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相关试卷

1、已知 $F$ 为抛物线 $C : y^{2} = 8 x$ 的焦点， $A$ 为抛物线 $C$ 上一点．若 $|A F| = 11$ ，则点 $F$ 的坐标为，点 $A$ 的横坐标为．

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2、小沉从5瓶不同香味的香水中选择2瓶进行试香，则小沉共有种选择.

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3、数学中有许多形状优美的曲线，曲线 $E : 3 x^{2} + 3 y^{2} - 2 |x y| = 8$ 就是其中之一，则下列四个结论中正确的是（）

A、曲线 $E$ 关于原点对称，且关于直线 $y = x$ 对称 B、曲线 $E$ 上任意一点到原点的距离都不超过2 C、若 $M (x, y)$ 是曲线 $E$ 上的任意一点，则 $3 y - x$ 的最大值为 $\sqrt{35}$ D、已知 $P (1, 1)$ ，直线 $y = k x (k > 0)$ 与曲线 $E$ 交于 $A, B$ 两点，则 $|P A| + |P B|$ 为定值

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4、已知 ${(2 - x)}^{11} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{11} x^{11}$ ，则（）

A、 $a_{0} = 2^{11}$ B、 $a_{0} + a_{1} + a_{2} + \dots + a_{11} = 0$ C、 $a_{1} + a_{3} + a_{5} + a_{7} + a_{9} + a_{11} = \frac{1 - 3^{11}}{2}$ D、 $a_{1} + 2^{1} \times a_{2} + 2^{2} \times a_{3} + \dots + 2^{10} \times a_{11} = - 2^{10}$

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5、已知虚数 $z$ 满足 $\bar{z} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i$ ，则（）

A、 $z$ 的实部为 $- \frac{1}{2}$ B、 $z$ 的虚部为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $|z| = 1$ D、 $z$ 在复平面内对应的点在第三象限

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6、元旦假期，某旅游公司安排6名导游分别前往沈阳故宫、本溪水洞、鞍山千山、盘锦红海滩四个景区承担义务讲解任务，要求每个景区都要有导游前往，且每名导游都只安排去一个景区，则不同的安排方法种数为（）

A、1280 B、300 C、1880 D、1560

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7、已知 $A (2, 0)$ ， $B (- 1, 1)$ ，动点 $H (x, y)$ 满足 $\sqrt{3} |H A| = \sqrt{2} |H B|$ ，记动点 $H$ 的轨迹为曲线 $C$ ，则曲线 $C$ 的方程为（）

A、 $x^{2} + y^{2} + 16 x - 4 y + 8 = 0$ B、 $x^{2} + y^{2} - 8 x + 4 y + 8 = 0$ C、 $x^{2} + y^{2} - 16 x + 4 y + 8 = 0$ D、 $x^{2} + y^{2} + 16 x - 4 y - 8 = 0$

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8、已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，若 $g (x) = f (x) + 2, g (3) = 1$ ，则 $g (- 3) =$ （）

A、3 B、 $- 3$ C、1 D、 $- 1$

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9、如图，在 $△ A B C$ 中， $D$ 是 $B C$ 延长线上一点，且 $B D = 3 B C$ ，则 $\vec{A D} =$ （）

A、 $4 \vec{A C} - 3 \vec{A B}$ B、 $3 \vec{A C} - 2 \vec{A B}$ C、 $\frac{4}{3} \vec{A C} - \frac{1}{3} \vec{A B}$ D、 $\frac{1}{3} \vec{A C} - \frac{2}{3} \vec{A B}$

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10、已知 $C_{16}^{x} = C_{16}^{2 x + 1}$ ，则 $x =$ （）

A、4 B、3 C、5 D、1

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11、下列双曲线，焦点在 $y$ 轴上且渐近线方程为 $y = \pm \frac{1}{2} x$ 的是（）

A、 $\frac{x^{2}}{4} - y^{2} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{2} - \frac{y^{2}}{8} = 1$ C、 $\frac{y^{2}}{3} - \frac{x^{2}}{12} = 1$ D、 $\frac{y^{2}}{4} - x^{2} = 1$

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12、在等差数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} + a_{39} = 10$ ，则 $a_{20} =$ （）

A、20 B、10 C、 $\sqrt{10}$ D、5

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13、小亦从2本不同的人教A版必修系列书籍和3本不同的人教A版选择性必修系列书籍中各选1本进行复习，则不同的选择方案共有（）

A、5种 B、6种 C、8种 D、9种

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14、函数 $f (x) = \frac{1}{x - 1} + \log_{2} x$ 的定义域为．

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15、在菱形 $A B C D$ 中， $A B = 2$ ， $∠ B A D = 60 °$ ， E为AB的中点，将 $△ A D E$ 沿直线DE翻折至 $△ A_{1} D E$ 的位置，使得二面角 $A_{1} - D E - C$ 为直二面角，若 $P$ 为线段 $A_{1} C$ 的中点，则（）

A、 $B P //$ 平面 $A_{1} D E$ B、 $D P ⊥ E C$ C、异面直线 $P B$ ， $A_{1} D$ 所成的角为 $\frac{π}{3}$ D、 $A_{1} B$ 与平面 $P B D$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{42}}{7}$

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16、如果直线 $l_{1} : x + 2 a y - 1 = 0$ 与直线 $l_{2} : (3 a - 1) x - a y - 1 = 0$ 平行，则 $a =$ （）

A、0 B、 $\frac{1}{6}$ C、0或1 D、0或 $\frac{1}{6}$

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17、对任意正整数 $n$ ，记集合 $A_{n} = \{(a_{1}, a_{2}, \cdot \cdot \cdot, a_{n}) |a_{1}, a_{2}, \cdot \cdot \cdot, a_{n}$ 均为非负整数，且 $a_{1} + a_{2} + \cdot \cdot \cdot + a_{n} = n\}$ ，集合 $B_{n} = \{(b_{1}, b_{2}, \cdot \cdot \cdot, b_{n}) |b_{1}, b_{2}, \cdot \cdot \cdot, b_{n}$ 均为非负整数，且 $b_{1} + b_{2} + \cdot \cdot \cdot + b_{n} = 2 n\}$ ．设 $α = (a_{1}, a_{2}, \cdot \cdot \cdot, a_{n}) \in A_{n}$ ， $β = (b_{1}, b_{2}, \cdot \cdot \cdot, b_{n}) \in B_{n}$ ，若对任意 $i \in \{1, 2, \cdot \cdot \cdot, n\}$ 都有 $a_{i} \leq b_{i}$ ，则记 $α ≺ β$ ．

(1)、写出集合 $A_{2}$ 和 $B_{2}$ ；

(2)、证明：对任意 $α \in A_{n}$ ，存在 $β \in B_{n}$ ，使得 $α ≺ β$ ；

(3)、设集合 $S_{n} = \{(α, β) |α \in A_{n}, β \in B_{n}, α ≺ β\}$ 求证： $S_{n}$ 中的元素个数是完全平方数．

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18、一段路上有100个路灯 $L_{1}, L_{2}, \dots, L_{100}$ 一开始它们都是关着的，有100名行人先后经过这段路，对每个 $k \in \{1, 2, 3, \dots, 100\}$ ，当第 $k$ 名行人经过时，他将所有下标为 $k$ 的倍数的路灯 $L_{k}, L_{2 k}, \dots$ 的开关状态改变.问当第100名行人经过后，有个路灯处于开着的状态.

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19、下列命题为真命题的是（）.

A、若 $a > b > 0$ ，则 $a + \frac{1}{a} > b + \frac{1}{b}$ B、若 $m > n > 0$ ，则 $\frac{m + 1}{n + 1} < \frac{m}{n}$ C、如果 $c > a > b > 0$ ，那么 $\frac{a}{c - a} > \frac{b}{c - b}$ D、若 $a \geq b > - 1$ ，则 $\frac{a}{a + 1} \geq \frac{b}{b + 1}$

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20、两县城 $A$ 和 $B$ 相距 $10 km$ ，现计划在县城外以 $A B$ 为直径的半圆弧 $\overset{⌢}{A B}$ （不含 $A$ ， $B$ 两点）上选择一点 $C$ 建造垃圾处理站，其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关，垃圾处理厂对城 $A$ 的影响度与所选地点到城 $A$ 的距离的平方成反比，比例系数为 $4$ ；对城 $B$ 的影响度与所选地点到城 $B$ 的距离的平方成反比，比例系数为 $K$ .对城 $A$ 和城 $B$ 的总影响度为城 $A$ 和城 $B$ 的影响度之和，记 $C$ 点到城市 $A$ 的距离为 $x$ ，建在 $C$ 处的垃圾处理厂对城 $A$ 和城 $B$ 的总影响度为 $y$ .统计调查表明：当垃圾处理厂建在 $\overset{⌢}{A B}$ 的中点时，对城 $A$ 和城 $B$ 的总影响度为 $0.26$ .

(1)、将 $y$ 表示成 $x$ 的函数；

(2)、判断弧 $\overset{⌢}{A B}$ 上是否存在一点，使得建在此处的垃圾处理厂对城 $A$ 和城 $B$ 的总影响度最小？若存在，求出该点到城 $A$ 的距离；若不存在，说明理由.

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