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相关试卷

1、如图，已知长方体ABCD-A^'B^'C^'D^' ，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量.
（1） $\overset{⃑}{A A^{'}}$ － $\overset{⃑}{C B}$
（2） $\overset{⃑}{A A^{'}}$ ＋ $\overset{⃑}{A B}$ ＋ $\overset{⃑}{B^{'} C^{'}}$

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2、直线l经过点 $P (- 2, - 1)$ 且一个法向量为 $\vec{n} = (6, 8)$ ，则直线l的一般式方程为．

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3、若直线l的倾斜角为 $\frac{π}{3}$ 且在y轴上的截距为 $- 2$ ，则直线l的斜截式方程为.

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4、已知圆 $C : x^{2} + y^{2} = 4$ ，以下四个命题表述正确的是（）

A、直线 $x \sin θ + y \cos θ - 4 = 0 (θ \in R)$ 是圆 $C$ 的一条切线 B、圆 $C$ 与圆 $C_{1} : x^{2} + y^{2} - 6 x - 8 y + m = 0$ 恰有一条公切线，则 $m = - 24$ C、圆 $C$ 与圆 $C_{2} : x^{2} + y^{2} - 6 x - 8 y + 24 = 0$ 的交线方程为： $3 x + 4 y - 14 = 0$ D、圆 $x^{2} + y^{2} = 4$ 上有且仅有3个点到直线 $l : x - y + \sqrt{2} = 0$ 的距离都等于1

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5、直线 $3 x - 4 y + 5 = 0$ 关于直线 $x + y = 0$ 对称的直线方程为（）

A、 $4 x - 3 y - 5 = 0$ B、 $4 x + 3 y + 5 = 0$ C、 $4 x + 3 y - 5 = 0$ D、 $4 x - 3 y + 5 = 0$

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6、已知向量 $\vec{a} = (1, - 1, 4), \vec{b} = (- 2, 1, - 2), \vec{c} = (- 3, 1, λ)$ .若 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 共面，则实数 $λ =$ （）

A、 $- \frac{5}{2}$ B、 $- 2$ C、 $- 1$ D、0

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7、直线x－2y＋3＝0与2x－y＋3＝0的交点坐标为（）

A、(－1，1) B、(1，－1) C、(1，1) D、(－1，－1)

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8、已知直线 $a x + y + 2 a = 0$ 与直线 $x + a y + 1 - a = 0$ 平行，则实数 $a$ 的值是（）

A、0 B、 $- 1$ C、1 D、 $\pm 1$

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9、已知椭圆 $E$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ）的长轴长为4，离心率为 $\frac{1}{2}$ ．

(1)、求椭圆 $E$ 的方程；

(2)、直线l过椭圆E的左焦点F，且与E交于 $M, N$ 两点（不与左右顶点重合），点 $T (t, 0)$ 在 $x$ 轴正半轴上，直线 $T M$ 交 $y$ 轴于点P，直线 $T N$ 交 $y$ 轴于点 $Q$ ，问是否存在 $t$ ，使得 $\vec{T P} \cdot \vec{T Q}$ 为定值？若存在，求出 $t$ 的值及定值；若不存在，请说明理由．

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10、点 $A (m, 2)$ 在抛物线 $y^{2} = 2 p x (0 < p < 2)$ 上，且到抛物线的焦点 $F$ 的距离为 $\frac{5}{2}$ .

(1)、求抛物线 $C$ 的方程；

(2)、过点 $F$ 的直线交抛物线于 $B$ ， $C$ 两点，且 $∠ B A C = 90^{\circ}$ ，求直线 $B C$ 的方程.

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11、已知点 $A (a, 4)$ 在抛物线 $y^{2} = 4 x$ 上， $F$ 为抛物线的焦点，直线 $A F$ 与准线相交于点 $B$ ，则线段 $|F B|$ 的长度为.

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12、过抛物线x²＝my(m≠0)的焦点且与y轴垂直的直线与抛物线交于A，B两点，若三角形ABO的面积为2，则m的值可能为（）

A、4 B、－4 C、2 D、－2

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13、若数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n + 1} = 1 - \frac{1}{a_{n}}$ ，且 $a_{1} = 2$ ，则 $a_{2024} =$ （）

A、 $- 1$ B、2 C、 $\sqrt{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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14、设 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 是椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点， $P$ 为直线 $x = \frac{a^{2}}{c}$ 上一点，若 $△ F_{2} P F_{1}$ 是底角为 $30^{\circ}$ 的等腰三角形，则椭圆 $E$ 的离心率为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{4}{5}$

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15、已知 $S_{n}$ 为数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和， $S_{n} = 2^{n} - 1$ ，则 $a_{4} =$ （）

A、 $2$ B、 $4$ C、 $6$ D、 $8$

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16、已知点 $A (2, 0)$ 与 $B (0, 4)$ 关于直线 $a x + y + b = 0$ 对称，则 $a + b =$ （）

A、 $- 4$ B、 $- 2$ C、0 D、3

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17、已知 $\vec{a} = (2 cos x, \frac{\sqrt{3}}{2})$ ， $\vec{b} = (sin (x - \frac{π}{3}), 1)$ ，设 $f (x) = \vec{a} \cdot \vec{b}$ .

(1)、 $x \in [\frac{π}{12}, \frac{π}{2}]$ ，求函数 $f (x)$ 的值域.

(2)、若 $x_{0} \in [\frac{5 π}{12}, \frac{2 π}{3}]$ ，且 $f (\frac{x_{0}}{2}) = \frac{4}{5}$ ，求 $tan (2 x_{0} - \frac{5 π}{12})$ 的值.

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18、已知直线 $l_{1}$ ： $a x - (a - 4) y + 2 = 0$ ，直线 $l_{2}$ ： $2 x + a y - 1 = 0$ .

(1)、若 $l_{1} ∥ l_{2}$ ，求实数 $a$ 的值；

(2)、若 $l_{1} ⊥ l_{2}$ ，求实数 $a$ 的值.

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19、四棱锥 $P - A B C D$ 的底面是边长为1的正方形，如图所示，点 $E$ 是棱 $P D$ 上一点， $P E = \frac{3}{4} P D$ ，若 $\vec{P F} = λ \vec{P C}$ 且满足 $B F / /$ 平面 $A C E$ ，则 $λ =$ .

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20、在四面体ABCD中， $A D = B C = B D = 2$ ， $A D ⊥$ 面BCD，底面三角形BCD为直角三角形， $∠ C B D = 90 °$ .若该四面体的四个顶点都在球O的表面上，M，N分别是AB和BC的中点，过M、N两点作球O的截面，则面积的最小值为.

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