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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = a + \frac{2}{3^{x} + 1}$ 是奇函数，则 $f (2) =$ （）

A、 $- \frac{4}{5}$ B、 $- \frac{5}{4}$ C、 $\frac{4}{5}$ D、 $\frac{5}{4}$

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2、已知函数 $f (x + 1) = x^{2} - x + 3$ ，则 $f (x) =$ （）

A、 $x^{2} - 3 x + 5$ B、 $x^{2} - x + 5$ C、 $x^{2} - 3 x + 3$ D、 $x^{2} + x + 3$

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3、幂函数 $f (x) = (m ^{2} - 4 m + 4) x ^{m - 2}$ 在 $(0, + \infty)$ 上单调递增，则（）

A、 $m = 1$ B、 $m = 3$ C、 $m = 1$ 或3 D、 $m > 2$

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4、笛卡尔是法国伟大的数学家之一，他对现代数学的发展作出过重要的贡献，由于他的几何坐标系的公式化而被后人认为是“解析几何之父”.高一某同学在网上查阅资料时，无意间发现“笛卡尔积”是一个很有趣的问题.对于非空数集A，B，定义 $A \otimes B = \{(x, y) |x \in A$ 且 $y \in B\}$ ，将 $A \otimes B$ 称为“A与B的笛卡尔积”

(1)、若 $A = \{0, 1\}, B = \{2\}$ ，求 $A \otimes B$ 和 $B \otimes A$ ；

(2)、若集合H是有限集，将集合H的元素个数记为 $|H|$ .记 $|A_{1}| = x (x \in N^{*})$ ， $|A_{2}| = y (y \in N^{*})$ ，满足 $\frac{|A_{1} \otimes A_{1}| + |A_{2} \otimes A_{2}|}{|A_{1} \otimes A_{2}|} \geq a$ ，对x，y恒成立，求 $a$ 的取值范围；

(3)、证明：“ $A_{1} \otimes A_{2} = A_{2} \otimes A_{1}$ ”的充要条件是“ $A_{1} = A_{2}$ ”.

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5、已知正实数x，y满足 $2 x^{2} + 5 x y + 2 y^{2} = 2 x + y$ .

(1)、求 $x + 2 y$ 的值；

(2)、求 $\frac{3}{3 x + 1} + \frac{2}{y}$ 的最小值；

(3)、若 $z > 1$ ，求 $\frac{y z}{x} + \frac{z}{x y} + \frac{\sqrt{5}}{z - 1} - 4 z$ 的最小值.

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6、已知函数 $f (x)$ 是定义在区间 $[- 1, 1]$ 上的奇函数，且 $f (1) = 1$ ，若对于任意实数的m， $n \in [- 1, 1] (m + n \neq 0)$ ，有 $\frac{f (m) + f (n)}{m + n} > 0$ .

(1)、证明函数 $f (x)$ 在区间 $[- 1, 1]$ 上单调递增；

(2)、解不等式 $f (x + \frac{1}{2}) < f (1 - x)$ ；

(3)、若 $f (x) \leq - 2 a t + 2$ 对于任意的 $x \in [- 1, 1], a \in [- 1, 1]$ 恒成立，求实数t的取值范围.

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7、已知集合 $A = \{x | 2 m + 1 \leq x \leq 3 m + 4\}$ ，函数 $f (x) = 2^{x} - 1 (x \leq 3)$ 的值域为集合 $B$ .

(1)、当 $m = 1$ 时，求 $\bar{A} \cap B, A \cap \bar{B}$ ；

(2)、当 $A \cup B = B$ 时，求实数 $m$ 的取值范围.

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8、已知函数 $f (x) = \frac{4^{x}}{4^{x} + 2}$ .

(1)、求 $f (x) + f (1 - x)$ 的值；

(2)、求 $f (\frac{1}{2024}) + f (\frac{2}{2024}) + \cdot \cdot \cdot + f (\frac{2023}{2024})$ .

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9、已知函数 $f (x) = \{\begin{matrix} x - \frac{4}{x} - a, x > a \\ a - (x + \frac{4}{x}), x \leq a \end{matrix}$ ，关于x的方程 $|f (x) - a| = 4$ 恰有四个不同的实数解，则正实数a的取值范围是.

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10、已知函数 $y = f (x)$ 是定义在R上的奇函数，当 $x \leq 0$ 时， $f (x) = - x^{3} + x^{2}$ ，则当 $x > 0$ 时， $f (x) =$ .

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11、若幂函数 $f (x)$ 经过点 $(8, 2)$ ，则 $f (27) =$ .

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12、已知函数 $f (x) = x |x - \frac{m}{2}|$ ，下列说法正确的是（）

A、存在实数m，使得 $f (x)$ 为偶函数； B、存在实数m，使得 $f (x)$ 为奇函数； C、任意实数 $M > 0$ ，存在实数 $x_{0}$ ，使得 $f (x_{0}) > M$ ； D、若 $f (x)$ 在区间 $(a, b)$ 上单调递减， $b - a$ 的最大值为 $\frac{|m|}{2}$

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13、狄利克雷是德国数学家，他在数学领域做出了卓越的贡献.狄利克雷先在德国受教育后来到法国向很多著名的数学家学习，其首篇论文是费马大定理 $n = 5$ 的情况，后来亦证明了 $n = 14$ 的情况.迪利克雷函数是以他的名字命名的特殊函数： $D (x) = \{\begin{array}{l} 1, x 是有理数 \\ 0, x 是无理数 \end{array}$ ，有关该函数的图象，下列判断不正确的是（）

A、图象是连续的 B、图象是折线段 C、图象关于y轴对称 D、图象能画出

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14、下列结论中，正确的是（）

A、函数 $y = 2^{x - 1}$ 是指数函数 B、函数 $y = {(\frac{1}{3})}^{- x^{2} + 2 x}$ 的单调增区间是 $(1, + \infty)$ C、若 $a^{m} > a^{n} (a > 0, a \neq 1)$ 则 $m > n$ D、函数 $f (x) = a^{x - 2} - 3 (a > 0, a \neq 1)$ 的图象必过定点 $(2, - 2)$

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15、已知函数 $f (x)$ 满足 $f (1 - x) = f (5 + x)$ ， $f (x)$ 在 $(- \infty, 3]$ 上单调递减， $f (0) = 0$ ，则 $f (2 - 3 x) > 0$ 的解集是（）

A、 $(- \infty, \frac{2}{3}) \cup (2, + \infty)$ B、 $(\frac{2}{3}, 2)$ C、 $(- \frac{4}{3}, \frac{2}{3})$ D、 $(- \infty, - \frac{4}{3}) \cup (\frac{2}{3}, + \infty)$

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16、设 $a > b > c, n \in N$ ，且 $\frac{1}{a - b} + \frac{1}{b - c} \geq \frac{n}{a - c}$ 恒成立，则 $n$ 的最大值为（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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17、若函数 $f (x) = \frac{1}{a x^{2} + b x + c}$ 的部分图象如图所示，则 $f (5) =$ （）

A、 $- \frac{2}{3}$ B、 $- \frac{1}{12}$ C、 $- \frac{1}{6}$ D、 $- \frac{1}{3}$

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18、函数 $f (x) = \frac{1}{2} e^{x} + x - 2$ 的零点所在的区间是（）

A、 $(- 1, 0)$ B、 $(0, 1)$ C、 $(1, 2)$ D、 $(2, 3)$

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19、“ $x < y < 0$ ”是“ $x^{2} > y^{2}$ ”的

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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20、函数 $y = \frac{\sqrt{1 - x}}{x^{2} + 2 x - 3}$ 的定义域为（）

A、 $(- \infty, - 3) \cup (- 3, 1]$ B、 $(- \infty, - 3) \cup (- 3, 1)$ C、 $(- \infty, - 3) \cup (- 3, 1) \cup (1, + \infty)$ D、 $(- \infty, 1]$

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