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相关试卷

1、“拐点”又称“反曲点”，是曲线上弯曲方向发生改变的点.设 $φ^{'} (x)$ 为函数 $φ (x)$ 的导数，若 $α$ 为 $φ^{'} (x)$ 的极值点，则 $(α, φ (α))$ 为曲线 $y = φ (x)$ 的拐点.
已知曲线C： $y = x^{3} - 3 x^{2} + 1$ .

(1)、求C的拐点坐标；

(2)、证明：C关于其拐点对称；

(3)、设 $l$ 为C在其拐点处的切线，证明：所有平行于 $l$ 的直线都与C有且仅有一个公共点.

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2、某学校组织竞赛，有A，B两类问题可供选择，其中A问题答对可得5分，答错0分，B问题答对只可得3分，但答错有2分，现小明与小红参加此竞赛，小红答对2种问题的概率均为0.5，小明答对A，B问题的概率分别为0.3，0.7

(1)、小红一共参与回答了2题，记X为小红的累计得分，求X的分布列

(2)、小明也参与回答了2道问题，记Y为小明的累计得分，求该如何选择问题，使得E[Y]最大．

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3、已知点A(-2，0)，B(2，0)，动点M $(x, y)$ 满足直线AM与BM的斜率之积为 $\frac{1}{2}$ ，记M的轨迹为曲线C.

(1)、求C的方程，并说明C是什么曲线；

(2)、若直线 $l : y = x - 3$ 和曲线C相交于E，F两点，求 $| E F |$ .

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4、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足： $a_{1} = 2, a_{n + 1} = a_{n} + 2^{n}$ .
（1）求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；
（2）若 $b_{n} = \log_{2} a_{n}, T_{n} = \frac{1}{b_{1} b_{2}} + \frac{1}{b_{2} b_{3}} + \dots + \frac{1}{b_{n} b_{n + 1}}$ ，求 $T_{n}$ .

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5、函数 $y = |- x^{2} + 4 x + 5|$ 的单调递增区间是．

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6、已知 $(a x - 2) {(x + \frac{2}{x})}^{5}$ 的展开式中的常数项为240，则 $a =$ ．

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7、有6本不同的书，按下列方式进行分配，其中分配种数正确的是（）

A、分给甲、乙、丙三人，每人各2本，有15种分法 B、分给甲、乙、丙三人，一人4本，另两人各1本，有180种分法 C、分给甲、乙每人各2本，分给丙、丁每人各1本，有180种分法 D、分给甲、乙、丙、丁四人，两人各2本，另两人各1本，有1080种分法

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8、已知四棱锥 $P - A B C D$ 的底面 $A B C D$ 是正方形，则下列关系能同时成立的是（）

A、“ $A B = P B$ ”与“ $P B = B D$ ” B、“ $P A ⊥ P C$ ”与“ $P B ⊥ P D$ ” C、“ $P B ⊥ C D$ ”与“ $P C ⊥ A B$ ” D、“平面 $P A B ⊥$ 平面 $P B D$ ”与“平面 $P C D ⊥$ 平面 $P B D$ ”

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9、已知椭圆 $C$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，下顶点为 $A$ ，直线 $A F_{1}$ 交 $C$ 于另一点 $B$ ， $△ A B F_{2}$ 的内切圆与 $B F_{2}$ 相切于点 $P$ ．若 $|B P| = |F_{1} F_{2}|$ ，则 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{3}{4}$

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10、下列可以作为方程 $x^{3} + y^{3} = 3 x y$ 的图象的是（）

A、 B、 C、 D、

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11、已知事件A与事件B互相独立，且 $P (A) = 0.2, P (B) = 0.7$ ，则 $P (\bar{A} B) =$ （　　）

A、0.06 B、0.14 C、0.24 D、0.56

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12、若 $3 \sin α + 4 \cos α = 5$ ，则 $\tan (α + \frac{π}{4}) =$ （）

A、 $- 7$ B、7 C、 $\frac{1}{7}$ D、 $- \frac{1}{7}$

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13、已知向量 $\vec{a} = (\sqrt{3}, 0, 1)$ ，向量 $\vec{b} = (1, 0, \sqrt{3})$ ，则向量 $\vec{a}$ 在向量 $\vec{b}$ 上的投影向量为（）

A、 $(\sqrt{3}, 0, 1)$ B、 $(\frac{\sqrt{3}}{2}, 0, \frac{3}{2})$ C、 $(1, 0, \sqrt{3})$ D、 $(\frac{3}{2}, 0, \frac{\sqrt{3}}{2})$

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14、已知集合 $A = {x | x^{2} - x = 0}$ ，则 $- 1$ 与集合 $A$ 的关系为（）

A、 $- 1 \in A$ B、 $- 1 \notin A$ C、 $- 1 \subseteq A$ D、 $- 1 ⊄ A$

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15、在空间直角坐标系中，点 $M (- 3, 1, 5)$ ，关于 $x$ 轴对称的点的坐标是

A、 $(- 3, - 1, - 5)$ B、 $(- 3, 1, - 5)$ C、 $(3, 1, - 5)$ D、 $(3, - 1, - 5)$

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16、17世纪荷兰数学家舒腾设计了多种圆锥曲线规，其中的一种如图1所示.四根等长的杆用铰链首尾链接，构成菱形 $L F_{2} K Q$ .带槽杆 $Q F_{1}$ 长为4，点 $F_{1}, F_{2}$ 间的距离2，转动杆 $Q F_{1}$ 一周的过程中始终有 $|Q E| = |E F_{2}|$ .点 $M$ 在线段 $F_{1} F_{2}$ 的延长线上，且 $|M F_{2}| = 3$ .

(1)、以线段 $F_{1} F_{2}$ 中点 $O$ 为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系，求出点 $E$ 的轨迹 $Γ$ 的方程；

(2)、过点 $F_{2}$ 的直线 $l_{1}$ 与 $Γ$ 交于 $A ､ B$ 两点.记直线 $M A ､ M B$ 的斜率分别为 $k_{1}, k_{2}$ ，
（i）证明： $k_{1} + k_{2}$ 为定值；
（ii）若直线 $l_{1}$ 的斜率为 $k$ ，点 $N$ 是轨迹 $Γ$ 上异于 $A ､ B$ 的点，且 $N F_{2}$ 平分 $∠ A N B$ ，求 $\frac{|B N|}{|A N|}$ 的取值范围.

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17、我们知道，函数 $y = f (x)$ 的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数 $y = f (x)$ 为奇函数，该性质可以将其推广为：函数 $y = f (x)$ 的图象关于点 $P (a, b)$ 成中心对称图形的充要条件是函数 $y = f (x + a) - b$ 为奇函数，已知函数 $g (x) = \frac{- 5 x + 15}{x - 1}$ .

(1)、函数 $g (x)$ 是否为中心对称图形？若是请用题设证明并求出对称中心，若不是请说明理由；

(2)、已知直线 $y = - \frac{20}{9} x + \frac{65}{9}$ 与函数 $y = |g (x)|$ 的图象有三个交点，设为 $(x_{1}, y_{1}), (x_{2}, y_{2}), (x_{3}, y_{3})$ ，求 $y_{1} + y_{2} + y_{3}$ 的值；

(3)、已知函数 $h (x)$ 的图象关于点 $(1, 1)$ 对称，当 $x \in [0, 1]$ 时， $h (x) = x^{2} - m x + m$ ，若对任意 $x_{1} \in [0, 2]$ ，总存在 $x_{2} \in [2, 6]$ ，使得 $h (x_{1}) = g (x_{2})$ ，求实数 $m$ 的取值范围.

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18、如图，正方形 $A B C D$ 的边长为 $1, P, Q$ 分别为边 $A B, A D$ 上的点.

(1)、当 $D Q = A P = \frac{1}{3}$ 时，求 $tan ∠ P C Q$ 的值；

(2)、当 $△ A P Q$ 的周长为2时，
（i）求 $∠ P C Q$ 的大小：
（ii）设 $∠ B C P = α, S$ 为 $△ P C Q$ 的面积，求 $S$ 的最小值.

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19、设函数 $f (x) = 1 - \frac{a}{2^{x} + 1} (a \in R)$ .

(1)、当 $a = 2$ 时，证明：函数 $f (x)$ 为奇函数，并求出函数 $f (x)$ 的值域；

(2)、当 $a \neq 0$ 时，探索函数 $f (x)$ 的单调性，并用函数单调性的定义给予证明.

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20、（1）化简： $f (α) = \frac{sin (2 π - α) cos (π + α) cos (\frac{π}{2} + α)}{cos (π - α) sin (- π - α) sin (\frac{9 π}{2} + α)}$ ；
（2）已知 $sin (α - β) cos α - cos (β - α) sin α = \frac{3}{5}, β$ 是第三象限角，求 $cos (β + \frac{2 π}{3})$ 的值.

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