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相关试卷

1、4名男生和3名女生站成一排．

(1)、甲、乙两人必须站在两端的站法有多少种？

(2)、甲、乙相邻且与丙不相邻的站法有几种？

(3)、甲、乙、丙三人从左到右顺序一定的站法有多少种？

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2、若函数 $f (x)$ 在区间 $[a, b]$ 上的值域为 $[\frac{1}{b}, \frac{1}{a}]$ ，则称区间 $[a, b]$ 为函数 $f (x)$ 的一个“倒值区间”．已知定义在 $R$ 上的奇函数 $g (x)$ ，当 $x \in (- \infty, 0]$ 时， $g (x) = x^{2} + 2 x$ ，则函数 $g (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 上的“倒值区间”为．

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3、 ${(\sqrt{x} - \frac{2}{x})}^{9}$ 的展开式中的常数项为．（用数字作答）．

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4、下列说法正确的有（）

A、若随机变量 $X \sim N (1, σ^{2})$ ， $P (X < 4) = 0.79$ ，则 $P (X \leq - 2) = 0.21$ B、若随机变量 $X \sim B (10, \frac{1}{3})$ ，则方差 $D (3 X + 2) = 22$ C、从10名男生，5名女生中任选4人，选出的女生个数X服从超几何分布 D、已如随机变量 $X$ 的分布列为 $P (X = i) = \frac{a}{i (i + 1)} (i = 1, 2, 3)$ ，则 $P (X = 2) = \frac{2}{9}$

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5、对任意实数 $x$ ，有 ${(2 x - 3)}^{8} = a_{0} + a_{1} (x - 1) + a_{2} {(x - 1)}^{2} + a_{3} {(x - 1)}^{3} + \cdot \cdot \cdot + a_{8} {(x - 1)}^{8}$ .则下列结论成立的是（）

A、 $a_{0} = - 1$ B、 $a_{2} = - 112$ C、 $a_{0} + a_{1} + a_{2} + \cdot \cdot \cdot + a_{8} = 1$ D、 $a_{0} - a_{1} + a_{2} - a_{3} + \cdot \cdot \cdot + a_{8} = 3^{8}$

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6、甲、乙、丙三名同学报名参加数学、物理、化学、生物兴趣小组．已知每人参加两个兴趣小组，三人不能同时参加同一个兴趣小组，每个兴趣小组至少有一人参加，则不同的报名参加方式共有（）

A、45种 B、81种 C、90种 D、162种

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7、设函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，且 $f (2 x + 2)$ 是奇函数， $f (x + 1)$ 是偶函数，则一定有（）

A、 $f (- 1) = 0$ B、 $f (3) = 0$ C、 $f (4) = 0$ D、 $f (5) = 0$

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8、已知事件A与B独立，当 $P (A) > 0$ 时，若 $P (B | A) = 0.32$ ，则 $P (B) =$ （）

A、0.34 B、0.68 C、0.32 D、1

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9、下列选项中，表示的是同一函数的是（）

A、 $f (x) = \sqrt{x^{2}}, g (x) = {(\sqrt{x})}^{2}$ B、 $f (x) = \sqrt{x^{2}}, g (t) = |t|$ C、 $f (x) = {(x - 1)}^{2}, g (x) = {(x - 2)}^{2}$ D、 $f (x) = \sqrt{x + 1} \cdot \sqrt{x - 1}, g (x) = \sqrt{x^{2} - 1}$

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10、给定两个随机变量 $(X, Y)$ 的5组成对数据： $(0, 1)$ ， $(1, 2)$ ， $(2, 3)$ ， $(3, 3)$ ， $(4, 5)$ .通过计算，得到 $Y$ 关于 $X$ 的线性回归方程为 $\hat{Y} = 0.9 X + \hat{a}$ ，则 $\hat{a} =$ （）

A、1 B、1.1 C、0.9 D、1.15

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11、已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ， $a + 2 b = 1$ ，则（）

A、 $\frac{2}{a} + \frac{1}{b}$ 的最小值为4 B、 $a^{2} + b^{2}$ 的最小值为 $\frac{1}{5}$ C、 ${log}_{\frac{1}{2}} a + {log}_{\frac{1}{2}} b$ 的最小值为3 D、 $2^{a} + 4^{b}$ 的最小值为 $2 \sqrt{2}$

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12、设 $m 、 n \in R$ ，定义运算“△”和“▽”如下： $m △ n = \{\begin{array}{l} m, m \leq n, \\ n, m > n, \end{array}$ $m ▽ n = \{\begin{array}{l} n, m \leq n, \\ m, m > n . \end{array}$ 若正数 $m$ 、 $n$ 、 $p$ 、 $q$ 满足 $m n \geq 4$ ， $p + q \leq 4$ ，则（　　）

A、 $m △ n \geq 2$ ， $p △ q \leq 2$ B、 $m ▽ n \geq 2$ ， $p ▽ q \geq 2$ C、 $m △ n \geq 2$ ， $p ▽ q \geq 2$ D、 $m ▽ n \geq 2$ ， $p △ q \leq 2$

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13、已知关于 $x$ 的不等式 $a x^{2} + b x + c < 0$ 的解集为 $(- \infty, 1) \cup (5, + \infty)$ ，则（）

A、 $a > 0$ B、不等式 $b x + c > 0$ 的解集是 $\{x | x > \frac{5}{6}\}$ C、 $a + b + c > 0$ D、不等式 $c x^{2} - b x + a < 0$ 的解集为 ${x | x > - \frac{1}{5}$ 或 $x < - 1}$

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14、已知向量 $\vec{a} = (2, λ, - 1), \vec{b} = (2, 1, - 4)$ ，若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $λ =$ .

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15、定义函数 $f_{n} (x) = 1 - x + \frac{x^{2}}{2} - \frac{x^{3}}{3} + \dots + {(- 1)}^{n} \frac{x^{n}}{n} (n \in N^{*})$ ．

(1)、求曲线 $y = f_{n} (x)$ 在 $x = - 2$ 处的切线斜率；

(2)、若 $f_{2} (x) - 2 \geq k e^{x}$ 对任意 $x \in R$ 恒成立，求 $k$ 的取值范围；

(3)、讨论函数 $f_{n} (x)$ 的零点个数，并判断 $f_{n} (x)$ 是否有最小值．（注： $e = 2.71828 \dots$ 是自然对数的底数）

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16、若直线 $l_{1} : x + 3 y + m = 0 (m > 0)$ 与直线 $l_{2} : x + 3 y - 3 = 0$ 间的距离为 $\sqrt{10}$ ，则 $m =$ （）

A、17 B、 $\frac{17}{2}$ C、14 D、7

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17、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的焦距为4，圆 $x^{2} + y^{2} = 2$ 与椭圆C有且仅有两个公共点．

(1)、求椭圆C的标准方程．

(2)、已知动直线l过椭圆C的左焦点F，且与椭圆C交于P，Q两点．试问x轴上是否存在定点R，使得 $\vec{R P} \cdot \vec{R Q}$ 为定值？若存在，求出该定值和点R的坐标；若不存在，说明理由．

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18、已知函数 $f (x) = x^{2} - a x \ln x$ .

(1)、若曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程为 $a x - b y + a - b = 0$ ，求a，b；

(2)、若 $\forall x \in (0, + \infty)$ ， $f (x) \geq 0$ ，求a的取值范围.

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19、随着科技的不断发展，人工智能技术的应用越来越广泛，某科技公司发明了一套人机交互软件，它会从数据库中检索最贴切的结果进行应答．该人机交互软件测试阶段，共测试了1000个问题，测试结果如下表：
回答正确
回答错误
问题中存在语法错误
100
300
问题中没有语法错误
500
100
结果显示问题中是否存在语法错误会影响该软件回答问题的正确率，依据测试结果，用频率近似概率，解决下列问题．

(1)、测试2个问题，在该软件都回答正确的情况下，求测试的2个问题中恰有1个问题存在语法错误的概率；

(2)、现输入3个问题，每个问题能否被软件正确回答相互独立，记软件正确回答的问题个数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列．

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20、如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $∠ B A C = 90^{°}, A B = A C = 2, A A_{1} = 4$ ，点 $A_{1}$ 在底面ABC的射影为BC的中点， $D$ 为 $B_{1} C_{1}$ 的中点.

(1)、证明： $A_{1} D ⊥$ 平面 $A_{1} B C$ .

(2)、求二面角 $C - A_{1} B - B_{1}$ 的正弦值.

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	回答正确	回答错误
问题中存在语法错误	100	300
问题中没有语法错误	500	100