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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 1}$ .

(1)、求 $f (\frac{1}{3}) + f (3), f (\frac{1}{2}) + f (2)$ 的值；

(2)、探索 $f (\frac{1}{x}) + f (x)$ ；

(3)、利用（2）中结论，求 $f (\frac{1}{2024}) + f (\frac{1}{2023}) + \dots + f (\frac{1}{2}) + f (0) + f (1) + f (2) \dots + f (2023) + f (2024)$ 的值.

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2、已知函数 $f (x)$ 是一次函数，且满足 $f (x - 1) + f (x) = 2 x - 1$ .

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若 $x > 0, y > 0, x + y = 1$ ，求 $f (\frac{1}{x}) + f (\frac{9}{y})$ 的最小值.

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3、解关于 $x$ 的不等式.

(1)、 $x^{2} - x - 2 \leq 0$ ；

(2)、 $\frac{x - 4}{x - 1} \leq 0$ ；

(3)、 $2 x^{2} - 5 a x + 2 a^{2} < 0$ .

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4、已知全集 $U = R ， A = [- 1 ， 3] ， B = [- 2 ， 2)$ ．
（1）求 $A \cap B ， A \cup B$ ；
（2）求 $∁_{U} (A \cap B) ， ∁_{U} (A \cup B)$ ．

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5、已知定义在 $R$ 上的运算“ $\otimes$ ”： $x \otimes y = x (1 - y)$ ，若 $a < \frac{1}{2}$ ，则关于 $x$ 的不等式 $(x - a) \otimes (x + a) > 0$ 的解集为.

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6、已知函数 $y = x^{2} - 4 x + 6$ ，当 $x \in [1, 4]$ 时，则函数的值域为， $\frac{y}{x + 1}$ 的最小值是.

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7、已知集合 $A = {x | a x + 1 = 0, a \in R}, B = \{x |x^{2} - x - 56 = 0\}$ ，若 $A \subseteq B$ ，则实数a的值可以是（）．

A、 $\frac{1}{9}$ B、 $\frac{1}{7}$ C、0 D、 $- \frac{1}{8}$

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8、已知 $a > b > c > 0$ ，则下列不等式一定成立的是（）

A、 $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$ B、 $a - b > b - c$ C、 $\frac{b}{a - b} > \frac{c}{a - c}$ D、 $\frac{b}{a} < \frac{b + c}{a + c}$

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9、某中学高中学生运动会，一班46名学生中有15名学生没有参加比赛，参加比赛的学生中，参加田赛的有16人，参加径赛的有23人，则田赛和径赛都参加的学生人数为（）.

A、7 B、8 C、10 D、12

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10、下列四组函数，表示同一函数的是（）

A、 $f (x) = \sqrt{x^{2}} ， g (x) = x$ B、 $f (x) = \frac{x^{2}}{x}, g (x) = x$ C、 $f (x) = \sqrt{x^{2} - 4}, g (x) = \sqrt{x - 2} \cdot \sqrt{x + 2}$ D、 $f (x) = \sqrt[3]{x^{3}}, g (x) = x$

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11、不等式 $\frac{x + 3}{x - 5} < 0$ 的解集为．

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12、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} 2 x - 3 & (x \geq 0) \\ x^{2} + 1 & (x < 0) \end{array}$ 则 $f [f (1)] =$ （）

A、 $- 1$ B、1 C、2 D、5

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13、在数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} = a$ ， $a_{2} = b$ ，对满足 $m + n = p + q$ 的任意正整数m，n，p，q，都有 $a_{m} a_{n} + a_{m} + a_{n} = a_{p} a_{q} + a_{p} + a_{q}$ 成立.

(1)、若数列 $\{a_{n}\}$ 是等比数列，求a，b满足的条件；

(2)、若 $a = 1$ ， $b = 3$ ，设 $b_{n} = \{\begin{array}{l} a_{n}, n = 2 k - 1 \\ a_{n} + 2, n = 2 k \end{array}$ .
①求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；
②求证： $\sum_{i = 1}^{n} \frac{1}{b_{i}} < \frac{3}{2}$ .

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14、在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $A B ⊥ B C$ ， $A D ⊥ C D$ ， $P O ⊥$ 底面 $A B C D$ ，点O在 $A C$ 上，且 $P B = P C$ .

(1)、求证： $P A = P D$ ；

(2)、若 $∠ C O D = \frac{π}{6}$ ， $A B = B C$ ，点 $E$ 在 $P B$ 上， $P D / /$ 平面 $E O C$ ，求 $\frac{P E}{P B}$ 的值；

(3)、若 $P O = A B = B C = 1$ ，二面角 $P - A D - B$ 的正切值为 $2 \sqrt{2}$ ，求二面角 $D - A P - B$ 的余弦值.

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15、设函数 $f (x) = \ln (x + m) - m x$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 在 $(1 - m, f (1 - m))$ 处的切线方程；

(2)、若 $f (x) \leq 0$ 恒成立，求证：m的最大值与最小值之差大于 $\frac{1}{2}$ .

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16、设 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别为双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点，过 $F_{2}$ 的直线交双曲线于A，B两点，且 $\vec{A F_{2}} = 3 \vec{F_{2} B}$ .

(1)、求 $A F_{2}$ 的长（用a，b表示）；

(2)、若双曲线的离心率 $e > 2$ ，求证： $∠ F_{1} A F_{2} < \frac{π}{6}$ .

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17、在一次联考中，经统计发现，甲乙两个学校的考生人数都为1000人，数学均分都为94，标准差都为12，并且根据统计密度曲线发现，甲学校的数学分数服从正态分布，乙学校的数学分数不服从正态分布.

(1)、甲学校为关注基础薄弱学生的教学，准备从70分及以下的学生中抽取10人进行访问，学生小A考分为68分，求他被抽到的概率大约为多少；

(2)、根据统计发现学校乙得分不低于130分的学生有25人，得分不高于58分的有1人，试说明乙学校教学的特点；
参考数据：若 $X ~ N (μ, σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ \leq X \leq μ + σ) \approx 0.68$ ， $P (μ - 2 σ \leq X \leq μ + 2 σ) \approx 0.95$ ， $P (μ - 3 σ \leq X \leq μ + 3 σ) \approx 0.99$ .

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18、 $[x]$ 表示不超过x的最大整数，设 $M = {(1 - \sqrt{3})}^{15}$ ， $N = {(1 + \sqrt{3})}^{15}$ ，则 $[{(1 - \sqrt{3})}^{15}] =$ ； $[{(1 + \sqrt{3})}^{15}] =$ （用M，N表示）.

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19、已知：当 $n$ 无穷大时， ${(1 + \frac{1}{n})}^{n}$ 的值为 $e$ ，记为 $\lim_{n \to + \infty} {(1 + \frac{1}{n})}^{n} = e$ .运用上述结论，可得 $\lim_{x \to 0} \frac{\ln (1 + 2 x)}{x} (x > 0) =$ .

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20、若函数 $f (x) = \sin x - 3 \cos x$ 在 $x = x_{0}$ 处取得最大值，则 $\tan x_{0} =$ .

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