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相关试卷

1、圆 $C_{1} : {(x - 1)}^{2} + y^{2} = 4$ 与圆 $C_{2} : {(x - 2)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 1$ 相交于 $A, B$ 两点，则线段 $A B$ 的垂直平分线的方程为（）

A、 $x - 2 y - 5 = 0$ B、 $2 x + y - 2 = 0$ C、 $x - 2 y + 3 = 0$ D、 $2 x + y - 5 = 0$

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2、设 $x, y \in R$ ，空间向量 $\vec{a} = (x, 1, 1), \vec{b} = (2, y, - 2)$ ，且 $\vec{a}$ $∥$ $\vec{b}$ ，则 $x + y =$ （）

A、 $- 1$ B、1 C、 $- 3$ D、3

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3、已知 $O$ 为坐标原点， $B (0, 3)$ ，且动点 $P (x, y)$ 在双曲线 $x^{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的右支上，动点 $Q (m, n)$ 满足 $| Q O | = 2 | Q B |$ ，则 $\sqrt{{(x - m)}^{2} + {(y - n)}^{2}} + \sqrt{x^{2} + y^{2} + 4 x + 4}$ 的最小值为.

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4、在平面内，有 $m$ 个椭圆和 $n$ 条抛物线（ $m, n \in N^{*}$ ），任意两条曲线均存在公共点，且任意三条及以上的曲线无公共点. 设所有公共点个数为V. 这些公共点将椭圆和抛物线共分割为L条曲线段（或曲射线），上述图形将平面分割为S个互不连通的区域. 如图，一个椭圆与一条抛物线相交，此时 $S = 4$ . 已知对于任意 $m, n \in N^{*}$ ， $V + S - L = 1$ 成立.

(1)、当 $m = n = 1$ 时，直接写出S的最大值及此时 $V$ 和 $L$ 的值；

(2)、当 $m = n = 2$ 时，是否存在 $V$ ，使得 $S = 25$ ？若存在，求出 $V$ 的值；若不存在，说明理由；

(3)、对于给定的 $m, n \in N^{*}$ ，设所有S的最大值为 $S (m, n)$ . 当 $S (m, n) = 221 + n$ 时，试求出 $m + n$ 的值.

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5、已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 经过点 $(- 1, \frac{\sqrt{3}}{2})$ ，且 $a = 2 b$ .

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、设椭圆 $C$ 的左焦点为 $F$ ，过 $F$ 的直线 $l$ 交 $C$ 于 $P, Q$ 两点. 是否存在点 $T (t, 0)$ ，使得 $∠ P T F = ∠ Q T F$ 恒成立？若存在，求出 $t$ 的值；若不存在，说明理由.

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6、在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为正方形， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $P A = A D = 2$ ，点E为线段PD的中点，点 $F$ 为线段 $P C$ （不含端点）上的动点.

(1)、证明：平面 $A E F ⊥$ 平面 $P C D$ ；

(2)、若存在点 $F$ ，使得平面 $P A C$ 与平面 $A E F$ 的夹角为 $\frac{π}{4}$ ，求 $\frac{P F}{P C}$ 的值.

(3)、在（2）的条件下，求四面体 $P - A E F$ 的体积.

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7、已知椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，上顶点为 $A (0, 1)$ ．过 $A$ 的直线 $l$ 与 $E$ 的另一个交点为 $B$ .

(1)、求 $E$ 的方程；

(2)、若 $| A B | = \frac{4}{3} \sqrt{2}$ .
（i）求 $l$ 的方程；
（ii）求 $△ O A B$ 的面积.

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8、已知六面体 $A B C D E F$ 的底面 $A B C D$ 是矩形， $A B = 4$ ， $A D = 3$ ， $A F / / D E$ 且 $D E = 2 A F = 4$ .

(1)、求证： $B F / /$ 平面 $D E C$ ；

(2)、若 $D E ⊥$ 平面 $A B C D$ ，求直线 $B F$ 与平面 $B E C$ 夹角的正弦值.

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9、已知圆 $C : x^{2} + y^{2} + 4 x - 12 y + 24 = 0$ ，过点 $M (- 4, 0)$ 作斜率为1的直线 $l$ 交圆 $C$ 于 $A$ ， $B$ 两点．

(1)、写出圆 $C$ 的标准方程，圆心坐标和半径；

(2)、求线段AB的中垂线方程；

(3)、求 $|A B|$ ．

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10、曲线 $C$ 是平面内到原点 $O$ 的距离与到直线 $x = 1$ 的距离的乘积等于常数 $a^{2}$ （ $a > 1$ ）的点的轨迹. 给出下列四个结论：
①曲线 $C$ 过点 $(0, 1)$ ；
②曲线 $C$ 关于 $x$ 轴对称；
③曲线 $C$ 存在渐近线；
④曲线 $C$ 与被 $x$ 轴截得的弦长大于 $\sqrt{5}$ .
其中所有正确结论的序号是.

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11、在 $△ A B C$ 中， $a = 4$ ， $c - b = 2$ ，则 $∠ B$ 的一个取值可以为.

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12、已知抛物线 $C$ 的焦点为 $F (0, 1)$ ，则 $C$ 的标准方程为；设点 $Q (2, 3)$ ，点 $P$ 在 $C$ 上，则 $| P F | + | P Q |$ 的最小值为.

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13、在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $∠ A C B = \frac{π}{2}, A C = B C = C C_{1}$ ，点 $D$ 是 $A_{1} C$ 的中点，则 $B D$ 与 $A A_{1}$ 所成角的余弦值为.

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14、经过抛物线 $E : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点 $F$ 且垂直于 $x$ 轴的直线交抛物线 $E$ 于点 $A$ ， $l$ 是 $E$ 在点 $A$ 处的切线. 点 $B$ 是 $E$ 上异于 $A$ 的任意一点，过 $B$ 且垂直于 $x$ 轴的直线交 $x$ 轴于点 $M$ ，交 $l$ 于点 $C$ ，则 $\frac{| C M |}{| B F |} =$ （）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $1$ C、 $\frac{3}{2}$ D、不确定

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15、在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点Q为底面 $A B C D$ （含边界）上的动点，满足平面 $A_{1} Q C ⊥$ 平面 $A_{1} D C$ ，则点 $Q$ 的轨迹为（）

A、一段圆弧 B、一段抛物线 C、一段椭圆 D、一条线段

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16、如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $E, F$ 分别为棱 $A B, B C$ 的中点，平面 $D E C_{1}$ 交棱 $B B_{1}$ 于点 $G$ ，则下列结论中正确的是（）

A、直线 $A_{1} F$ 与直线 $C_{1} E$ 异面 B、直线 $A_{1} F ⊥$ 平面 $D E C_{1}$ C、平面 $A B_{1} D_{1} / /$ 平面 $D E C_{1}$ D、截面 $D E G C_{1}$ 是直角梯形

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17、设椭圆 $C$ 的焦点为 $F_{1}, F_{2}$ ，离心率为 $e$ ，则“ $e \in (\frac{1}{2}, 1)$ ”是“ $C$ 上存在一点 $P$ ，使得 $\vec{P F_{1}} \cdot \vec{P F_{2}} < 0$ ”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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18、已知四棱锥 $P - A B C D$ 的底面ABCD是平行四边形， $M$ 为侧棱 $P C$ 上的点，且 $\vec{P M} = 2 \vec{M C}$ ，若 $\vec{B M} = x \vec{A B} + y \vec{A D} + z \vec{A P}$ ，则 $x + y + z =$ （）

A、 $- \frac{5}{3}$ B、 $- \frac{2}{3}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{5}{3}$

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19、已知 $α, β$ 是空间中两个不同平面， $m, n$ 是两条不同直线，则下列命题中正确的是（）

A、若 $m / / α$ ， $n / / β$ ， $α / / β$ ，则 $m / / n$ B、若 $m \subset α$ ， $n \subset β$ ， $α ⊥ β$ ，则 $m ⊥ n$ C、若 $m ⊥ α$ ， $n ⊥ β$ ， $m / / n$ ，则 $α / / β$ D、若 $m ⊥ n$ ， $m ⊥ α$ ， $n / / β$ ，则 $α ⊥ β$

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20、点 $P (3, 0)$ 关于直线 $l : 2 x - y - 1 = 0$ 的对称点 $Q$ 的坐标是（）

A、 $(- 2, - 3)$ B、 $(- 1, 2)$ C、 $(- 1, - 3)$ D、 $(1, 0)$

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