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相关试卷

1、在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $\cos A = \sin B = \frac{1}{2 \tan C}$ ，则（）

A、 $A + B = \frac{π}{2}$ B、 $2 A + C = \frac{π}{2}$ C、 $a = c$ D、 $b = \sqrt{3} a$

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2、已知向量 $\vec{a} = (x_{1}, y_{1})$ ， $\vec{b} = (x_{2}, y_{2})$ ，定义新运算： $\vec{a} \cdot \vec{b} = x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2}$ .若函数 $f (x) = \vec{a} \cdot \vec{b}$ ，则称 $f (x)$ 为向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的点积函数.例如：向量 $\vec{a} = (2, x)$ ， $\vec{b} = (\cos x, - 1)$ ，则向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的点积函数 $f (x) = 2 \cos x - x$ .

(1)、若向量 $\vec{m} = (1, - 1)$ ， $\vec{n} = (u \cos x, v \sin x)$ （ $u$ ， $v \in R$ ），且向量 $\vec{m}$ ， $\vec{n}$ 的点积函数 $f (x) = 2 \cos x + 2 \sin x$ ，求 $|\vec{n}|$ 的值；

(2)、若向量 $\vec{m} = (\sin^{2} x, 4)$ ， $\vec{n} = (1, \cos x - 1)$ ，求向量 $\vec{m}$ ， $\vec{n}$ 的点积函数 $g (x)$ 的值域；

(3)、若向量 $\vec{m} = (sin (2 x - \frac{π}{6}), 4)$ ， $\vec{n} = (2, cos (2 x + \frac{π}{3}))$ 的点积函数为 $h (x)$ ，且存在 $x \in [\frac{π}{4}, \frac{2 π}{3}]$ ，使得 $- 2 \leq h (x) + k \leq 3$ 成立，求 $k$ 的取值范围.

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3、已知函数 $f (x) = m - |x - 2|$ ， $m \in R$ ，且 $f (x + 2) \geq 0$ 的解集为 $[- 1, 1]$
（1）求 $m$ 的值；
（2）若 $a, b, c \in R$ ，且 $\frac{1}{a} + \frac{1}{2 b} + \frac{1}{3 c} = m$ ，求证 $a + 2 b + 3 c \geq 9$

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4、（1）已知 $x > 0$ ，求 $y = \frac{2 x}{x^{2} + 1}$ 的最大值.
（2）已知 $x > 0$ ， $y > 0$ ，且 $2 x + 3 y = 6$ ，求 $x y$ 的最大值.

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5、已知集合 $\{x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}, x_{6}\} = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ ，将 $x_{i}$ 与 $x_{j}$ （其中 $i \in \{1, 2, 3\}$ ， $j \in \{4, 5, 6\}$ ）的乘积 $ x_{i} x_{j}$ 放入如图的 $3 \times 3$ 方格中，则方格中全部数之和的最大值为.
$x_{1} x_{4}$
$x_{1} x_{5}$
$x_{1} x_{6}$
$x_{2} x_{4}$
$x_{2} x_{5}$
$x_{2} x_{6}$
$x_{3} x_{4}$
$x_{3} x_{5}$
$x_{3} x_{6}$

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6、一个圆锥恰有三条母线两两夹角为 $60 °$ ，若该圆锥的侧面积为 $3 \sqrt{3} π$ ，则该圆锥的体积为.

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7、函数 $f (x) = {log}_{3} (a^{x} - 2^{- x})$ （ $a > 1$ ），若 $f (x) > 1$ 在 $[1, + \infty)$ 上恒成立，则 $a$ 的取值范围是.

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8、双曲线 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} - y^{2} = 1 (a > 0)$ 的一条渐近线的斜率为 $k$ ，若 $0 < k < 1$ ，则 $a$ 的值可能为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、2 D、 $\sqrt{2}$

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9、已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ，且 $a + b = 1$ ，则 $\frac{1}{a} + \frac{4}{b}$ 的最小值为（）

A、9 B、8 C、7 D、6

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10、已知函数 $f (x) = x^{2} - a e^{x} + 1$ 有两个极值点，则实数a的取值范围是（）

A、 $a \leq 0$ B、 $0 < a < \frac{2}{e}$ C、 $0 < a \leq \frac{2}{e}$ D、 $a \geq \frac{2}{e}$

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11、下列选项中正确的是（）

A、若 $a c > b c$ ，则 $a > b$ B、若 $a > b$ ， $c > d$ ，则 $a c > b d$ C、若 $a > b$ ，则 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ D、若 $a c^{2} > b c^{2}$ ，则 $a > b$

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12、设函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ) (A ＞ 0 ， ω ＞ 0 ， |φ| ＜ \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，则f（0）＝

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\frac{3}{2}$ C、 $\sqrt{2}$ D、1

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13、已知 $f (x)$ 是定义在R上的奇函数，且当 $x > 0$ 时， $f (x) = (x^{2} - 3) e^{x} + 2$ ，则（）

A、 $f (0) = 0$ B、当 $x < 0$ 时， $f (x) = - (x^{2} - 3) e^{- x} - 2$ C、 $f (x) \geq 2$ 当且仅当 $x \geq \sqrt{3}$ D、 $x = - 1$ 是 $f (x)$ 的极大值点

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14、在一个不透明的口袋中装有大小、形状完全相同的n个小球，将它们分别编号为 $1, 2, 3, \cdot \cdot \cdot, n$ ．每次从口袋中随机抽取一个小球，记录编号后放回，直至取遍所有小球后立刻停止摸球．记总的摸球次数为 $X_{n}$ ，其期望为 $E (X_{n})$ ．

(1)、求 $P (X_{2} = 4)$ 与 $P (X_{3} = 5)$ ；

(2)、求 $E (X_{2})$ ；

(3)、证明： $E (X_{n}) > n \ln (n + 1)$ ．
附：①若随机变量 $X$ 的可能取值为 $1, 2, 3, \cdot \cdot \cdot, n, \cdot \cdot \cdot$ ，则 $E (X) = \sum_{i = 1}^{+ \infty} (k \cdot P (X = k)) = \lim_{n \to + \infty} \sum_{i = 1}^{n} (k \cdot P (X = k))$
②若随机变量 $X = \sum_{i = 1}^{n} ξ_{i}$ ，则 $E (X) = \sum_{i = 1}^{n} E (ξ_{i})$ ．

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15、在棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，下列说法正确的有（）

A、 $A_{1} C_{1} / /$ 平面 $A C D_{1}$ B、 $B_{1} D ⊥$ 平面 $A C D_{1}$ C、点 $D$ 到平面 $A C D_{1}$ 的距离为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $A B$ 与平面 $A C D_{1}$ 所成的角为 $30 °$

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16、九宫格的起源可以追溯到远古神话中的洛书，洛书上的图案正好对应着从1到9九个数字，并且纵向、横向、斜向三条线上的三个数字的和（这个和叫做幻和）都等于15，即现代数学中的三阶幻方.根据洛书记载：“以五居中，五方皆为阳数，四隅为阴数”，其意思为：九宫格中5位于居中位置，四个顶角为偶数，其余位置为奇数.如图所示，若随机填写一组幻和等于15的九宫格数据，记事件 $A = “ a + b \geq 9$ ”，则 $P (A)$ 的值为.
$a$
$d$
$f$
$b$
5
$g$
$c$
$e$
$h$

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17、已知正数 $x, y$ 满足 $\frac{2}{x + 1} + \frac{8}{y} = 1$ ，则 $x + y$ 的最小值是（）

A、17 B、16 C、15 D、14

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18、已知函数 $f (x) = \{\begin{matrix} - x^{2} + 2 a x + 4 ， x \leq 1 \\ \frac{1}{x} ， x > 1 \end{matrix}$ 是 $[- \frac{1}{2}, + \infty)$ 上的减函数，则 $a$ 的取值范围是（　　）

A、 $[- 1, - \frac{1}{2}]$ B、 $（ - \infty, - 1]$ C、 $[- 1, - \frac{1}{2})$ D、 $（ - \infty, 1]$

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19、中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的立体为“牟合方盖”，但刘徽未能求得牟合方盖的体积，约200年后，祖冲之的儿子祖暅提出“幂势既同，则积不容异”，后世称为祖暅原理，即：两等高立体，若在每一等高处的截面积都相等，则两立体体积相等．图1为棱长为r的正方体截得的“牟合方盖”的八分之一，图2为棱长为r的正方体的八分之一，图3是底面边长为r的正方体的一个底面和底面以外的顶点作的正四棱锥，由祖暅原理计算知，牟合方盖的体积与其外切正方体的体积之比为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{3}{16}$ D、 $\frac{9}{16}$

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20、已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别是双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点，过 $F_{1}$ 的直线与圆 $x^{2} + y^{2} = a^{2}$ 相切且分别交双曲线的左、右两支于A、B两点，若|AB|=|BF₂|，则双曲线的渐近线方程为．

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$x_{1} x_{4}$	$x_{1} x_{5}$	$x_{1} x_{6}$
$x_{2} x_{4}$	$x_{2} x_{5}$	$x_{2} x_{6}$
$x_{3} x_{4}$	$x_{3} x_{5}$	$x_{3} x_{6}$

$a$	$d$	$f$
$b$	5	$g$
$c$	$e$	$h$