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相关试卷

1、若点 $P_{1} (x_{1}, y_{1})$ 在椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ 上，点 $P_{2} (x_{2}, y_{2})$ 在直线 $x + 2 y - 4 = 0$ 上，则 $|x_{2} - x_{1}| + 2 |y_{2} - y_{1}|$ 的最小值是．

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2、如图所示，点 $F$ 是抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的焦点，点 $A, B$ 分别在抛物线 $y^{2} = 4 x$ 及圆 ${(x - 1)}^{2} + y^{2} = 16$ 的实线部分上运动，且 $A B$ 总是平行于 $x$ 轴，则 $△ F A B$ 的周长的取值范围是（）

A、 $[8, 10]$ B、 $(5, 8)$ C、 $(10, 12)$ D、 $(8, 10)$

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3、直线 $l : 3 x - y + 4 = 0$ 的一个方向向量为（）

A、 $(3, - 1)$ B、 $(3, 1)$ C、 $(1, 3)$ D、 $(1, \frac{1}{3})$

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4、俄国数学家切比雪夫（1821—1894）是研究直线逼近函数的理论先驱．对定义在非空集合 $I$ 上的函数 $f (x)$ ，以及函数 $g (x) = k x + b (k, b \in R)$ ，切比雪夫将函数 $y = |f (x) - g (x)|, x \in I$ 的最大值称为 $f (x), g (x)$ 的“偏差”．

(1)、函数 $f (x) = x^{2} (x \in [0, 1]), g (x) = - x - 1$ ，求 $f (x), g (x)$ 的“偏差”；

(2)、函数 $f (x) = \frac{1}{x} + 1 (x \in [1, 2]), g (x) = k x + 1 (k > 0)$ ，若 $f (x), g (x)$ 的“偏差”为2，求 $k$ 的值；

(3)、函数 $f (x) = x^{2} - x (x \in [0, 3]) g (x) = 2 x + b$ ，若 $f (x), g (x)$ 的“偏差”取最小值，求 $b$ 的值，并求出“偏差”的最小值．

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5、已知函数 $f (x) = |2^{x} - 2|$ ，且 $f (a) = f (b), a < b$ ，则（）

A、 $2^{a} + 2^{b} = 4$ B、 $a + b < 2$ C、 $b < 1$ D、 $f (a) \cdot 2^{b} \in (0, 8)$

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6、已知函数 $f (x) = a e^{2 x} + (a - 2) e^{x} - x$ .

(1)、 $a = 0$ 时，证明： $x > 0$ 时， $f (x) < 0$ ；

(2)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(3)、若 $f (x)$ 有两个零点，求a的取值范围.

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7、已知函数 $f (x) = 2 x - \ln x + \frac{3}{x}$ ．

(1)、求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程；

(2)、求函数 $f (x)$ 的极值．

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8、已知 $\{a_{n}\}$ 是等差数列， $a_{1} = 1$ ， $a_{8} = 50$ ．
（1）求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；
（2）求数列 $\{2^{n} - 2 a_{n}\}$ 的前n项和 $S_{n}$ ．

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9、已知 ${(2 a x - \frac{1}{x})}^{n} (a > 0)$ 的展开式中只有第5项的二项式系数最大，若展开式中所有项的系数和为1，则正确的命题是（）

A、 $n = 8$ B、 $a = 1$ C、展开式中所有二项式系数的和为512 D、展开式中含 $x^{6}$ 的项为 $- 1024 x^{6}$

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10、用半径为 $1$ 的圆形铁皮剪出一个圆心角为 $α$ 的扇形，制成一个圆锥形容器，当容器的容积最大时 $α =$ （）

A、 $\frac{2 \sqrt{6} π}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{6} π}{3}$ C、 $\frac{2 \sqrt{3} π}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3} π}{3}$

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11、已知 $a = \frac{1}{2} e^{\frac{3}{2}}$ ， $b = e$ ， $c = \frac{2}{3} e^{\frac{4}{3}}$ （其中 $e$ 为自然对数的底数），则 $a$ ， $b$ ， $c$ 的大小关系为（）

A、 $a > b > c$ B、 $b > c > a$ C、 $b < a < c$ D、 $b < c < a$

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12、若函数 $f (x) = x^{3} + 2 a x^{2} + a^{2} x$ 在 $x = 1$ 处有极大值，则实数 $a$ 的值为（）

A、 $1$ B、 $- 1$ 或 $- 3$ C、 $- 1$ D、 $- 3$

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13、某班从6名学生干部中（其中男生4人，女生2人）.选3人参加学校的义务劳动，事件 $A =$ “男生甲被选中”，事件 $B =$ “女生乙被选中”，则 $P (B |A) =$ （）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{2}{5}$ D、 $\frac{1}{2}$

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14、甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次，已知甲和乙都没有得到冠军，并且乙不是第5名，则这5个人的名次排列情况共有（）

A、72种 B、54种 C、36种 D、27种

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15、已知 $f (x) = x^{2} + 3 x f^{'} (1)$ ，则 $f^{'} (1) =$ （）

A、1 B、2 C、-1 D、-2

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16、已知集合 $A = \{0, 1, 2, 3, 4\}, B = \{x |- 1 < x < 3\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{1, 2\}$ B、 $\{1, 2, 3\}$ C、 $\{0, 1, 2\}$ D、 $\{0, 1, 2, 3\}$

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17、设 $a = 3^{0.8}, b = {(\frac{1}{3})}^{- 0.7}, c = {0.8}^{0.7}$ ，则（）

A、 $a > b > c$ B、 $b > a > c$ C、 $c > a > b$ D、 $c > b > a$

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18、已知角 $α, β \in (0, π)$ ，且 $sin (α - β) + cos (α + β) = 0, sin α sin β = 3 cos α cos β$ ，则 $tan(α - β) =$ （）

A、－2 B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、2

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19、若 $\cos (\frac{π}{4} - α) = \frac{3 \sqrt{2}}{10}$ ，则 $sin 2 α =$ （）

A、 $\frac{7}{25}$ B、 $\frac{16}{25}$ C、 $- \frac{16}{25}$ D、 $- \frac{7}{25}$

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20、蜀绣又名“川绣”，与苏绣，湘绣，粤绣齐名，为中国四大名绣之一，蜀绣以其明丽清秀的色彩和精湛细腻的针法形成了自身的独特的韵味，丰富程度居四大名绣之首.1915年，蜀绣在国际巴拿马赛中荣获巴拿马国际金奖，在绣品中有一类具有特殊比例的手巾呈如图所示的三角形状，点D为边BC上靠近B点的三等分点， $∠ A D C = 60 °$ ， $A D = 2$ ．

(1)、若 $∠ A C D = 45 °$ ，求三角形手巾的面积；

(2)、当 $\frac{A C}{A B}$ 取最小值时，请帮设计师计算BD的长．

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