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相关试卷

1、已知 $(3 + i) z = i$ （ $i$ 是虚数单位），则 $|z| =$ （）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{10}}{10}$ D、 $\sqrt{10}$

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2、设函数 $f (x) = \frac{e^{x} (2 x + 1)}{x}$ ，则（）

A、函数 $f (x)$ 的单调递减区间为 $(- 1, \frac{1}{2})$ ． B、曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, 3 e)$ 处的切线方程为 $y = e (2 x + 1)$ ． C、函数 $f (x)$ 既有极大值又有极小值，且极大值小于极小值． D、若方程 $f (x) = k$ 有两个不等实根，则实数k的取值范围为 $(0, \frac{1}{e}) \cup (4 \sqrt{e}, + \infty)$

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3、对非空数集 $X$ 、 $Y$ ，定义 $X$ 与 $Y$ 的和集 $X + Y = \{x + y |x \in X, y \in Y\}$ .对任意有限集 $A$ ，记 $|A|$ 为集合 $A$ 中元素的个数.

(1)、若集合 $X = \{1, 2, 3\}$ ， $Y = \{1, 3, 5, 7\}$ ，写出集合 $X + X 与 X + Y$ ；

(2)、若集合 $X = \{x_{1}, x_{2}, \dots, x_{1013}\}$ 满足 $x_{1} < x_{2} < \dots < x_{1013}$ ，且 $|X + X| < 2026$ ，求 $|X + X|$ .

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4、如图，在四棱锥 $S - A B C D$ 中，已知 $S A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A B C D$ 为平行四边形， $∠ A B C = 60^{\circ}$ ， $A B = 2$ ， $S A = 2$ ， $S D ⊥ A C$ ， $P$ 为侧棱 $S D$ 上的点.

(1)、求证： $A C ⊥ A P$ ；

(2)、若 $S B / /$ 平面 $P A C$ ，求 $\frac{S P}{S D}$ 的值；

(3)、若二面角 $P - A C - D$ 的大小为 $60^{\circ}$ ，求 $\frac{S P}{S D}$ 的值．

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5、已知点 $A (1, 3)$ ，直线 $l : x + 2 y + 3 = 0$ .

(1)、求过点 $A$ 且与直线 $l$ 平行的直线方程；

(2)、求过点 $A$ 且与直线 $l$ 垂直的直线方程；

(3)、求点 $A$ 关于直线 $l$ 的对称点的坐标．

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6、如图，在棱长为 $2$ 的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $E$ 是 $A B$ 的中点.

(1)、求 $A_{1} B_{1}$ 与平面 $B_{1} E D_{1}$ 所成角的正弦值；

(2)、求二面角 $D_{1} - B_{1} E - B$ 的余弦值；

(3)、求点 $A_{1}$ 到平面 $B_{1} E D_{1}$ 的距离．

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7、已知点 $A (1, 3)$ 、 $B (2, 4)$ .

(1)、求经过点 $A$ ，且倾斜角为 $60^{\circ}$ 的直线方程；

(2)、求经过点 $A$ 、 $B$ 的直线在 $x$ 轴和 $y$ 轴上的截距；

(3)、若原点为 $O$ ，求经过点 $A$ 且以 $\overset{⇀}{O B}$ 为法向量的直线的一般式方程；

(4)、已知直线 $l$ 经过点 $P (2, 1)$ ，且 $A$ 、 $B$ 两点到直线 $l$ 的距离相等，求直线 $l$ 的方程．

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8、已知 $△ A B C$ 中， $b = \sqrt{3}$ ， $c = \sqrt{2}$ ， $B = 60^{\circ}$ ．

(1)、求 $C$ 及 $\sin A$ 的值；

(2)、求 $a$ 及 $△ A B C$ 面积.

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9、如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $△ P A B$ 是等边三角形， $∠ P A C = ∠ P B C = 90^{\circ}$ ，平面 $P A C ⊥$ 平面 $P B C$ ， $P C = 2$ ．给出下列四个结论：
① $A C = B C$ ；
② $P B = B C$ ；
③ $P C ⊥ A B$ ；
④三棱锥 $P - A B C$ 的体积为 $\frac{8}{3}$ .
其中，所有正确结论的序号为．

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10、已知棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E, M, N$ 分别为 $A_{1} B_{1}, A D, C C_{1}$ 的中点，则直线 $A C$ 与平面 $E M N$ 之间的距离为．

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11、函数 $y = x^{\frac{2}{3}}$ 的单调递增区间为．

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12、已知 $△ A B C$ 的三个顶点 $A (2, 2)$ 、 $B (2, 0)$ 、 $C (0, 1)$ ，则 $△ A B C$ 的 $A C$ 边上的高的长度为．

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13、函数 $y = \lg (2 x^{2} - 2 x - 4)$ 的定义域为．

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14、已知 $△ A B C$ 是边长为 $1$ 的等边三角形， $P$ 为平面 $A B C$ 内的一点，则 $\vec{P A} \cdot (\vec{P B} + \vec{P C})$ 的最小值为（）

A、 $- \frac{3}{8}$ B、 $- \frac{1}{3}$ C、 $- \frac{3}{4}$ D、 $- \frac{3}{16}$

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15、如图，在三棱锥 $O - A B C$ 中， $O A, O B, O C$ 两两互相垂直， $E$ 为 $O C$ 的中点，且 $O B = O C = 2 O A = 2$ ，则直线 $A E$ 与 $C B$ 所成角的大小为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{2π}{3}$

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16、若 $A B C D$ 是平行四边形，且 $A (2, - 5, 1)$ 、 $B (2, - 2, 4)$ 、 $C (1, - 4, 1)$ ，则顶点 $D$ 的坐标为（）

A、 $(1, - 7, - 2)$ B、 $(1, - 1, 4)$ C、 $(1, - 2, 3)$ D、 $(1, - 6, - 1)$

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17、函数 $y = 2 \sin^{2} x + \sin 2 x$ 的最大值为（）

A、 $1 - \sqrt{2}$ B、 $3$ C、 $\sqrt{2} + 1$ D、 $\sqrt{2}$

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18、已知 $\vec{v}$ 是空间中直线 $l$ 的方向向量， $\vec{n}$ 是平面 $α$ 的一个法向量，那么“ $\vec{v} ⊥ \vec{n}$ ”是“直线 $l$ 与平面 $α$ 平行”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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19、已知 $\vec{a} = (- 1, 2, 2)$ ， $\vec{b} = (- 2, 2, 1)$ ，若 $\vec{a} ⊥ (\vec{a} - λ \vec{b})$ ，则实数 $λ =$ （）

A、 $\frac{8}{9}$ B、 $\frac{6}{7}$ C、 $\frac{9}{8}$ D、 $\frac{9}{4}$

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20、已知 $\vec{a} = (\sqrt{3}, 1, 0)$ ， $\vec{b} = (- 2, 0, 0)$ ，则 $⟨\vec{a}, \vec{b}⟩$ 是（）

A、 $30^{\circ}$ B、 $60^{\circ}$ C、 $150^{\circ}$ D、 $120^{\circ}$

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