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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = 2 \sqrt{3} \sin x \cos x + 2 \cos^{2} x$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的单调递增区间；

(2)、当 $x \in [t, 2 t]$ $([t, 2 t] \subseteq [0, 2 π])$ 时， $|f (x)| \leq 1$ 恒成立，求实数 $t$ 的最大值．

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2、在某市的三次数学测试中，为了解学生的测试情况，从中随机抽取100名学生的测试成绩，被抽取成绩全部介于40分到100分之间（满分100分），将统计结果按如下方式分成六组：第一组 $[40, 50)$ ．第二组 $[50, 60)$ ， ……第六组 $[90, 100]$ ，画出频率分布直方图如图所示，

(1)、估计该市学生这次测试成绩的第25百分位数；

(2)、估计该市学生这次测试成绩的平均值（回一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；

(3)、从 $[60, 70), [70, 80)$ 两组中按分层抽样抽取5名学生，再随机抽取3名同学进行问卷测试，问3名同学中恰好只有1名同学成绩在 $[70, 80)$ 之间的概率．

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3、已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ ，过原点的直线与双曲线交于M，N两点，以线段MN为直径的圆恰好过双曲线的右焦点F，若 $△ M N F$ 的面积为 $2 a^{2}$ ，则双曲线的渐近线方程为．

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4、正六棱台上、下底面边长分别是 $2cm$ 和 $6cm$ ，侧棱长是 $5cm$ ，则它的体积是．

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5、某学员在一次射击测试中射靶10次，命中环数如下：4，7，7，8，9，5，9，7，10，4则平均命中环数为；命中环数的标准差为．

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6、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左焦点为 $F_{1}$ ，半焦距长为 $1$ ，点 $P (1, 1)$ 在椭圆内部，点Q在椭圆上，则以下说法正确的是（）

A、 $|Q F_{1}| + |Q P|$ 的最小值为 $2 \sqrt{a} - 1$ B、椭圆 $C$ 的短轴长可能为2 C、椭圆 $C$ 的离心率的取值范围为 $(0, \frac{\sqrt{5} - 1}{2})$ D、若 $\vec{P F_{1}} = \vec{F_{1} Q}$ ，则椭圆 $C$ 的长轴长为 $\sqrt{5} + \sqrt{17}$

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7、点P在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的面对角线 $B C_{1}$ 上运动，则下列四个结论正确的是（）

A、三棱锥 $A - D_{1} P C$ 的体积不变 B、 $A_{1} P / /$ 平面 $A C D_{1}$ C、 $A_{1} C ⊥ A P$ D、平面 $P D B_{1} ⊥$ 平面 $A C D_{1}$

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8、甲、乙两名射手同时向一目标射击，互不影响.设事件 $A$ ：“甲击中目标”，事件 $B$ ：“乙击中目标”，则事件 $A$ 与事件 $B$ （）

A、相互独立 B、互斥 C、不相互独立 D、不互斥

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9、四面体ABCD中， $A B = A C = B C = 2, D A = D B = D C = 4$ ，则该四面体的内切球（与四个面相切）与外接球半径长度的比值是（）

A、 $\frac{3 \sqrt{5} + 1}{24}$ B、 $\frac{3 \sqrt{5} - 1}{24}$ C、 $\frac{3 \sqrt{6} + 1}{24}$ D、 $\frac{3 \sqrt{6} - 1}{24}$

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10、已知圆 $O_{1} : x^{2} + y^{2} - 2 a y + a^{2} - 1 = 0$ 与圆 $O_{2} : x^{2} + y^{2} = 4$ 有且仅有两条公共切线，则正数a的取值范围为（）

A、 $(1, 2)$ B、 $(1, 3)$ C、 $(2, 3)$ D、 $(3, + \infty)$

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11、已知直线 $m$ 、 $l$ ，平面 $α$ 、 $β$ ，且 $l \subset β, m ⊥ α$ ，给出下列命题：
①若 $m // l$ ，则 $α ⊥ β$ ；②若 $m ⊥ l$ ，则 $α // β$ ；③若 $α ⊥ β$ ，则 $m // l$ ；④若 $α // β$ ，则 $m ⊥ l$ ．
其中正确命题的个数是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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12、抛掷正方体骰子两次，所得点数积为偶数的概率是（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{2}{3}$

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13、若 $\{\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\}$ 构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（）

A、 $\vec{b} + \vec{c}, \vec{b}, \vec{b} - \vec{c}$ B、 $\vec{a}, \vec{a} + \vec{b}, \vec{a} - \vec{b}$ C、 $\vec{a} + \vec{b}, \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}, \vec{c}$ D、 $\vec{a} + \vec{b}, \vec{a} - \vec{b}, \vec{c}$

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14、在同一直角坐标系中，表示直线 $y = k x$ 与直线 $y = x - 2 k$ ，符合的是（）

A、 B、 C、 D、

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15、双曲线 $x^{2} - 2 y^{2} = 1$ 的焦点坐标为（）

A、 $(0, \pm \frac{\sqrt{6}}{2})$ B、 $(0, \pm \sqrt{3})$ C、 $(\pm \frac{\sqrt{6}}{2}, 0)$ D、 $(\pm \sqrt{3}, 0)$

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16、已知圆 $C : x^{2} - 2 x + y^{2} = 0$ 与直线 $l : y = m x + 2 m (m > 0)$ ，过 $l$ 上任意一点 $P$ 向圆 $C$ 引切线，切点为 $A$ 和 $B$ ，若线段 $A B$ 长度的最小值为 $\sqrt{3}$ ，则实数 $m$ 的值为（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{14}}{7}$ D、 $\frac{\sqrt{14}}{2}$

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17、如图所示，已知椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 过点 $M (2 \sqrt{2}, \sqrt{2})$ ，且满足 $a = 2 b, O$ 为坐标原点，平行于 $O M$ 的直线交椭圆 $E$ 于两个不同的点 $A, B$ ．

(1)、求椭圆 $E$ 的方程；

(2)、直线 $A M$ 与 $x$ 轴交于点 $C$ ．证明 $∠ B M C$ 的平分线所在直线与 $x$ 轴垂直．

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18、某校对2022学年高二年级上学期期中数学考试成绩 $($ 单位：分 $)$ 进行分析，随机抽取100名学生，将分数按照 $[30, 50), [50, 70), [70, 90), [90, 110), [110, 130), [130, 150]$ 分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图：

(1)、估计该校高二年级上学期期中数学考试成绩的第80百分位数；

(2)、为了进一步了解学生对数学学习的情况，由频率分布直方图，成绩在 $[50, 70)$ 和 $[70, 90)$ 的两组中，用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取5名学生，再从这5名学生中随机抽取2名学生进行问卷调查，求抽取的这2名学生至少有1人成绩在 $[50, 70)$ 内的概率.

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19、已知双曲线C与 $\frac{x^{2}}{2} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ 有相同的渐近线，且经过点 $M (\sqrt{2}, - \sqrt{2})$ ．

(1)、求双曲线C的方程，并写出其离心率与渐近线方程；

(2)、已知直线 $x - y + m = 0$ 与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆 $x^{2} + y^{2} = 10$ 上，求实数m的值．

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20、在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A A_{1} = A B = A C = 2, A A_{1} ⊥ A B, A C ⊥ A B$ ， D为 $A_{1} B_{1}$ 的中点，E为 $A A_{1}$ 的中点，F为CD的中点．

(1)、求证： $E F / /$ 平面ABC；

(2)、求平面 $A_{1} C D$ 与平面 $C C_{1} D$ 夹角的余弦值．

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