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相关试卷

1、已知集合 $A = \{a \in N| \frac{6}{a - 1} \in N\}$ ， $B = \{2, 3\}$ ，集合 $C$ 满足 $B \subseteq C \subseteq A$ ，则所有满足条件的集合 $C$ 的个数为（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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2、已知集合 $A = {1, 2, 3, 4}$ ，集合 $B = {y ∣ y = \sqrt{x}, x \in A}$ ，则 $A \cap B$ 的子集个数是（）

A、 $16$ B、 $8$ C、 $4$ D、 $2$

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3、下列四个写法：① $\{0\} \in \{1, 2, 3\}$ ；② $\emptyset \subseteq \{0\}$ ；③ $\{0, 1, 2\} \subseteq \{1, 2, 0\}$ ；④ $0 \in \emptyset$ .错误写法的个数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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4、已知关于x的不等式 $a x^{2} + b x + c > 0$ 解集为 $\{x |- 2 < x < 3\}$ ，则下列说法错误的是（）

A、 $a < 0$ B、不等式 $a x + c > 0$ 的解集为 $\{x |x < 6\}$ C、 $a + b + c > 0$ D、不等式 $c x^{2} - b x + a < 0$ 的解集为 $\{x |\frac{1}{3} < x < \frac{1}{2}\}$

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5、长沙市某中学近几年加大了对学生奥赛的培训，为了选择培训的对象，2023年5月该中学进行一次数学竞赛，从参加竞赛的同学中，选取50名同学将其成绩（百分制，均为整数）分成六组：第1组 $[40, 50)$ ，第2组 $[50, 60)$ ，第3组 $[60, 70)$ ，第4组 $[70, 80)$ ，第5组 $[80, 90)$ ，第6组 $[90, 100]$ ，得到频率分布直方图（如图），观察图中信息，回答下列问题：

(1)、根据频率分布直方图，估计本次考试成绩的平均数和第71百分位数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；

(2)、已知学生成绩评定等级有优秀、良好、一般三个等级，其中成绩不小于90分时为优秀等级，若从成绩在第5组和第6组的学生中，随机抽取2人，求所抽取的2人中至少有1人成绩优秀的概率.

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6、已知直线 $l$ 经过点 $A (1, 2)$ ，求满足下列条件的直线方程（要求把直线的方程化为一般式）：

(1)、直线 $l$ 与直线 $\frac{x}{2} - \frac{y}{3} = 1$ 平行；

(2)、直线 $l$ 与两个坐标轴的正半轴围成的三角形的面积为4；

(3)、直线 $l$ 在两坐标轴上的截距相等．

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7、“ $a = 2$ ”是“直线 $a x + 2 y + 1 = 0$ 和直线 $3 x + (a + 1) y - 2 = 0$ 平行”的条件.(填“充分不必要”，“必要不充分”，“充分必要”或“既不充分又不必要”)

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8、若直线 $k x - y - 2 k + 3 = 0$ 必过一定点，则该定点坐标是．

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9、已知函数 $f (x) = \{\begin{matrix} ln (- x), x < 0 \\ e^{- x}, x \geq 0 \end{matrix}$ ，若关于 $x$ 的方程 $m - f (x) = 0$ 有两个不同的实数根，则实数 $m$ 的值可能是（）

A、1 B、2 C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{3}$

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10、如图所示，设 $E$ ， $F$ 分别是正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱 $C D$ 上两点，且 $E$ ， $F$ 与 $C$ ， $D$ 两点均不重合，且 $A B = 2$ ， $E F = 1$ ，其中正确的命题为（）

A、三棱锥 $D_{1} - B_{1} E F$ 的体积为定值 B、异面直线 $B_{1} D_{1}$ 与 $E F$ 所成的角为 $60^{\circ}$ C、 $B_{1} D_{1} ⊥$ 平面 $B_{1} E F$ D、直线 $B_{1} D_{1}$ 与平面 $B_{1} E F$ 所成的角为 $30^{\circ}$

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11、已知直线 $l : (a^{2} + a + 1) x - y + 2 = 0$ ，其中 $a \in R$ ，则（）

A、直线 $l$ 过定点 $(0, 2)$ B、当 $a = - 1$ 时，直线 $l$ 与直线 $x + y = 0$ 垂直 C、当 $a = 0$ 时，直线 $l$ 在两坐标轴上的截距相等 D、若直线 $l$ 与直线 $x - y = 0$ 平行，则这两条平行直线之间的距离为 $\sqrt{2}$

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12、函数 $f (x) = cos (x + \frac{π}{4}) + \frac{\sqrt{2}}{2} sin x$ 的最大值为（）

A、 $1 + \frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、0

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13、已知函数 $f (x) = 3 - x - \frac{2}{x}$ ，则当 $x < 0$ 时， $f (x)$ 有（）

A、最大值 $3 + 2 \sqrt{2}$ B、最小值 $3 + 2 \sqrt{2}$ C、最大值 $3 - 2 \sqrt{2}$ D、最小值 $3 - 2 \sqrt{2}$

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14、在 $△ A B C$ 中，点 $D$ 在边 $A B$ 上， $B D = 2 D A$ ，记 $\vec{C A} = \vec{m}, \vec{C B} = \vec{n}$ ，则 $\vec{C D} =$ （）

A、 $\frac{1}{2} \vec{m} - \frac{1}{2} \vec{n}$ B、 $\frac{2}{3} \vec{m} + \frac{1}{3} \vec{n}$ C、 $\frac{1}{2} \vec{m} + \frac{1}{2} \vec{n}$ D、 $\frac{1}{3} \vec{m} + \frac{2}{3} \vec{n}$

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15、已知椭圆 $C$ 的对称中心在坐标原点，以坐标轴为对称轴，且经过点 $(\sqrt{3}, 1)$ 和 $(- 2, \frac{\sqrt{6}}{3})$ ．

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、过点 $M (2, 0)$ 作不与坐标轴平行的直线 $l$ 交曲线 $C$ 于 $A$ ， $B$ 两点，过点 $A$ ， $B$ 分别向 $x$ 轴作垂线，垂足分别为点 $D$ ， $E$ ，直线 $A E$ 与直线 $B D$ 相交于 $P$ 点．
①求证：点 $P$ 在定直线上；
②求 $△ P A B$ 面积的最大值．

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16、为研究“眼睛近视是否与长时间看电子产品有关”的问题，对某班同学的近视情况和看电子产品的时间进行了统计，得到如下的列联表：
近视情况
每天看电子产品的时间
合计
超过一小时
一小时内
近视
10人
5人
15人
不近视
10人
25人
35人
合计
20人
30人
50人
附表：
$α$
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
$x_{α}$
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
$χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ．

(1)、根据小概率值 $α = 0.05$ 的 $χ^{2}$ 独立性检验，判断眼睛近视是否与长时间看电子产品有关；

(2)、在该班近视的同学中随机抽取3人，则至少有两人每天看电子产品超过一小时的概率是多少？

(3)、以频率估计概率，在该班所在学校随机抽取2人，记其中近视的人数为X，每天看电子产品超过一小时的人数为Y，求 $P (X = Y)$ 的值．

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17、已知函数 $f (x) = \frac{x}{a e^{x - 1}}$ 和 $g (x) = \frac{a + \ln x}{x}$ 在同一处取得相同的最大值．

(1)、求实数a；

(2)、设直线 $y = b$ 与两条曲线 $y = f (x)$ 和 $y = g (x)$ 共有四个不同的交点，其横坐标分别为 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}$ （ $x_{1} < x_{2} < x_{3} < x_{4}$ ），证明： $x_{1} x_{4} = x_{2} x_{3}$ ．

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18、第22届世界杯于2022年11月21日到12月18日在卡塔尔举办．在决赛中，阿根廷队通过点球战胜法国队获得冠军．

(1)、扑点球的难度一般比较大，假设罚点球的球员会等可能地随机选择球门的左､中､右三个方向射门，门将也会等可能地随机选择球门的左､中､右三个方向来扑点球，而且门将即使方向判断正确也有 $\frac{2}{3}$ 的可能性扑不到球．不考虑其它因素，在一次点球大战中，求门将在前三次扑到点球的个数X的分布列和期望；

(2)、好成绩的取得离不开平时的努力训练，甲､乙､丙三名前锋队员在某次传接球的训练中，球从甲脚下开始，等可能地随机传向另外2人中的1人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外2人中的1人，如此不停地传下去，假设传出的球都能接住．记第n次传球之前球在甲脚下的概率为p_n ，易知 $p_{1} = 1, p_{2} = 0$ ．
①试证明： $\{p_{n} - \frac{1}{3}\}$ 为等比数列；
②设第n次传球之前球在乙脚下的概率为q_n ，比较p₁₀与q₁₀的大小．

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19、在椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ）中，其所有外切矩形的顶点在一个定圆 $Γ$ ： $x^{2} + y^{2} = a^{2} + b^{2}$ 上，称此圆为椭圆的蒙日圆.椭圆 $C$ 过 $P (1, \frac{\sqrt{2}}{2})$ ， $Q (- \frac{\sqrt{6}}{2}, \frac{1}{2})$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、过椭圆 $C$ 的蒙日圆上一点 $M$ ，作椭圆的一条切线，与蒙日圆交于另一点 $N$ ，若 $k_{O M}$ ， $k_{O N}$ 存在，证明： $k_{O M} \cdot k_{O N}$ 为定值.

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20、若 ${(1 - 2 x)}^{5} (x + 2) = a_{0} + a_{1} x + \dots + a_{6} x^{6}$ ，则 $a_{3} =$ ．

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近视情况	每天看电子产品的时间		合计
近视情况	超过一小时	一小时内	合计
近视	10人	5人	15人
不近视	10人	25人	35人
合计	20人	30人	50人

$α$	0.1	0.05	0.01	0.005	0.001
$x_{α}$	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828