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相关试卷

1、已知四个整数 $a, b, c, d$ 满足 $0 < a < b < c < d$ ．若 $a, b, c$ 成等差数列， $b, c, d$ 成等比数列，且 $d - a = 48$ ，则 $a + b + c + d$ 的值为．

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2、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} (4 - 2 a) x - a, x < 1 \\ \log_{a} x, x \geq 1 \end{array}$ 在 $R$ 上单调递增，则实数a的取值范围是（）

A、 $(1, 2)$ B、 $[2, 4)$ C、 $[\frac{4}{3}, 2)$ D、 $[\frac{5}{3}, + \infty)$

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3、设函数 $f (x) = x^{2} + | x - a |$ ， $a$ 为常数.
（1）若 $f (x)$ 为偶函数，求 $a$ 的值；
（2）设 $a > 0$ ， $g (x) = \frac{f (x)}{x}$ ， $x \in (0, a]$ 为减函数，求实数 $a$ 的取值范围.

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4、已知函数 $f (x) = e^{x}$ ， $g (x) = \ln (x + a) (a \in R)$ ．

(1)、设 $φ (x) = f (x) g (x)$ ，请判断 $φ (x)$ 是否存在极值?若存在，求出极值；若不存在，说明理由；

(2)、当 $a = 0$ 时，若对于任意 $s > t > 0$ ，不等式 $g (s) - g (t) > k (\frac{1}{f (s)} - \frac{1}{f (t)})$ 恒成立，求k的取值范围．

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5、已知椭圆的两焦点为 $F_{1} (- 1, 0)$ ， $F_{2} (1, 0)$ ，点 $P$ 为椭圆上一点，且 $2 | F_{1} F_{2} | = | P F_{1} | + | P F_{2} | .$

(1)、求此椭圆的方程 $;$

(2)、若点 $P$ 满足 $∠ F_{1} P F_{2} = 60^{\circ}$ ，求 $△ P F_{1} F_{2}$ 的面积．

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6、如图，在几何体 $A B C D E$ 中， $C D / / A E$ ， $∠ E A C = 90^{\circ}$ ，平面 $E A C D ⊥$ 平面 $A B C$ ， $C D = 2 E A = 2$ ， $A B = A C = 2$ ， $B C = 2 \sqrt{3}$ ， $F$ 为 $B D$ 的中点.

(1)、证明： $E F / /$ 平面 $A B C$ ；

(2)、求直线 $A B$ 与平面 $B D E$ 所成角的正弦值.

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7、在数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{2} = 2$ ，且 $a_{n + 1} - a_{n} = 1 (n \in N^{*})$ ，则 $a_{100} =$ ．

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8、设 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 是双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （a＞0，b＞0）的左、右焦点， $O$ 是坐标原点．过 $F_{2}$ 作 $C$ 的一条渐近线的垂线，垂足为 $P$ ．若 $|P F_{1}| = \sqrt{6} |O P|$ ，则 $C$ 的离心率为

A、 $\sqrt{5}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $2$ D、 $\sqrt{2}$

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9、已知圆心为C的圆经过 $A (1, - 5)$ ， $B (0, 2)$ 两点，且点C在直线 $x - y + 1 = 0$ 上，则此圆的标准方程为（）

A、 ${(x - 3)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 25$ B、 ${(x + 3)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 25$ C、 ${(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 25$ D、 ${(x + 3)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 25$

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10、已知两点 $A (3, 2)$ 和 $B (- 1, 4)$ 到直线 $m x + y + 3 = 0$ 距离相等，则 $m$ 值为（）

A、 $0$ 或 $- \frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ 或 $- 6$ C、 $- \frac{1}{2}$ 或 $\frac{1}{2}$ D、 $0$ 或 $\frac{1}{2}$

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11、如图，点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 分别在空间直角坐标系 $O - x y z$ 的三条坐标轴上， $\vec{O C} = (0, 0, 2)$ ，平面 $A B C$ 的法向量为 $\vec{n} = (2, 1, 2)$ ，设二面角 $C - A B - O$ 的大小为θ，则 $\cos θ =$ （）

A、 $\frac{4}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $- \frac{2}{3}$

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12、已知定义域为 $R$ 的函数 $h (x)$ 满足：对于任意的 $x \in R$ ，都有 $h (x + 2 π) = h (x) + h (2 π)$ ，则称函数 $h (x)$ 具有性质 $P$ .

(1)、判断函数 $f (x) = 2 x, g (x) = cos x$ 是否具有性质 $P$ ；（直接写出结论）

(2)、已知函数 $f (x) = sin (ω x + φ) (\frac{3}{2} < ω < \frac{5}{2}, |φ| < \frac{π}{2})$ ，判断是否存在 $ω, φ$ ，使函数 $f (x)$ 具有性质 $P$ ？若存在，求出 $ω, φ$ 的值；若不存在，说明理由；

(3)、设函数 $f (x)$ 具有性质 $P$ ，且在区间 $[0, 2 π]$ 上的值域为 $[f (0), f (2 π)]$ .函数 $g (x) = sin (f (x))$ ，满足 $g (x + 2 π) = g (x)$ ，且在区间 $(0, 2 π)$ 上有且只有一个零点.求证： $f (2 π) = 2 π$ .

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13、已知函数 $f (x) = 1 - \frac{4}{2 a^{x} + a}$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）为奇函数.

(1)、求实数 $a$ 的值及函数 $f (x)$ 的值域；

(2)、若函数 $g (x) = (m + 1) 2^{x} - m f (x)$ 在区间 $(- \infty, 2]$ 上有两个不同的零点，求实数 $m$ 的取值范围.

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14、如图，ABCD是一块边长为100米的正方形地皮，其中ATS是一座半径为90米的扇形小山，P是弧TS上一点，其余部分都是平地.现有一开发商想在平地上建造一个两边分别落在BC与CD上的长方形停车场PQCR，求长方形停车场PQCR面积的最大值.

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15、已知函数 $f (x) = \sin x \cos x - \sqrt{3} \cos^{2} x + \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期及单调递减区间；

(2)、求函数 $f (x)$ 在 $[- \frac{π}{12}, \frac{2 π}{3}]$ 上的最值.

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16、解答下列各题.

(1)、化简求值： $\log_{\sqrt{3}} 9 - \sqrt[3]{64} + {(\frac{1}{8})}^{- \frac{2}{3}} - e^{\ln 2} + \cos \frac{2 π}{3}$ ；

(2)、已知 $\tan α = 2$ ，求 $\frac{2 \sin (π + α) \cos (- 2 π - α)}{\sin^{2} (- \frac{5 π}{2} + α) - \cos^{2} (\frac{3 π}{2} - α)}$ 的值.

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17、已知函数 $f (x)$ 由下表给出
x
0
1
2
3
4
$f (x)$
$f (0)$
$f (1)$
$f (2)$
$f (3)$
$f (4)$
其中 $f (k)$ （ $k = 0$ ， 1，2，3，4）的值等于 $f (0)$ 、 $f (1)$ 、 $f (2)$ 、 $f (3)$ 和 $f (4)$ 中k所出现的次数，则 $f (4) =$ ； $f (0) + f (1) + f (2) + f (3) =$ .

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18、已知 $\sin (α + \frac{π}{6}) = \frac{2}{3}$ ，则 $\cos (α - \frac{4 π}{3}) =$ .

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19、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} \log_{\frac{1}{2}} x, (x > 0) \\ 2^{x}, (x \leq 0) \end{array}$ ，则 $f [f (2)] =$ .

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20、将函数 $f (x)$ 的图象横坐标伸长为原来的 $2$ 倍，再向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位，得到函数 $g (x) = \sin (2 x + φ)$ （ $0 < φ < \frac{π}{2}$ ）的部分图象（如图所示）．对于 $\forall x_{1}, x_{2} \in [a, b]$ ，且 $x_{1} \neq x_{2}$ 若 $g (x_{1}) = g (x_{2})$ ，都有 $g (x_{1} + x_{2}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ 成立，则（）

A、 $g (x) = \sin (2 x + \frac{π}{3})$ B、 $f (x) = \sin (4 x - \frac{π}{3})$ C、 $g (x)$ 在 $[π, \frac{3 π}{2}]$ 上单调递增 D、函数 $f (x)$ 在 $[0, \frac{4 π}{3}]$ 的零点为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $\dots$ ， $x_{n}$ ，则 $x_{1} + 2 x_{2} + 2 x_{3} + \cdot \cdot \cdot + 2 x_{n - 1} + x_{n} = \frac{85 π}{12}$

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x	0	1	2	3	4
$f (x)$	$f (0)$	$f (1)$	$f (2)$	$f (3)$	$f (4)$