 $x^{2} + y^{2} = 1$ ，则 $x y \geq \frac{b + c}{a + c}$

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8、已知 $c > 0$ ，且 $2^{a} = 3^{b} = 5^{c}$ ，则（）

A、 $a > b > c$ B、 $a c < b^{2}$ C、 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} > \frac{1}{c}$ D、若 $a + c = a c$ ，则 $b = l o g_{3} 10$

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9、已知 $a > b > 0, c > 0$ ，则下列式子正确的是（）

A、 $c - b > c - a$ B、 $\frac{1}{\sqrt{a c}} < \frac{1}{\sqrt{b c}}$ C、 $\frac{a + b}{a + 2 \sqrt{2 a b}} \geq \frac{1}{2}$ D、 $\frac{a}{b} < \frac{a + c}{b + c}$

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10、已知 $a, b \in (0, + \infty)$ ， $λ = a + b, μ = \sqrt{3 a b}$ ，则（）

A、 $λ - μ < 0$ B、 $λ - μ \geq 0$ C、 $\frac{μ}{λ} \leq \frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{μ}{λ} > \frac{\sqrt{3}}{2}$

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11、已知 $a, b, c \in R$ ，则下列命题为假命题的是（）

A、若 $a > b$ ，则 $a + c > b + c$ B、若 $a > b > 0$ ，则 $a^{0.4} > b^{0.4}$ C、若 $a > b$ ，则 ${(\frac{1}{2})}^{a + c} < {(\frac{1}{2})}^{b + c}$ D、若 $a > b > 0, c > 0$ ，则 $\frac{b}{a} > \frac{b + c}{a + c}$

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12、若 $a, b \in R$ ，且 $a > b$ ，则（）

A、 $\frac{1}{a^{2} + 1} < \frac{1}{b^{2} + 1}$ B、 $a^{2} b > a b^{2}$ C、 $a^{2} > a b > b^{2}$ D、 $a > \frac{a + b}{2} > b$

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13、若实数 $x, y, z \geq 0$ ，且 $x + y + z = 4, 2 x - y + z = 5$ ，则 $M = 4 x + 3 y + 5 z$ 的取值范围是.

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14、已知 $a < b < 0 < c$ ，下列不等式正确的是（）

A、 $\frac{b}{a} < \frac{a}{b}$ B、 $a^{2} < c^{2}$ C、 $2^{a} < 2^{c}$ D、 $l o g_{c} (- a) < l o g_{c} (- b)$

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15、下列说法错误的是（）

A、若正实数 $a, b$ 满足 $a + b = 1$ ，则 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ 有最小值4 B、若正实数 $a, b$ 满足 $a + 2 b = 1$ ，则 $2^{a} + 4^{b} \geq 2 \sqrt{2}$ C、 $y = \sqrt{x^{2} + 3} + \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 3}}$ 的最小值为 $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ D、若 $a > b > 1$ ，则 $a b + 1 < a + b$

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16、已知锐角 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 $sin A (a^{2} + b^{2} - c^{2}) = a b (2 sin B - sin C)$ ．

(1)、求A；

(2)、求 $sin B + sin C$ 的取值范围．

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17、若 ${(2 x - 1)}^{4} = a_{4} x^{4} + a_{3} x^{3} + a_{2} x^{2} + a_{1} x + a_{0}$ ，则 $a_{0} + a_{2} + a_{4} =$ （）

A、40 B、41 C、 $- 40$ D、 $- 41$

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18、已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{b} | = 3 \sqrt{2}$ ，且对任意 $t \in R$ ，但有 $| \vec{b} - t \vec{a} | \geq | \vec{b} - \vec{a} |$ ，则 $| \vec{a} - \vec{b} | + | \vec{a} |$ 的最大值是．

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19、同学们，你们是否注意到，自然下垂的铁链；空旷的田野上，两根电线杆之间的电线；峡谷的上空，横跨深洞的观光索道的钢索.这些现象中都有相似的曲线形态.事实上，这些曲线在数学上常常被称为悬链线.悬链线的相关理论在工程、航海、光学等方面有广泛的应用.在恰当的坐标系中，这类函数的表达式可以为 $f (x) = a e^{x} + b e^{- x}$ （其中 $a$ ， $b$ 是非零常数，无理数 $e = 2.71828 \cdot \cdot \cdot$ ），对于函数 $f (x)$ 以下结论正确的是（）

A、 $a = b$ 是函数 $f (x)$ 为偶函数的充分不必要条件； B、 $a + b = 0$ 是函数 $f (x)$ 为奇函数的充要条件； C、如果 $a b < 0$ ，那么 $f (x)$ 为单调函数； D、如果 $a b > 0$ ，那么函数 $f (x)$ 存在极值点.

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20、已知函数 $f (x) = x l n x - a x^{2} - \frac{1}{2} x^{2}$ ，则“ $f (x)$ 有两个极值”的一个充分不必要条件是（）

A、 $- 1 < a < 1$ B、 $- \frac{1}{4} < a < 0$ C、 $- \frac{1}{2} < a < 0$ D、 $0 < a < \frac{1}{2}$

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