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相关试卷

1、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ $(a > b > 0)$ 的左、右顶点分别为 $A, B$ ，且 $|A B| = 4$ ，离心率为 $\frac{1}{2}$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、设 $P$ 是椭圆 $C$ 上不同于 $A, B$ 的一点，直线 $P A$ ， $P B$ 与直线 $x = 4$ 分别交于点 $M, N$ .试判断以 $M N$ 为直径的圆是否过定点，若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.

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2、已知函数 $f (x) = e^{x} - a x (a$ 为常数 $)$ 的图象与y轴交于点A，曲线 $y = f (x)$ 在点A处的切线斜率为 $- 2$ ．
（1）求a的值及函数 $f (x)$ 的单调区间；
（2）设 $g (x) = x^{2} - 3 x + 1$ ，证明：当 $x > 0$ 时， $f (x) > g (x)$ 恒成立．

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3、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $C D // A B$ ， $A D = D C = B C = 1$ ， $A B = P D = 2$ ，设 $E$ 为 $P B$ 的中点.

(1)、证明： $C E //$ 平面 $P A D$ ；

(2)、求平面 $P A D$ 与平面 $P B C$ 夹角的余弦值.

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4、在数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{2} = 5$ ，点 $(a_{n + 1}, a_{n}) (n \in N^{*})$ 在直线 $x - y - 2 = 0$ 上.

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、记 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $b_{n} = \frac{1}{S_{n} - n}$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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5、若函数 $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - 2 x + a \ln x$ 有唯一一个极值点，则实数a的取值范围是.

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6、函数 $f (x) = e^{x} + x$ 在 $x = 0$ 处的切线的方程为

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7、已知函数 $f (x) = x^{3} + 3 x^{2} + m x - 3$ ，则（）

A、当 $m \leq 3$ 时，函数 $f (x)$ 有两个极值 B、过点 $(0, 1)$ 且与曲线 $y = f (x)$ 相切的直线有且仅有一条 C、当 $m = 1$ 时，若 $b$ 是 $a$ 与 $c$ 的等差中项，直线 $a x - b y - c = 0$ 与曲线 $y = f (x)$ 有三个交点 $P (x_{1}, y_{1}),$ $Q (x_{2}, y_{2}), R (x_{3}, y_{3})$ ，则 $x_{1} + x_{2} + x_{3} = - 3$ D、当 $m = 0$ 时，若 $- 1 < x < \frac{1}{2}$ ，则 $- 3 < f (x) < f (\frac{3}{2} x - \frac{1}{4}) < 1$

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8、已知两个不相等的正实数x，y满足 $y \ln \frac{x}{y} = 1 - \frac{y}{x}$ ，则下列结论一定正确的是（）

A、 $x + y = 1$ B、 $x y = 1$ C、 $x + y > 2$ D、 $0 < x + y < 1$

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9、已知 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，且当 $x \in (0, + \infty)$ 时，都有不等式 $f (x) - x f^{'} (x) > 0$ 成立，若 $a = 4^{\frac{1}{5}} f (4^{- \frac{1}{5}})$ ， $b = \sqrt{2} f (\frac{\sqrt{2}}{2})$ ， $c = \log_{\frac{1}{3}} 9 f (\log_{\frac{1}{3}} \sqrt{3})$ ，则a，b，c的大小关系是（）

A、 $a < b < c$ B、 $a < c < b$ C、 $b > a > c$ D、 $a > b > c$

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10、已知 $f (x) = \frac{e^{x}}{x}$ 在区间 $(m, 6 - m^{2})$ 上有极小值，则实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, \sqrt{5})$ B、 $(- 2, \sqrt{5})$ C、 $[- 2, \sqrt{5})$ D、 $(- \sqrt{5}, 1)$

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11、若函数 $f (x) = x^{2} - \frac{1}{2} \ln x + 1$ 在其定义域内的一个子区间 $(k - 1, k + 1)$ 内不是单调函数，则实数k的取值范围（）

A、 $[1, + \infty)$ B、 $[1, \frac{3}{2})$ C、 $(- \frac{1}{2}, \frac{3}{2})$ D、 $(1, \frac{3}{2})$

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12、函数 $f (x) = \frac{x^{2}}{e^{x} + e^{- x}}$ 的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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13、已知函数 $f (x)$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ ，若 $f (x) = 3 x f^{'} (2) + ln x + \frac{3}{2} x$ ，则 $f^{'} (2) =$ （）

A、1 B、 $- 1$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $- \frac{1}{2}$

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14、若将函数 $f (x) = 2 \cos (2 x + \frac{π}{6})$ 图象上所有点的横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ ，纵坐标不变，再向右平移 $\frac{π}{8}$ 个单位长度，得到函数 $g (x)$ 的图象．

(1)、求 $g (x)$ 的解析式；

(2)、求 $g (x)$ 图象的对称中心；

(3)、若 $f (2 x) = \frac{1}{2} g (x)$ ，求 $\tan (4 x + \frac{π}{6})$ 的值．

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15、已知函数 $f (x) = \sin x \cdot \cos x + \cos^{2} x, x \in R$
（1）求 $f (\frac{π}{3})$ 的值
（2）求函数 $f (x)$ 最小正周期；
（3）当 $x \in [0, \frac{π}{2}]$ 时，求函数 $f (x)$ 的值域.

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16、已知平面向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $|\vec{a}| = 2$ ， $|\vec{b}| = 3$ ，且 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$ ．

(1)、求 $|\vec{a} + \vec{b}|$

(2)、若 $\vec{a} - \vec{b}$ 与 $\vec{a} + k \vec{b} (k \in R)$ 垂直，求k的值．

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17、点 $C$ 在线段 $A B$ 上，且 $\frac{A C}{C B} = \frac{3}{2}$ ，则 $\overset{⇀}{A C} =$ $\overset{⇀}{A B}$ ， $\overset{⇀}{B C} =$ $\overset{⇀}{A B}$ .

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18、已知向量 $\overset{⃑}{a}$ ， $\overset{⃑}{b}$ 是两个不共线的向量，且向量m $\overset{⃑}{a} -$ 3 $\overset{⃑}{b}$ 与 $\overset{⃑}{a} +$ （2﹣m） $\overset{⃑}{b}$ 共线，则实数m的值为（）

A、﹣1或3 B、 $\sqrt{3}$ C、﹣1或4 D、3或4

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19、已知函数 $f (x)$ 是区间 $D$ 上的可导函数，数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n} \in D$ ，若点 $A_{0} (a, f (a)) (a \in D)$ 与 $A_{n} (a_{n}, f (a_{n}))$ 所在直线的斜率存在，且与 $f (x)$ 的图象在 $x = a_{n + 1}$ 处的切线斜率相等，则称 $\{a_{n}\}$ 为 $f (x)$ 的“ $a$ —和谐数列”.

(1)、若 $f (x) = \sqrt{x}$ ， $D = (0, + \infty)$ ， $\{a_{n}\}$ 是 $f (x)$ 的“1—和谐数列＂，且 $a_{1} = 4$ ，求 $a_{n}$ ；

(2)、若 $f (x) = x^{3} + 6 \sin x$ ， $D = (0, + \infty)$ .
①判断 $f (x)$ 在 $D$ 上的单调性；
②若 $\{a_{n}\}$ 是 $f (x)$ 的“ $a$ —和谐数列”，且 $a_{n + 1} \in (a, a_{n})$ ，求证： $\frac{a_{n + 1} - a}{a_{n} - a} > \frac{1}{2}$ .

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20、已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 上任意一点到两焦点 $F_{1}, F_{2}$ 距离之和为 $4 \sqrt{2}$ ，离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线 $l$ 的斜率为 $\frac{1}{2}$ ，直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于 $A, B$ 两点，点 $P (2, 1)$ 为椭圆上一点，求 $△ P A B$ 的面积的最大值．

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