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相关试卷

1、把正方形纸片 $A B C D$ 沿对角线 $A C$ 折成直二面角， $E$ 为 $A B$ 的中点， $F$ 为 $C D$ 的中点， $O$ 是原正方形 $A B C D$ 的中心，则折纸后 $∠ E O F$ 的余弦值大小为（）

A、 $- \frac{\sqrt{6}}{6}$ B、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $- \frac{1}{3}$

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2、已知函数 $f (x) = \cos x + \sin 2 x$ ，则 $f^{'} (\frac{π}{2}) =$ （）

A、 $- 3$ B、 $0$ C、 $- 2$ D、 $2$

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3、双曲线 $\frac{x^{2}}{2} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ 的焦点到渐近线的距离为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、2 C、 $\sqrt{6}$ D、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$

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4、在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ 为 $A_{1} D_{1}$ 的中点，若 $\vec{B E} = x \vec{A B} + y \vec{A D} + z \vec{A A_{1}}$ ，则 $(x, y, z) =$ （）

A、 $(- 1, \frac{1}{2}, 1)$ B、 $(1, \frac{1}{2}, 1)$ C、 $(1, - \frac{1}{2}, 1)$ D、 $(- 1, - \frac{1}{2}, 1)$

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5、已知圆 $C_{1}$ ： $x^{2} + y^{2} - 4 x = 0$ ，圆 $C_{2}$ ： $x^{2} + y^{2} - 2 x - 2 y + 1 = 0$ ，则两圆的位置关系为（）

A、内切 B、相交 C、外切 D、外离

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6、经过 $A (- 1, 2 \sqrt{3}), B (2, \sqrt{3})$ 两点的直线的倾斜角为（）

A、30° B、60° C、120° D、150°

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7、已知函数 $f (x) = (m + 1) x^{2} - (m - 1) x + m - 1$ ．

(1)、若不等式 $f (x) < 1$ 的解集为R，求m的取值范围；

(2)、解关于x的不等式 $f (x) \geq (m + 1) x$ ；

(3)、若不等式 $f (x) \geq 0$ 对一切 $x \in [- \frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$ 恒成立，求m的取值范围．

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8、已知向量 $\vec{a} = (\sin α, \cos α)$ ， $\vec{b} = (1, \sqrt{3})$ ， $\vec{c} = (\cos β, - \sin β)$ ， $α \in (0, π)$ ，

(1)、若 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ，求 $α$ 的值；

(2)、若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ， $\vec{a} \cdot \vec{c} = \frac{3}{5}$ ， $β \in (\frac{π}{6}, \frac{π}{2})$ ，求 $\sin β$ 的值．

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9、已知复数 $z = (2 + i) m + \frac{2 i}{1 - i}$ （其中 $i$ 是虚数单位， $m \in R$ ）．

(1)、若复数 $z$ 是纯虚数，求 $m$ 的值；

(2)、求 $|z + 1|$ 的取值范围．

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10、平面向量 $\vec{m}, \vec{n}$ 满足 $| \vec{m} | = | \vec{n} | = 1$ ，对任意的实数 $t$ ，不等式 $| \vec{m} - \frac{1}{2} \vec{n} | \leq | \vec{m} + t \vec{n} |$ 恒成立，则 $| \vec{n} - t \vec{m} |$ 的最小值为．

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11、在一个如图所示的直角梯形 $A B C D$ 内挖去一个扇形， $E$ 恰好是梯形的下底边的中点，将所得平面图形绕直线 $D E$ 旋转一圈，则所得几何体的体积为．

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12、如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 棱长为1，P是 $A_{1} D$ 上的一个动点，下列结论中正确的是（）

A、BP的最小值为 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ B、当P在 $A_{1} D$ 上运动时，都有 $C_{1} P ⊥ B D_{1}$ C、当P在直线 $A_{1} D$ 上运动时，三棱锥 $A - B_{1} P C$ 的体积不变 D、 $P A + P C$ 的最小值为 $\sqrt{2 - \sqrt{2}}$

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13、已知向量 $\vec{a} = (m, - 1), \vec{b} = (- 2, 1)$ ，则下列说法正确的是（）

A、若 $m = 1$ ，则 $|\vec{a} - \vec{b}| = \sqrt{13}$ B、若 $\vec{a}$ ⊥ $\vec{b}$ ，则 $m = 2$ C、“ $m > - \frac{1}{2}$ ”是“ $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为钝角”的充要条件 D、若 $m = - 1$ ，则 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 上的投影向量的坐标为 $(- \frac{1}{2}, - \frac{1}{2})$

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14、已知点 $O$ 为 $Δ A B C$ 外接圆的圆心，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $a = 3$ ，若 $\overset{⇀}{B O} \cdot \overset{⇀}{A C} = 2$ ，则当角 $C$ 取到最大值时 $Δ A B C$ 的面积为（）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $2 \sqrt{5}$ C、 $\sqrt{10}$ D、 $2 \sqrt{3}$

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15、如图，已知正四棱锥 $P - A B C D$ 的所有棱长均为2， $E$ 为棱 $P A$ 的中点，则异面直线 $B E$ 与 $P C$ 所成角的余弦值为（）.

A、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ B、 $- \frac{\sqrt{6}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $- \frac{\sqrt{3}}{3}$

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16、达·芬奇的经典之作《蒙娜丽莎》举世闻名，画中女子神秘的微笑，数百年来让无数观赏者入迷，现将画中女子的嘴唇近似的看作一个圆弧，设嘴角 $A$ 、 $B$ 间的圆弧长为 $l$ ，嘴角间的距离为 $d$ ，圆弧所对的圆心角为 $θ$ （ $θ$ 为弧度角），则 $l$ 、 $d$ 和 $θ$ 所满足的恒等关系为（）

A、 $\frac{\sin \frac{θ}{2}}{θ} = \frac{d}{l}$ B、 $\frac{2 \sin \frac{θ}{2}}{θ} = \frac{d}{l}$ C、 $\frac{\cos \frac{θ}{2}}{θ} = \frac{d}{l}$ D、 $\frac{2 \cos \frac{θ}{2}}{θ} = \frac{d}{l}$

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17、已知平面向量 $\vec{a} = (m, - 4)$ ， $\vec{b} = (- 1, m + 3)$ ，若存在实数 $λ > 0$ ，使得 $\vec{a} = λ \vec{b}$ ，则实数 $m$ 的值为（）

A、 $- 1$ B、 $- 4$ C、 $1$ D、 $4$

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18、在 $△ A B C$ 中， $B = 30^{\circ}, b = 2$ ， $c = 2 \sqrt{2}$ ，则角A的大小为（）

A、 $45^{\circ}$ B、 $135^{\circ}$ 或 $45^{\circ}$ C、 $15^{\circ}$ D、 $105^{\circ}$ 或 $15^{\circ}$

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19、已知 $A = {x |(x - 1) (2 + x) < 0}$ ， $B = {x |\log_{2} x < 1}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(- 2, 1)$ B、 $(0, 2)$ C、 $(- 3, 2)$ D、 $(0, 1)$

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20、在复数域中，对于正整数 $n$ ，满足 $z^{n} - 1 = 0$ 的所有复数 $z = \cos \frac{2 k π}{n} + i \sin \frac{2 k π}{n} (k \in Z)$ 称为 $n$ 次单位根，若一个 $n$ 次单位根满足对任意小于 $n$ 的正整数 $m$ ，都有 $z^{m} \neq 1$ ，则称该 $n$ 次单位根为 $n$ 次本原单位根，规定1次本原单位根为1，例如当 $n = 4$ 时存在四个 $4$ 次单位根 $\pm 1, \pm i$ ，因为 $1^{1} = 1$ ， ${(- 1)}^{2} = 1$ ，因此只有两个 $4$ 次本原单位根 $\pm i$ ，对于正整数 $n$ ，设 $n$ 次本原单位根为 $z_{1}, z_{2}, ..., z_{m}$ ，则称多项式 $(x - z_{1}) (x - z_{2}) (x - z_{3}) ... (x - z_{m})$ 为 $n$ 次本原多项式，记为 $f_{n} (x)$ ，规定 $f_{1} (x) = x - 1$ ，例如 $f_{4} (x) = (x - i) (x + i) = x^{2} + 1$ ，请回答以下问题.

(1)、直接写出 $8$ 次单位根，并指出哪些是 $8$ 次本原单位根（无需证明）；

(2)、求出 $f_{8} (x)$ ，并计算 $f_{8} (x) f_{4} (x) f_{2} (x) f_{1} (x)$ ，由此猜想 $f_{16} (x) f_{8} (x) f_{4} (x) f_{2} (x) f_{1} (x)$ （无需证明）；

(3)、设所有 $16$ 次本原单位根在复平面内对应的点为 $A_{1}, A_{2}, A_{3}, ..., A_{m}$ ，复平面内一点 $P$ 所对应的复数 $z$ 满足 $|z| = \sqrt[4]{3}$ ，求 $|\vec{P A_{1}}| \cdot |\vec{P A_{2}}| \cdot |\vec{P A_{3}}| \cdot ... \cdot |\vec{P A_{m}}|$ 的取值范围.

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