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相关试卷

1、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，点 $P$ 在椭圆 $C$ 上，且 $P F_{2} ⊥ F_{1} F_{2}$ ，过 $P$ 作 $F_{1} P$ 的垂线交 $x$ 轴于点 $A$ ，若 $|A F_{2}| = \frac{1}{2} c$ ，记椭圆的离心率为 $e$ ，则 $e^{2} =$ .

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2、已知平面 $α$ 内一点 $P (8, 9, 5)$ ，点 $Q (1, 2, 2)$ 在平面 $α$ 外，若 $α$ 的一个法向量为 $\vec{n} = (4, 3, - 12)$ ，则 $Q$ 到平面 $α$ 的距离为．

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3、已知 $\vec{a} = (1, 1, \sqrt{2})$ ， $|\vec{b}| = 2$ ， $|\vec{a} - \vec{b}| = 2$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} =$ .

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4、如图，正方形 $A B C D$ 的边长为2， $E$ 为边 $A D$ 的中点，把 $△ B A E$ 和 $△ C D E$ 分别沿 $B E$ ， $C E$ 折起.使得 $A$ ， $D$ 两点重合为一点 $P$ .下列四个命题正确的是（）

A、 $P E ⊥$ 平面 $P B C$ B、直线 $P E$ 与直线 $B C$ 所成的角为 $60 °$ C、二面角 $P - B C - E$ 的大小为 $30 °$ D、点 $P$ 到平面 $B C E$ 的距离为 $\sqrt{3}$

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5、伯努利试验是在同样的条件下重复地、相互独立地进行的一种随机试验，其特点是每次试验只有两种可能结果．若连续抛郑一枚质地均匀的硬币 $n$ 次，记录这 $n$ 次实验的结果，设事件 $M$ 表示“ $n$ 次实验结果中，既出现正面又出现反面”，事件 $N$ 表示“ $n$ 次实验结果中，最多只出现一次反面”，则下列结论正确的是（）．

A、若 $n = 2$ ，则 $M$ 与 $N$ 不互斥 B、若 $n = 2$ ，则 $M$ 与 $N$ 不相互独立 C、若 $n = 3$ ，则 $M$ 与 $N$ 相互独立 D、若 $n = 3$ ，则 $M$ 与 $N$ 互斥

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6、下列命题不正确的是（）

A、若A，B，C，D是空间任意四点，则有 $\vec{A B} + \vec{B C} + \vec{C D} + \vec{D A}$ = $\vec{0}$ B、“ $|\vec{a}| - |\vec{b}| = |\vec{a} + \vec{b}|$ ”是“ $\vec{a}, \vec{b}$ 共线”的充要条件 C、若 $\vec{a}, \vec{b}$ 共线，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 所在直线平行 D、对空间任意一点O与不共线的三点A、B、C，若 $\vec{O P} = x \vec{O A} + y \vec{O B} + z \vec{O C}$ (其中x、y、z∈R)，则P、A、B、C四点共面

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7、如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为6，点 $M$ 为 $C C_{1}$ 的中点，点 $P$ 为底面 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 上的动点，满足 $B P ⊥ A M$ 的点 $P$ 的轨迹长度为（）

A、 $2 \sqrt{2} π$ B、 $3 \sqrt{2}$ C、 $6 \sqrt{3}$ D、 $3 \sqrt{3} π$

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8、孪生素数（素数是只有1和自身因数的正整数）猜想是希尔伯特在1900年正式提出的23个问题之一，具体为：存在无穷多个素数 $p$ ，使得 $p + 2$ 是素数，素数对 $(p, p + 2)$ 称为孪生素数，在不超过20的素数中随机选取2个不同的数，其中能够构成孪生素数的概率是（）

A、 $\frac{4}{25}$ B、 $\frac{1}{15}$ C、 $\frac{3}{28}$ D、 $\frac{1}{7}$

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9、若点 $M (2, 5, 4)$ 关于平面 $O x z$ 和 $x$ 轴对称的点分别为 $(a, b, c)$ ， $(d, e, f)$ ，则 $b + f =$ （）

A、 $- 9$ B、 $- 1$ C、1 D、9

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10、若样本 $a + x_{1}, a + x_{2}, \dots, a + x_{n}$ 的平均值是5，方差是3，样本 $1 + 2 x_{1}, 1 + 2 x_{2}, \dots, 1 + 2 x_{n}$ 的平均值是9，标准差是b，则（）

A、 $a = 1, b = \sqrt{6}$ B、 $a = 2, b = \sqrt{6}$ C、 $a = 2, b = 3$ D、 $a = 1, b = 2 \sqrt{3}$

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11、已知椭圆 $\frac{x^{2}}{11 - m} + \frac{y^{2}}{m - 3} = 1$ 的焦点在 $y$ 轴上，且焦距为4，则 $m =$ （）

A、5 B、6 C、9 D、10

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12、为了弘扬体育精神，学校组织秋季运动会，在一项比赛中，学生甲进行了8组投篮，得分分别为10，8，a，8，7，9，6，8，如果学生甲的平均得分为8分，那么这组数据的75百分位数为（）

A、8 B、9 C、8.5 D、9.5

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13、我们知道，函数 $y = f (x)$ 的图象关于坐标原点成中心对称的充要条件是函数 $y = f (x)$ 为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数 $y = f (x)$ 的图象关于点 $P (a, b)$ 成中心对称的充要条件是函数 $y = f (x + a) - b$ 为奇函数.

(1)、若 $f (x) = {(x + 1)}^{3} - 3 x - 2$ .
①求此函数图象的对称中心；
②求 $f (2022) + f (2023) + f (- 2024) + f (- 2025)$ 的值；

(2)、类比上述推广结论，写出“函数y=f(x)的图象关于y轴成轴对称的充要条件是函数y=f(x)为偶函数”的一个推广结论（写出结论即可，不需证明）.

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14、最近南京某地登革热病例快速增长，登革热是一种由登革病毒引起的急性虫媒传染病，主要通过埃及伊蚊和白纹伊蚊传播，为了阻断传染源，南京卫建委在全市范围内组织了蚊虫消杀工作．某工厂针对市场需求开始生产蚊虫消杀工具，经过研究判断生产该工具的年固定成本为50万元，每生产 $x$ 万件，需另外投入成本 $C (x)$ （万元）， $C (x) = \{\begin{array}{l} \frac{1}{2} x^{2} + 30 x, 0 < x < 50 \\ 51 x + \frac{8100}{x} - 400, x \geq 50 \end{array}$ ，每件工具售价为50元，经过市场调研该厂年内生产的工具能全部销售完．

(1)、写出年利润 $L$ （万元）关于年产量 $x$ （万件）的函数解析式；

(2)、年产量为多少万件时，该厂在这一工具的生产中所获利润最大？

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15、化简或求值：

(1)、 $4^{- \frac{3}{2}} + {(\frac{9}{4})}^{\frac{1}{2}} - {(\sqrt{3} - 1)}^{0} + \sqrt[3]{{(- 3)}^{3}}$ ；

(2)、 $(2 a^{\frac{1}{2}} b^{\frac{1}{3}}) (a^{\frac{2}{3}} b^{\frac{1}{2}}) \div (\frac{1}{3} a^{\frac{1}{6}} b^{- \frac{5}{6}})$ ．

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16、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} (m - 2) x, x \leq 1 \\ x^{m + 1} - 5, x > 1 \end{array}$ 是减函数，则实数 $m$ 的取值范围是.

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17、若 $x > - 1$ ，则 $x + \frac{4}{x + 1}$ 的最小值为．

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18、若 $f (x)$ 为 $R$ 上的奇函数，则 $f (0) =$ ．

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19、下列命题中正确的是（）

A、函数 $f (x) = |a x + \frac{b}{x}| (a, b \in R)$ ， $f (x)$ 是偶函数 B、若函数 $f (x) = x^{2} + a x + b$ ，则 $f (\frac{x_{1} + x_{2}}{2}) \leq \frac{f (x_{1}) + f (x_{2})}{2}$ C、如果函数 $y = x + \frac{1}{x}$ 在 $[a, b]$ 上单调递增，那么它在 $[- b, - a]$ 上单调递减 D、若函数 $f (x)$ 的定义域是 $[- 2, 2]$ ，则函数 $f (x + 1)$ 的定义域为 $[- 3, 1]$

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20、下列说法正确的是（）

A、命题“ $\exists x_{0} \in R$ ， $x_{0}^{2} \leq 2$ ”的否定是“ $\forall x \in R$ ， $x^{2} > 2$ ” B、存在 $x_{0} \in Q$ ，使得 $2 x_{0}^{2} + x_{0} + 1 = 0$ 是真命题 C、若命题“ $\exists x_{0} \in R$ ， $4 x_{0}^{2} + 2 x_{0} + n = 0$ ”为假命题，则实数 $n$ 的取值范围是 $(\frac{1}{4}, + \infty)$ D、已知集合 $A = {0, 1, 3, 4}$ ，则满足条件 $A \cup B = B$ 的集合 $B$ 的个数为15

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