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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = x - a \ln x$ .

(1)、求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程为 $y = - x + 2$ ，求 $a$ ；

(2)、求 $f (x)$ 的单调区间；

(3)、若关于 $x$ 的方程 $x - a \ln x = 0$ 有两个不相等的实数根，记较小的实数根为 $x_{0}$ ，求证： $(a - 1) x_{0} > a$ .

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2、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前四项和为10，且 $a_{2}, a_{3}, a_{7}$ 成等比数列
（1）求数列 $\{a_{n}\}$ 通项公式
（2）设 $b_{n} = a_{n} + 2^{n}$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$

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3、设函数 $f (x) = \sqrt{3} \sin 2 x + \cos 2 x$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期和对称轴；

(2)、 $a$ ， $b$ ， $c$ 分别为 $△ A B C$ 内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边，已知 $f (A) = 1$ ， $b = 1$ ， $△ A B C$ 的面积为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，求 $△ A B C$ 的周长.

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4、若 $\tan α = 2$ ，则 $\frac{1}{\sin α \cos α} =$ .

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5、在 $△ A B C$ 中， $A B = 4$ ， $A C = 6$ ， $A = \frac{π}{3}$ ， $D$ 为边 $B C$ 上一动点，则（）

A、 $B C = 2 \sqrt{7}$ B、当 $A D$ 为角 $A$ 的角平分线时， $A D = \frac{12 \sqrt{3}}{5}$ C、当 $D$ 为边 $B C$ 中点时， $A D = 3 \sqrt{2}$ D、若点 $P$ 为 $△ A B C$ 内任一点， $\vec{P A} \cdot (\vec{P B} + \vec{P C})$ 的最小值为 $- \frac{19}{4}$

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6、已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, - \frac{π}{2} < φ < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，则（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ B、当 $x \in [0, \frac{π}{2}]$ 时， $f (x)$ 的值域为 $[- \frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$ C、将函数 $f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度可得函数 $g (x) = \sin 2 x$ 的图象 D、将函数 $f (x)$ 的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的函数图象关于点 $(\frac{5 π}{6}, 0)$ 对称

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7、已知 $z_{1} = 3 + 2 i, z_{2} = 4 - i$ ，则（）

A、 $z_{1} + z_{2}$ 的虚部为 $- 1$ B、 $4 z_{1} - 3 z_{2}$ 是纯虚数 C、 $z_{1} z_{2}$ 在复平面内所对应的点位于第一象限 D、 $|\frac{z_{2}}{i}| = |z_{1}| + 4$

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8、当 $- 2 \leq x \leq 2$ 时，不等式 $x^{2} - m x + 1 > 0$ 恒成立，则实数 $m$ 的取值范围为（）

A、 $(- 2, 2)$ B、 $(- \infty, - 2)$ C、 $[- 2, 2]$ D、 $(2, + \infty)$

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9、已知 $s i n (α + \frac{π}{3}) - s i n α = \frac{2}{3}$ ，则 $c o s (2 α + \frac{π}{3}) =$ （）

A、 $- \frac{5}{9}$ B、 $- \frac{1}{9}$ C、 $\frac{1}{9}$ D、 $\frac{5}{9}$

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10、若一个圆台的高为 $\sqrt{3}$ ，母线与底面所成角为 $60 °$ ，上底面半径为 $1$ ，则该圆台的侧面积为（）

A、 $8 π$ B、 $3 \sqrt{3} π$ C、 $6 π$ D、 $2 \sqrt{3} π$

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11、已知向量 $\vec{a} = (1, 5 λ + 4)$ ， $\vec{b} = (2 + λ, 8)$ ，其中 $λ \geq 0$ ，若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则 $\vec{a} \cdot (\vec{a} + \vec{b}) =$ （）

A、40 B、48 C、51 D、62

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12、已知 $p : x^{2} + 2 x - 3 < 0$ ， $q : x^{2} + x - 2 < 0$ ，则 $p$ 是 $q$ 的（）条件

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分又不必要条件

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13、若复数 $z$ 满足 $\frac{z + 2}{z} = 2 - i$ ，则 $z =$ （）．

A、 $- 1 - i$ B、 $- 1 + i$ C、 $1 - i$ D、 $1 + i$

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14、已知集合 $A = \{- 2, - 1, 0, 1, 2\}$ ， $B = \{x | 1 - x \geq 0\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{- 2, - 1\}$ B、 $\{1, 2\}$ C、 $\{- 1, 0, 1, 2\}$ D、 $\{- 2, - 1, 0, 1\}$

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15、下列命题中，不正确的命题是（）

A、空间中任意两个向量一定共面 B、若 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ，则存在唯一的实数 $λ$ ，使得 $\vec{a} = λ \vec{b}$ C、对空间中任一点O和不共线的三点A，B，C，若 $\vec{O P} = 2 \vec{O A} - 4 \vec{O B} + 3 \vec{O C}$ ，则P，A，B，C四点共面 D、若 $\{\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\}$ 是空间的一个基底， $\vec{m} = \vec{a} + \vec{c}$ ，则 $\{\vec{a}, \vec{b}, \vec{m}\}$ 也是空间的一个基底

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16、已知抛物线 $E : y^{2} = 4 x$ ，直线 $l : x = m y + 3$ 交抛物线 $E$ 于 $A, B$ 两点，

(1)、若线段 $A B$ 中点 $M$ 的纵坐标为2，求直线 $l$ 的方程；

(2)、若抛物线 $E$ 上存在两点 $C, D$ 关于直线 $l$ 轴对称，求 $m$ 的取值范围.

(3)、若存在定点 $P$ ，使以 $A B$ 为直径的圆上的任意点 $Q$ ，都满足 $|P Q| : |O Q| = 2 : \sqrt{3}$ （ $O$ 为原点），求定点 $P$ 的坐标和 $m$ 的值.

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17、设 $a \in R$ ，则“ $a > 1$ ”是“ $\frac{1}{a} < 1$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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18、已知动点 $M (x, y)$ 到直线 $x = - 3$ 的距离比它到定点 $(2, 0)$ 的距离多1

(1)、求 $Γ$ 的方程；

(2)、若过点 $D (4, 4)$ 的直线 $l$ 与 $Γ$ 相交于A，B两点，且 $O A ⊥ O B$ ，求直线 $l$ 的方程．

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19、设 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别为椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点，过点 $F_{1}$ 且倾斜角为60°的直线与椭圆 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，若 $|A B| = 3 |F_{1} B|$ ，则椭圆 $C$ 的离心率为.

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20、已知函数 $f (x) = e^{x} - a x - cos x$ ，且 $f (x)$ 在 $[0, + \infty)$ 上的最小值为0.

(1)、求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、设函数 $y = φ (x)$ 在区间 $D$ 上的导函数为 $y = φ^{'} (x)$ ，若 $\frac{x \cdot φ^{'} (x)}{φ (x)} > 1$ 对任意实数 $x \in D$ 恒成立，则称函数 $y = φ (x)$ 在区间 $D$ 上具有性质 $S$ .
（i）求证：函数 $f (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 上具有性质 $S$ ；
（ii）记 $\prod_{i = 1}^{n} p (i) = p (1) p (2) ... p (n)$ ，其中 $n \in N^{*}$ ，求证： $\prod_{i = 1}^{n} i \sin \frac{1}{i} > \frac{1}{n (n + 1)}$ .

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