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相关试卷

1、已知 $\log_{\frac{1}{3}} (a - 1) < \log_{\frac{1}{3}} (b - 1)$ ，则下列说法一定成立的是（）

A、 $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$ B、 ${(\frac{1}{2022})}^{a} < {(\frac{1}{2021})}^{b}$ C、 $\ln (a - b) > 0$ D、若 $\vec{A C} = a b \vec{A B}$ ，则点C在线段 $A B$ 上

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2、为维护市场秩序，保护消费者权益，在“五一”假期来临之际，我市物价部门对某商品在5家商场的售价 $x$ （元）及其一天的销售量 $y$ （件）进行调查，得到五对数据 $(x_{i}, y_{i}) (i = 1, 2, 3, 4, 5)$ ，经过分析、计算，得 $\bar{x} = 10 ， \bar{y} = 8$ ， $y$ 关于 $x$ 的经验回归方程为 $\hat{y} = - 3 x + \hat{a}$ ，则相应于点 $(9, 10)$ 的残差为（）

A、 $- 1$ B、1 C、 $- 3$ D、3

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3、党的十九大报告指出，要以创新理念提升农业发展新动力，引领经济发展走向更高形态.为进一步推进农村经济结构调整，某村举办水果观光采摘节，并推出配套乡村游项目现统计了4月份200名游客购买水果的情况，得到如图所示的频率分布直方图：
（1）若将购买金额不低于80元的游客称为“水果达人”，现用分层抽样的方法从样本的“水果达人”中抽取5人，求这5人中消费金额不低于100元的人数；
（2）从（1）中的5人中抽取2人作为幸运客户免费参加山村旅游项目，请列出所有的基本事件，并求2人中至少有1人购买金额不低于100元的概率；
（3）为吸引顾客，该村特推出两种促销方案，
方案一：每满80元可立减8元；
方案二：金额超过50元但又不超过80元的部分打9折，金额超过80元但又不超过100元的部分打8折，金额超过100元的部分打7折.
若水果的价格为11元/千克，某游客要购买10千克，应该选择哪种方案更优惠.

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4、某机械零件工厂为了检验产品的质量，质检部门随机在生产线上抽取了 $100$ 个零件并称出它们的重量（单位：克）．重量按照 $[495, 505)$ ， $[505, 515)$ ， …， $[535, 545]$ 分组，得到频率分布直方图如图所示．
（1）估计该工厂生产的零件重量的平均数；（每组数据用该组的中点值作代表）
（2）估计该工厂生产的零件重量的 $80 %$ 分位数；
（3）按各组零件数量比例用分层随机抽样方法从样本里重量不低于 $525$ 克的零件中抽取 $6$ 个零件，再从这 $6$ 个零件中任取 $2$ 个，求这 $2$ 个零件的重量均在 $[525, 535)$ 内的概率．

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5、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，且 $cos (A - B) cos B - sin (A - B) sin (A + C) = - \frac{3}{5}$

(1)、求 $sin A$ 的值；

(2)、若 $a = 4 \sqrt{2}, b = 5$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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6、如图所示，平行四边形 $A B C D$ 的边 $A D$ 所在的直线与菱形 $A B E F$ 所在的平面垂直，且 $G B = G E$ ， $A E = A F$ .
（1）求证：平面 $A C G ⊥$ 平面 $A D F$ ；
（2）若 $A F = 2$ ， ______，求二面角 $C - A G - F$ 的余弦值，从① $B C = \sqrt{2} A B$ ， ② $B C = A G$ 这两个条件中任选一个填入上面的横线上，并解答问题.

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7、某商场举行有奖促销活动，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个.设1张奖券中特等奖､一等奖､二等奖的事件分别为 $A, B, C$ ，则1张奖券的中奖概率为.

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8、图（1）为棱长为1的正方体，若正方体内有两个球相外切且又分别与正方体的三个面相切，则两球半径之和为.

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9、已知点 $A (2, 3), B (5, 4), C (7, 10)$ ， $\overset{⃑}{A P} = \overset{⃑}{A B} + λ \overset{⃑}{A C}$ ( $λ \in R$ )，试求当点 $P$ 在第三象限时， $λ$ 的取值范围．

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10、已知正四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的底面边为1，侧棱长为 $a$ ， $M$ 是 $C C_{1}$ 的中点，
则（）

A、任意 $a > 0$ ， $A_{1} M ⊥ B D$ B、存在 $a > 0$ ，直线 $A_{1} C_{1}$ 与直线 $B M$ 相交 C、平面 $A_{1} B M$ 与底面 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 交线长为定值 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ D、当 $a = 2$ 时，三棱锥 $B_{1} - A_{1} B M$ 外接球表面积为 $3 π$

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11、下列运算结果正确的是（）.

A、已知 $\vec{a} = (1, m), \vec{b} = (- 1, \sqrt{3})$ ，若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则 $m = - \sqrt{3}$ B、已知点 $A (- 1, 1), B (1, 2), C (- 2, - 1), D (3, 4)$ ，则向量 $\vec{A B}$ 在 $\vec{C D}$ 方向上的投影数量为 $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ C、已知向量 $\vec{m} = (λ + 1, 1), \vec{n} = (λ + 2, 2)$ ，若 $(\vec{m} + \vec{n}) ⊥ (\vec{m} - \vec{n})$ ，则 $λ = - 3$ D、 $\vec{O A}, \vec{O B}$ 向量不共线，点 $P$ 在线段 $A B$ 上，且 $\vec{O P} = \frac{1}{3} \vec{O A} + λ \vec{O B}$ ，则 $λ = \frac{2}{3}$

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12、已知 $i$ 是虚数单位，则下列说法正确的有（）.

A、 $i^{2024} = 1$ B、“ $a = 0$ ”是“复数 $a + b i (a, b \in R)$ 是纯虚数”的必要不充分条件 C、若复数 $z = a + i (a \in R)$ ，且 $|z| = 2$ ，则 $a = \sqrt{3}$ D、若复数 $z$ 满足 $2 z + \bar{z} = 3 - 2 i$ ，则复数 $z$ 的虚部为-2

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13、将函数 $y = 2 \cos (x - φ) (0 < φ < \frac{π}{2})$ 图象上各点横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ ，再向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位得到曲线 $C$ ．若曲线 $C$ 的图象关于原点对称，则函数 $y = 2 \cos (x - φ)$ 的一条对称轴可以为（）

A、 $x = - \frac{π}{3}$ B、 $x = \frac{π}{6}$ C、 $x = \frac{2 π}{3}$ D、 $x = π$

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14、已知集合 $A = \{1, 2 a\}$ ， $B = \{1, 2, 4\}$ ，若 $A \subseteq B$ ，则 $a$ 的值为（）

A、1 B、2 C、1或2 D、1或 $\frac{1}{2}$

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15、池州九华山是著名的旅游胜地．天气预报8月1日后连续四天，每天下雨的概率为0.6.现用随机模拟的方法估计四天中恰有三天下雨的概率：在0～9十个整数值中，假定0，1，2，3，4，5表示当天下雨，6，7，8，9表示当天不下雨．在随机数表中从某位置按从左到右的顺序读取如下40组四位随机数：
9533 9522 0018 7472 0018 3879 5869 3281 7890 2692
8280 8425 3990 8460 7980 2436 5987 3882 0753 8935
9635 2379 1805 9890 0735 4640 6298 8054 9720 5695
1574 8008 3216 6470 5080 6772 1642 7920 3189 0343
据此估计四天中恰有三天下雨的概率为（）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $\frac{21}{40}$ D、 $\frac{17}{40}$

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16、下列统计量中可用于度量样本 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ 离散程度的有（）

A、 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ 的标准差 B、 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ 的中位数 C、 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ 的众数 D、 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ 的平均数

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17、已知两条不同的直线m､ $l$ 和两个不同的平面 $α ， β$ ，下列命题是真命题的为（）

A、若m $∥$ $α$ ， $l$ ⊥m，则 $l$ ⊥α B、若 $α$ $∥$ β， $l$ ⊥ $α$ ， $m \subset β$ ，则 $l$ ⊥m C、若m $∥$ $α$ ， $α$ ⊥ $β$ ，则m⊥ $β$ D、若m $∥$ $l$ ， $l \subset α$ ，则m $∥$ $α$

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18、设z=-3+2i，则在复平面内 $\bar{z}$ 对应的点位于

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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19、水污染现状与工业废水排放密切相关．某工厂深入贯彻科学发展观，努力提高污水收集处理水平，其污水处理程序如下：原始污水必先经过 $A$ 系统处理，处理后的污水（ $A$ 级水）达到环保标准（简称达标）的概率为 $p (0 < p < 1)$ ．经化验检测，若确认达标便可直接排放；若不达标则必须进入 $B$ 系统处理后直接排放．某厂现有4个标准水量的 $A$ 级水池，分别取样、检测．多个污水样本检测时，既可以逐个化验，又可以将若干个样本混合在一起化验．混合样本中只要有样本不达标，混合样本的化验结果必不达标．若混合样本不达标，则该组中各个样本必须再逐个化验；若混合样本达标，则原水池的污水可直接排放．现有以下四种方案：
方案一：逐个化验；
方案二：平均分成两组化验；
方案三：三个样本混在一起化验，剩下的一个单独化验；
方案四：四个样本混在一起化验．
若化验次数的期望值越小，则方案越“优”．
（1）若 $p = \frac{2 \sqrt{2}}{3}$ ，现有4个 $A$ 级水样本需要化验，请问：方案一、二、四中哪个最“优”？
（2）若“方案三”比“方案四”更“优”，求 $p$ 的取值范围．

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20、记 $S_{n}$ 是各项均不为零的数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和，已知 $a_{1} = \frac{1}{2}, \frac{3}{S_{n}} = \frac{1}{S_{n}^{2}} + \frac{3}{a_{n}} (n \geq 2, n \in N)$ ．

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = S_{n} S_{n + 1}$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前n项和 $T_{n}$ ．

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