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相关试卷

1、17世纪，牛顿发现物体表面的热流密度与物体表面温度和周围环境温度之差成正比，其原理是当一个物体表面的温度高于周围环境的温度时，物体将会通过热传导、对流和辐射等方式向周围环境释放热量．如：一杯热茶水会在常温下逐渐冷却，设茶水的冷却时间为 $x$ （单位： $min$ ），茶水冷却 $x min$ 后水温为 $y$ （单位： $℃$ ），根据该机理，我们得到函数模型： $y = (y_{0} - y_{S}) e^{- k x} + y_{S}$ ，其中 $y_{0}$ 为茶水的初始温度， $y_{S}$ 为室温， $k$ 为冷却系数．李大爷在室温 $20 ℃$ 的条件下泡了一杯 $95 ℃$ 的茶水， $2 min$ 后，测得水温为 $80 ℃$ ．

(1)、求冷却系数 $k$ ；

(2)、经研究表明，饮水温度不宜高于 $40 ℃$ ，以保证口腔与食管不受到损害，根据该模型判断 $8 min$ 后该杯茶水是否宜于饮用，并说明理由．

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2、（1）若角 $α$ 满足 $0 < α < π$ ，且 $sin α + cos α = \frac{1}{5}$ ，求 $\sin α \cos α$ ， $sin α - cos α$ 的值；
（2）若集合 $A = \{x |a + 1 < x < 3 a - 2\}, B = \{x |x^{2} - 3 x < 0\}$ ，且 $A \subseteq B$ ，求实数 $a$ 的取值范围．

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3、已知函数 $f (x) = \{\begin{cases} {log}_{2} x, x > 0 \\ 2^{x}, x \leq 0 \end{cases}$ ，

(1)、在下图平面直角坐标系中画出函数 $f (x)$ 的图象；

(2)、解关于 $x$ 的方程 $|f (x)| - \frac{1}{2} = 0$ ．

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4、已知函数 $f (x) = 4^{x} - 2^{x + a} + 1$ ，对任意的 $x_{1}, x_{2} \in [1, + \infty)$ ，若 $f (x_{1}) = f (x_{2})$ ，恒有 $x_{1} = x_{2}$ ，则实数 $a$ 的取值范围为．

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5、若第二象限角 $α$ 的终边与单位圆交点的横坐标为 $- \frac{1}{2}$ ，则 $tan α =$ ．

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6、函数 $f (x) = \frac{\lg (x + 1)}{x - 2}$ 的定义域为.

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7、已知函数 $f (x) = {log}_{a} (x + a) (a > 0, a \neq 1)$ ，若 $\exists x_{1}, x_{2} \in [1, 3]$ ，使 $|f (x_{1}) - f (x_{2})| = 1$ 成立，则实数 $a$ 的值可以是（）

A、 $\sqrt{2} - 1$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $\sqrt{2} + 1$

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8、已知函数 $f (x) = \frac{2}{|x| - 1}$ ，则关于函数 $f (x)$ 的说法正确的是（）

A、定义域为 ${x | x \neq 1$ 且 $x \neq - 1}$ B、关于点 $(0, 0)$ 对称 C、在区间 $(1, + \infty)$ 上为增函数 D、值域为 $(- \infty, - 2] \cup (0, + \infty)$

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9、已知全集 $U = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ ，集合 $A = \{1, 3\}$ ，集合 $B = \{1, 2, 4\}$ ，则（）

A、 $∁_{U} B \subseteq ∁_{U} A$ B、 $∁_{U} A$ 的子集个数为8 C、 $∁_{U} (A \cup B) = \{5\}$ D、 $(∁_{U} A) \cup (∁_{U} B) = \{2, 3, 5\}$

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10、若函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} x + 1, x \leq a, \\ x^{2} - 3 x + 2, x > a \end{array}$ 恰有两个零点，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(- \infty, 1] \cup (2, + \infty)$ B、 $(- \infty, - 1) \cup [1, + \infty)$ C、 $(- \infty, - 1) \cup [1, 2)$ D、 $(- 1, 1] \cup (2, + \infty)$

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11、若正实数 $a, b$ 满足 $a \neq b$ ，则函数 $f (x) = {(\frac{b}{a})}^{x}$ 与函数 $g (x) = a x^{2} + b x$ 的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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12、已知某糕点店制作一款面包的固定成本为400元，每次制作 $x$ 个，每天每个面包的存留成本为1元，若每个面包的平均存留时间为 $0.25 x$ 天，为了使每个面包的总成本最小，则每天应制作（）

A、20个 B、30个 C、40个 D、50个

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13、若实数 $a, b$ 满足 $a > b > 1$ ，则下列不等式成立的是（）

A、 $e^{b - a} < 0$ B、 $lg (a - b) > 0$ C、 $a^{b} > b^{a}$ D、 ${log}_{a} b < {log}_{b} a$

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14、已知函数 $f (x) = {log}_{3} x$ ，若 $f (a) + f (b) = 1$ ，则 $f (a^{2}) + f (b^{2}) =$ （）

A、9 B、6 C、4 D、2

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15、下列函数中，既是偶函数，又在区间 $(0, + \infty)$ 上单调递减的函数是（）

A、 $y = x^{- 2}$ B、 $y = x^{- 1}$ C、 $y = x^{2}$ D、 $y = x^{\frac{1}{2}}$

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16、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，若角 $α$ 的始边与 $x$ 轴的非负半轴重合，终边落在直线 $y = x$ 上，则终边与角 $α$ 相同的角的集合为（）

A、 $\{β |β = \frac{π}{4}$ 或 $β = \frac{3 π}{4}\}$ B、 $\{β |β = \frac{π}{4} + k π\} (k \in Z)$ C、 $\{β |β = \frac{π}{4} + 2 k π\} (k \in Z)$ D、 $\{β |β = \frac{3 π}{4} + 2 k π\} (k \in Z)$

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17、若集合 $A = \{x | x > 2\}$ ，集合 $B = \{x |x \geq 3\}$ ，则“ $x \in A$ ”是“ $x \in B$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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18、已知函数 $f (x) = x - x \ln x - a$ ，若曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程为 $y = b x + 2$ .

(1)、求 $a$ 和 $b$ 的值；

(2)、求 $f (x)$ 的单调区间.

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19、在必修一第210页研究正切函数的图象时，借助图形的面积，我们得到了以下不等式：当 $x \in (0, \frac{π}{2})$ 时， $\sin x < x < \tan x$ ，此过程相当有乐趣.在今年的某地的模拟试题中出现了这样的一个题目：当 $x \in (0, \frac{π}{2})$ 时， $\sin (\cos x) \leq \cos (\sin x)$ ，此题目引发了很多思考.请你完成下列问题：

(1)、判断函数 $f (x) = \sin (\cos x)$ 的奇偶性，并讨论其是否为周期函数，若是，请写出其一个周期，若不是，请说明理由；

(2)、证明：当 $x \in (0, \frac{π}{2})$ 时， $\sin (\cos x) < \cos x < \cos (\sin x)$ ；

(3)、已知函数 $f (x) = (x + a) \ln x - b x + \cos (x - 1) + b - 1$ ，其中 $a, b \in R$ 且 $b \geq 2$ ，当 $x \geq 1$ 时，有 $f (x) \geq 0$ 恒成立. 证明： $\sqrt{a} \geq \frac{b}{2}$

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20、某学校高二年级组织举办了知识竞赛．选拔赛阶段采用逐一答题的方式，每位选手最多有5次答题机会，累计答对3道题则进入初赛，累计答错3道题则被淘汰．初赛阶段参赛者每两人一组进行比赛，组织者随机从准备好的题目中抽取2道试题供两位选手抢答，每位选手抢到每道试题的机会相等，得分规则如下：选手抢到试题且回答正确得10分，对方选手得0分，选手抢到试题但没有回答正确得0分，对方选手得5分，2道试题抢答完毕后得分少者被淘汰，得分多者进入决赛（若分数相同，则同时进入决赛）

(1)、已知选拔赛中选手甲答对每道试题的概率为 $\frac{2}{3}$ ，且回答每道试题是否正确相互独立，求甲进入初赛的概率；

(2)、已知初赛中选手甲答对每道试题的概率为 $\frac{3}{4}$ ，对手答对每道试题的概率为 $\frac{2}{3}$ ，两名选手回答每道试题是否正确相互独立，求初赛中甲的得分 $Y$ 的分布列与期望；

(3)、进入决赛后，每位选手回答4道试题，至少答对3道试题胜出，否则被淘汰，已知选手甲进入决赛，且决赛中前3道试题每道试题被答对的概率都为 $(p \in (0, 1))$ ，若甲4道试题全对的概率为 $\frac{1}{16}$ ，求甲能胜出的概率的最小值.

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