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相关试卷

1、如图，下列正方体中， $O$ 为底面的中点， $P$ 为所在棱的中点， $M$ 、 $N$ 为正方体的顶点，则满足 $M N ⊥ O P$ 的是（）

A、③④ B、①② C、②④ D、②③

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2、在 $△ A B C$ 中， $\frac{\vec{B A} \cdot \vec{A C}}{|\vec{B C}|} + \frac{\vec{A C} \cdot \vec{B C}}{|\vec{B C}|} = 0$ ， $\frac{\vec{B C}}{|\vec{B C}|} \cdot \frac{\vec{A B}}{|\vec{A B}|} = \frac{1}{2}$ ，则 $△ A B C$ 的形状为（）

A、直角三角形 B、三边均不相等的三角形 C、等边三角形 D、等腰（非等边）三角形

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3、已知向量 $\vec{a} = (- 1, 0, 3), \vec{b} = (1, - 1, 1), \vec{c} = (- 1, 2 x, 1)$ ，若 $(\vec{a} - \vec{b}) / / \vec{c}$ ，则实数 $x =$ （）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $- \frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $- \frac{1}{2}$

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4、如果事件 $A$ 与事件 $B$ 互斥，那么（）条件.

A、 $P (A \cup B) = 1$ B、 $P (A \cap B) = 0$ C、 $\bar{A}$ 与 $\bar{B}$ 一定互斥 D、 $A$ 与 $B$ 一定独立

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5、已知函数 $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 1}$ 是定义在区间 $[- 1, 1]$ 上的函数

(1)、判断函数 $f (x)$ 的奇偶性；

(2)、用定义证明函数 $f (x)$ 在区间 $[- 1, 1]$ 上是增函数；

(3)、解不等式 $f (x + \frac{1}{2}) < f (1 - x)$ .

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6、已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ)$ （ $A > 0$ ， $ω > 0$ ， $|φ| < π$ ）的部分图象如下图所示．

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、写出函数 $f (x)$ 的单调递增区间；

(3)、将函数 $f (x)$ 图象上所有点的横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{4}$ （纵坐标不变），再将所得的函数图象上所有点向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位，得到函数 $g (x)$ 的图象，求 $g (x)$ 在区间 $[0, \frac{π}{2}]$ 上的值域．

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7、在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足 $a^{2} + c^{2} = b^{2} + a c$ ．

(1)、求角B的大小；

(2)、若 $△ A B C$ 的外接圆半径为1，求边长b的值；

(3)、若 $b = 2$ ，求 $△ A B C$ 的面积的最大值．

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8、已知向量 $\vec{a} = (2, 1)$ ， $\vec{b} = (1, - 3)$ ．

(1)、求 $2 \vec{a} - \vec{b}$ ；

(2)、设 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角为 $θ$ ，求 $\cos θ$ 的值；

(3)、若向量 $\vec{a} + k \vec{b}$ 与 $\vec{a} - k \vec{b}$ 互相垂直，求k的值．

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9、已知复数 $z_{1} = (3 - b) + (1 - b) i$ ， $z_{2} = \frac{a + 2 i}{1 - i}$ ，其中 $a, b \in R$

(1)、若 $z_{1}$ 为纯虚数，求b的值；

(2)、若 $z_{1}$ 与 $z_{2}$ 互为共轭复数，求 $a + b$ 的值．

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10、已知 $α, β \in (\frac{3 π}{4}, π)$ ， $sin (α + β) = - \frac{3}{5}$ ， $sin (β - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ，则 $cos (α + \frac{π}{4}) =$ ．

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11、已知 $0 < x < 2$ ，则 $x (2 - x)$ 的最大值为.

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12、已知向量 $\vec{O A} = (1, 2)$ ， $\vec{O B} = (2, 3)$ ， $\vec{O C} = (m + 2, 3 - m)$ ，若点A，B，C能构成三角形，则实数m可以是（）

A、0 B、1 C、 $- 1$ D、 $- 2$

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13、已知函数 $f (x) = 2 sin (2 x - \frac{π}{3})$ ，下列结论正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 的最小正周期是 $π$ B、函数 $f (x)$ 的图象的一条对称轴为 $x = \frac{π}{6}$ C、函数 $f (x)$ 的图象关于点 $(- \frac{π}{3}, 0)$ 对称 D、函数 $f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度后，得到函数 $g (x) = 2 \cos 2 x$

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14、下列选项正确的是（）

A、“ $x > 0$ ”是“ $x > 2$ ”的必要不充分条件 B、若向量 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ， $\vec{b} ∥ \vec{c}$ ，则 $\vec{a} ∥ \vec{c}$ C、命题“ $\exists x \in R$ ， $x^{2} + x + 1 \leq 0$ ”的否定是真命题 D、非零向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $|\vec{a} + \vec{b}| = |\vec{a} - \vec{b}|$ ，则有 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$

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15、等腰直角三角形ABC中， $A = 90^{°}$ ， $A B = A C, D$ 是斜边BC上一点，且 $B D = 3 D C$ ，则 $\overset{⃑}{A D}$ =（）

A、 $\frac{3}{4} \vec{A C} + \frac{5}{4} \vec{A B}$ B、 $\frac{3}{4} \vec{A C} + \frac{1}{4} \vec{A B}$ C、 $\frac{5}{4} \vec{A C} + \frac{1}{4} \vec{A B}$ D、 $\frac{3}{4} \vec{A C} - \frac{1}{4} \vec{A B}$

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16、设函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} 2 - x^{2}, x \leq 1 \\ \log_{2} x, x > 1 \end{array}$ ，则 $f (\frac{1}{f (2)})$ 的值为（）

A、1 B、2 C、0 D、 $- 1$

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17、函数 $f (x) = \frac{1}{\sqrt{x - 1}} + {(3 - x)}^{0}$ 的定义域是（）

A、 $[1, 3)$ B、 $(3, + \infty)$ C、 $(1, 3) \cup (3, + \infty)$ D、 $[1, 3) \cup (3, + \infty)$

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18、曲线 $y = 1 + \sqrt{4 - x^{2}}$ 与直线l：y＝k（x－2）＋4有两个交点，则实数k的取值范围是．

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19、已知函数 $f (x) = \frac{1 - 3^{x}}{1 + 3^{x}}$ ，函数 $g (x) = {(\log_{2} x)}^{2} - 2 \log_{2} x + a$ ，若任意的 $x_{1} \in R$ ，均存在 $x_{2} \in [1, 8]$ ，使得 $f (x_{1}) \leq g (x_{2})$ ，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(4, + \infty)$ B、 $[2, + \infty)$ C、 $[- 2, + \infty)$ D、 $(- 4, + \infty)$

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20、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ，上顶点为P，长轴长为4，若 $△ P F_{1} F_{2}$ 为正三角形．

(1)、求椭圆C的标准方程；

(2)、过点 $F_{1}$ ，斜率为 $\sqrt{3}$ 的直线与椭圆相交M，N两点，求 $M N$ 的长．

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