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相关试卷

1、飞行棋是一种家喻户晓的竞技游戏，玩家根据骰子（骰子为均匀的正六面体）正面朝上的点数确定飞机往前走的步数，刚好走到终点处算“到达”，如果玩家投掷的骰子点数超出到达终点所需的步数，则飞机须往回走超出点数对应的步数.在一次游戏中，飞机距终点只剩3步（如图所示），设该玩家到达终点时投掷骰子的次数为 $X$ ，则 $E (X) =$ （）

A、3 B、4 C、5 D、6

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2、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} e^{x}, x > 0 \\ x^{3} - 3 x + a, x \leq 0 \end{array}$ 的值域为 $R$ ，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $[- 1, + \infty)$ B、 $[3, + \infty)$ C、 $(- \infty, - 1]$ D、 $(- \infty, 3]$

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3、已知 $\sin (α + β) = \frac{1}{2}$ ， $\sin (α - β) = \frac{1}{3}$ ，则 $\frac{\tan α}{\tan β} =$ （）

A、 $\frac{1}{5}$ B、5 C、 $- \frac{1}{5}$ D、 $- 5$

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4、已知函数 $f (x) = a x^{2} + b x - 2, f (x) < 0$ 解集为 ${x | - 2 < x < 1}$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、用定义法证明函数 $f (x)$ 在 $[1, + \infty)$ 上为单调增函数；

(3)、若 $f (x) > 2 x + m$ 在区间 $[- 1, 3]$ 上恒成立，求实数 $m$ 的范围．

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5、现有 $n$ 张形状相同的卡片，上而分别写有数字 $m + 1, m + 2, \dots, m + n (m \in N, n \in N^{*})$ ，将这 $n$ 张卡片充分混合后，每次随机抽取一张卡片，记录卡片上的数字后放回，现在甲同学随机抽取4次.

(1)、若 $n = 6$ ，求抽到的4个数字互不相同的概率；

(2)、在统计学中，我们常用样本的均值来估计总体的期望.定义 $E (X^{k})$ 为随机变量 $X$ 的 $k$ 阶矩，其中1阶矩就是 $X$ 的期望 $E (X)$ ，利用 $k$ 阶矩进行估计的方法称为矩估计.
（i）记每次抽到的数字为随机变量 $X$ ，计算随机变量 $X$ 的1阶矩 $E (X)$ 和2阶矩 $E (X^{2})$ ；（参考公式： $1^{2} + 2^{2} + \dots + n^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$ ）
（ii）知甲同学抽到的卡片上的4个数字分别为 $11, 14, 15, 24$ ，试利用这组样本并结合（i）中的结果来计算 $n$ 的估计值 $\hat{n}$ .（ $\hat{n}$ 的计算结果通过四舍五入取整数）

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6、已知函数 $f (x) = \frac{ln x}{x}$ .

(1)、求 $f (x)$ 的最值；

(2)、求正整数 $a, b$ ，使其满足 $a^{b} - a = b^{a} - b$ 且 $a > b \geq 2$ ；

(3)、若 $0 < b < a \leq 1$ ，求证： ${(\frac{a^{b}}{b^{a}})}^{\frac{1}{a b}} - e^{a - b} > 0$ .

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7、如图，在三棱台 $D E F - A B C$ 中， $G, H$ 分别是 $A C, B C$ 的中点， $B C = 2 E F$ .

(1)、求证： $B D / /$ 平面 $F G H$ ；

(2)、若 $A B ⊥ B C, A B = B C, A C = A D = B D = 4, ∠ D B G = 60^{\circ}$ ，求平面 $A E F$ 与平面 $G E F$ 所成二面角的正弦值.

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8、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率是 $\frac{1}{2}$ ， $C$ 上的点 $P$ 到两焦点 $F_{1} (- c, 0), F_{2} (c, 0) (c > 0)$ 的距离之和等于4.

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、过焦点 $F_{1}$ 作斜率为1的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 相交于 $A, B$ 两点.求 $△ A B F_{2}$ 的面积.

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9、在数列 $\{a_{n}\}$ 中，点 $(n, a_{n})$ 在直线 $2 x - y - 4 = 0$ 上；在等比数列 $\{b_{n}\}$ 中， $b_{2} = a_{3}$ ， $b_{5} = a_{10}$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}, \{b_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、设 $c_{n} = a_{n} + b_{n}$ ，求数列 $\{c_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

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10、已知边长为 $8 \sqrt{3}$ 的等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 上，则 $C$ 的方程是；设点 $P$ 在直线 $y = 2 x + 1$ 上，过点 $P$ 的两条直线分别与 $C$ 相切于 $A, B$ 两点，记直线 $P A, P B$ 的斜率分别为 $k_{1}, k_{2}$ ，则 $k_{1}^{2} + k_{2}^{2}$ 的最小值是.

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11、一个大于1的自然数，除了1和它自身外，不能被其他自然数整除的数叫做质数.在不超过30的质数中任取两个不同数，则其和是偶数的取法有种.

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12、已知 $S_{n}$ 是等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，目 $a_{1} + a_{3} = 2, a_{4} + a_{8} = 6$ ，则 $S_{11} =$ .

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13、已知函数 $f (x) = a x^{3} + 3 a x^{2} + 2 (a - 2) x + b$ .则（）

A、当 $a = 2$ 时，若 $f (x)$ 有两个零点，则 $b$ 的值是 $- 8$ 或 $0$ B、若 $a > 0$ ， $b > 0$ ，且 $f (1) = 1$ ，则 $\frac{1}{a} + \frac{4}{b}$ 的最小值是 $4$ C、对任意 $b \in R$ 恒有 $f (x) + f (- 2 - x) = 2 b + 8$ D、若 $f (x)$ 存在极值点 $x_{0}$ ，且 $f (x_{0}) = f (x_{1})$ ，其中 $x_{0} \neq x_{1}$ ，则 $x_{1} + 2 x_{0} = - 3$

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14、在 $△ A B C$ 中，角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的对边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，若 $\sin A - \sqrt{3} \cos A = 0$ ， $3 sin B = 2 sin C$ ， $a = \sqrt{7}$ ，则（）

A、 $A = \frac{π}{3}$ B、 $△ A B C$ 外接圆半径 $R = \frac{\sqrt{21}}{3}$ C、 $b = 3$ ， $c = 2$ D、若 $D$ 是边 $B C$ 中点，则 $A D = \frac{\sqrt{19}}{2}$

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15、已知圆 $O : x^{2} + y^{2} = 4$ ，直线 $l : y = k x + 2$ ，则（）

A、当 $k = 0$ 时， $l$ 与圆 $O$ 相切 B、当 $k = - 1$ 时， $l$ 被圆 $O$ 所截得的弦长为 $2 \sqrt{2}$ C、对任意 $k \in R$ ， $l$ 与圆 $O$ 均有公共点 D、设 $l$ 与圆 $O$ 相交于不同两点 $A (x_{1}, y_{1}), B (x_{2}, y_{2})$ ，且 $y_{1} > 0, y_{2} > 0$ ，则 $k \in [- 1, 1]$

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16、已知函数 $f (x) = ln (e^{x} + 1) + k x (k \in R)$ 是偶函数，则（）

A、 $f ({log}_{0.2} 0.3) > f ({log}_{2} 0.3) > f (k)$ B、 $f (k) > f ({log}_{2} 0.3) > f ({log}_{0.2} 0.3)$ C、 $f ({log}_{2} 0.3) > f ({log}_{0.2} 0.3) > f (k)$ D、 $f ({log}_{0.2} 0.3) > f (k) > f ({log}_{2} 0.3)$

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17、已知矩形 $A B C D$ 中， $A B = 6, B C = 8$ ，将 $△ C B D$ 沿 $B D$ 折起至 $△ C^{'} B D$ ，使二面角 $A - B D - C^{'}$ 是直二面角，则三棱锥 $C^{'} - A B D$ 的外接球的表面积等于（）

A、 $100 π$ B、 $400 π$ C、 $\frac{500}{3} π$ D、 $\frac{4000}{3} π$

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18、已知 $sin (α + β) = \frac{3}{4}, tan α = 2 tan β$ ，则 $sin (α - β) =$ （）

A、 $- \frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{9}{16}$ D、 $- \frac{9}{16}$

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19、在某校高一年级参加的一次质量检测中，共有1500名学生参加数学考试.为了解本次考试考生的数学成绩情况，本中抽取了100名学生的成绩（成绩均为正整数，满分为100分）作为样本进行统计，成绩均在 $[40, 100)$ 内，按照 $[40, 50), [50, 60), [60, 70), [70, 80), [80, 90), [90, 100)$ 的分组作出频率分布直方图（如图所示），据图中数据，则（）

A、该样本中学生成绩的中位数一定大于75 B、该样本中学生成绩的极差介于40至50之间 C、该样本中学生成绩的平均值介于70至80之间 D、若成绩不低于60分为及格，估计该校高一年级学生数学及格人数不超过1300

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20、已知 $\vec{a} = (1, 2), \vec{b} = (2, x)$ ，则 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ 是 $|\vec{a}| = |\vec{b}|$ 成立的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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