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相关试卷

1、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1} 、 F_{2}$ ．过 $F_{2}$ 的直线 $l$ 交双曲线 $C$ 的右支于 $A 、 B$ 两点，其中点 $A$ 在第一象限． $△ A F_{1} F_{2}$ 的内心为 $I_{1}, A I_{1}$ 与 $x$ 轴的交点为 $P$ ，记 $△ A F_{1} F_{2}$ 的内切圆 $I_{1}$ 的半径为 $r_{1}, △ B F_{1} F_{2}$ 的内切圆 $I_{2}$ 的半径为 $r_{2}$ ，则下列说法正确的有（）

A、若双曲线渐近线的夹角为 $60 °$ ，则双曲线的离心率为2或 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ B、若 $A F_{1} ⊥ A F_{2}$ ，且 $|B F_{1}| - |A F_{1}| = 2 a$ ，则双曲线的离心率为 $\frac{\sqrt{10}}{2}$ C、若 $a = 1, b = \sqrt{3}$ ，则 $r_{1} - r_{2}$ 的取值范围是 $(- \sqrt{3}, \sqrt{3})$ D、若直线 $l$ 的斜率为 $\sqrt{3}, A I_{1} = 2 I_{1} P$ ，则双曲线的离心率为 $\frac{5}{4}$

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2、已知定义在区间[a，b]上的函数 $y = f (x)$ ， $f^{'} (x)$ 是 $f (x)$ 的导函数，若存在 $ξ \in (a, b)$ ，使得 $f (b) - f (a) = f^{'} (ξ) (b - a)$ ．则称ξ为函数f（x）在[a，b]上的“中值点”．下列函数，其中在区间 $[- 2, 2]$ 上至少有两个“中值点”的函数为（）

A、 $f (x) = \sin x$ B、 $f (x) = e^{x}$ C、 $f (x) = \ln (x + 3)$ D、 $f (x) = x^{3} - x + 1$

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3、关于函数 $y = \sin x (\sin x + \cos x)$ 描述正确的是（）

A、最小正周期是 $2 π$ B、最大值是 $\frac{\sqrt{2} + 1}{2}$ C、一条对称轴是 $x = \frac{3 π}{8}$ D、一个对称中心是 $(\frac{π}{8}, \frac{1}{2})$

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4、已知函数 $f (x) = e^{m x} - \frac{1}{m} \ln x$ ，当 $x > 0$ 时， $f (x) > 0$ 恒成立，则m的取值范围为（）

A、 $(1, + \infty)$ B、 $(e, + \infty)$ C、 $(\frac{1}{e}, e)$ D、 $(\frac{1}{e}, + \infty)$

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5、如图，点 $P$ 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的面对角线 $B C_{1}$ 上运动，则下列结论一定成立的是（）

A、三棱锥 $A - A_{1} P D$ 的体积大小与点 $P$ 的位置有关 B、 $A_{1} P$ 与平面 $A C D_{1}$ 相交 C、平面 $P D B_{1} ⊥$ 平面 $A_{1} B C_{1}$ D、 $A P ⊥ D_{1} C$

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6、已知 $a, b \in R^{+}$ ， $a + 2 b - 2 a b = 0$ ，则 $8 a + b$ 的最小值是（）

A、 $8 \sqrt{2}$ B、 $\frac{25}{2}$ C、 $\frac{27}{2}$ D、17

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7、若定义在 $R$ 上的偶函数 $f (x)$ 满足 $f (x + 2) = f (x)$ 且 $x \in [0, 1]$ 时， $f (x) = x$ ，则方程 $f (x) = \log_{3} |x|$ 的零点个数是

A、 $2$ 个 B、 $3$ 个 C、 $4$ 个 D、 $5$ 个

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8、给定集合 $M$ ， $N$ ，定义 $M - N = \{x |x \in M$ 且 $x \notin N\}$ ，若 $M = \{x| - 2 \leq x \leq 2\}$ ， $N = \{y |y = x + \frac{1}{x + 1}, x > - 1\}$ ，下列选项错误的是（）

A、 $N = \{y |y \geq 1\}$ B、 $M - N = \{x |- 2 \leq x < 1\}$ C、 $N - M = \{x |x \geq 2\}$ D、 $N - (N - M) = \{x |1 \leq x \leq 2\}$

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9、已知 $|\vec{a}| = 4$ ， $\vec{b} = (- 1, 0)$ ，且 $(\vec{a} + 2 \vec{b}) ⊥ \vec{b}$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为（）

A、 $\frac{2 π}{3}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{π}{4}$ D、 $\frac{3 π}{4}$

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10、已知 $p : \forall x \in R$ ， $x^{2} - x < - 2$ ； $q : \exists x \in (0, 1)$ ， $|x - 1| < 1$ ，则（）

A、 $p$ 假 $q$ 假 B、 $p$ 假 $q$ 真 C、 $p$ 真 $q$ 真 D、 $p$ 真 $q$ 假

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11、 $|- 1 + 2 i| =$ （）

A、2 B、 $\sqrt{2}$ C、5 D、 $\sqrt{5}$

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12、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，平面 $P A D ⊥$ 平面ABCD， $△ P A D$ 是斜边为AD的等腰直角三角形， $A B ⊥ A D, A B = 1, A D = 4, A C = C D = 2 \sqrt{2} .$

(1)、求证： $P D ⊥$ 平面 $P A B ；$

(2)、求PB与平面PCD所成角的正弦值；

(3)、在棱PB上是否存在点M，使得平面ADM与平面ABCD所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{5}}{5} ?$ 若存在，求出 $\frac{P M}{P B}$ 的值，若不存在，请说明理由.

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13、已知点 $P (2, - 1)$ ，则过点 $P$ 且与原点的距离为2的直线l的方程为.

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14、已知函数 $f (x) = x^{2} e^{2 x}$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、讨论方程 $f (x) = m$ （ $m \in R$ ）解的个数.

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15、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n} + 1 < a_{n + 1} < 2 a_{n} + 2$ ， $a_{1} = 1$ ， $S_{n}$ 是 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和．若 $S_{m} = 2024$ ，则正整数 $m$ 的所有可能取值的个数为（）

A、48 B、50 C、52 D、54

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16、已知圆 $C : {(x - 5)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 3$ ，直线 $l : y = a x + 1$ ，点 $M$ 、 $N$ 为圆 $C$ 上的两个动点，若直线 $l$ 上存在点 $P$ ，使得 $∠ M P N = 120 °$ ，则 $a$ 的最大值为（）

A、 $\frac{7}{6}$ B、 $\frac{6}{7}$ C、 $\frac{21}{20}$ D、 $\frac{20}{21}$

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17、已知圆 $O : x^{2} + y^{2} = 1$ 和点 $M (1, \sqrt{3}) .$

(1)、过点M作圆O的切线，求切线的方程；

(2)、已知 $A (2, 4)$ ，设P为满足方程 ${|P A|}^{2} + {|P O|}^{2} = 34$ 的任意一点，过点P向圆O引切线，切点为B，试探究：平面内是否存在一定点N，使得 $\frac{{|P B|}^{2}}{{|P N|}^{2}}$ 为定值?若存在，则求出定点N的坐标，并指出相应的定值；若不存在，则说明理由；

(3)、过点M作直线l交圆O于两个不同的点C， $D ($ 线段CD不经过圆心 $O)$ ，分别在点C，D处作圆O的切线，两条切线交于点E，求证：点E在一条定直线上，并求出该直线的方程.

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18、如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $A B ⊥ B C, M, N$ 分别为 $A C, A B$ 的中点， $P M ⊥ A B, A B = B C = 2, B P = P M = 3$ .

(1)、证明： $A B ⊥ P N$ ：

(2)、求平面 $P M N$ 和平面 $P M B$ 夹角 $α$ 的正弦值；

(3)、在线段 $P C$ 上是否存在点 $G$ ，使得点 $G$ 到平面 $P M B$ 的距离是 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ？若存在，求出 $\frac{P G}{P C}$ 的值：苦不存在，请说明理由.

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19、下列命题中，正确命题的个数为（）
①若直线 $l$ 的一个方向向量是 $\vec{a} = (2, 1, 3)$ ，平面 $α$ 的一个法向量是 $\vec{n} = (- 2, 1, 1)$ ，则 $l ∥ α$
②若向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = 3$ ，且 $\vec{a} \cdot \vec{b} = - 6$ ，则 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 方向上的投影向量为 $- \frac{2}{3} \vec{a}$
③若 $\vec{a} \cdot \vec{b} < 0$ ，则 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角是钝角
④已知正四面体 $O A B C$ 的棱长为1，则 $(\vec{O A} + \vec{O B}) \cdot (\vec{C A} + \vec{C B}) = 1$

A、4 B、3 C、2 D、1

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20、古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆 $C$ 的中心为原点，焦点 $F_{1}, F_{2}$ 均在 $x$ 轴上， $C$ 的面积为 $3 \sqrt{5} π$ ，过点 $F_{1}$ 的直线交 $C$ 于点 $A, B$ ，且 $△ A B F_{2}$ 的周长为12.则 $C$ 的标准方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{5} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{5} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{5} + y^{2} = 1$

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