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相关试卷

1、已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右焦点为 $F (1, 0)$ ，离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}, O$ 为坐标原点.

(1)、求椭圆的标准方程；

(2)、设直线 $l$ 与椭圆相交于 $P, Q$ 两点， $△ O P Q$ 的面积为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，求直线 $O P, O Q$ 的斜率之积的值.

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2、如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C, A C ⊥ A B, A B = 1, P A = A C = 2$ ，点 $D$ 在棱 $A C$ 上，且 $A C = 3 A D, M$ 为棱 $P C$ 的中点.

(1)、求证： $P C ⊥$ 平面 $A B M$ ；

(2)、求平面 $A B M$ 与平面 $D B M$ 夹角的余弦值；

(3)、在线段 $A P$ 上是否存在点 $H$ 满足直线 $B H$ 与平面 $A B M$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{10}}{10}$ ？若存在，求出 $A H$ 的值，若不存在，请说明理由.

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3、在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $3 a = 2 b$ ， $a^{2} + c^{2} - b^{2} = \sqrt{2} a c$ .

(1)、求角 $B$ 的大小；

(2)、求 $sin A$ 的值；

(3)、求 $cos (2 A - B)$ 的值.

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4、已知 $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ，设函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} - x |x + 2 a|, & x < - 1, \\ a^{x + 1} - \frac{1}{2}, & x \geq - 1. \end{array}$ 在 $R$ 上是单调函数，若函数 $g (x) = f (x) + x + \frac{1}{3}$ 恰有两个零点，则实数 $a$ 的取值范围是.

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5、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 60^{\circ}, \vec{A D} = 2 \vec{D B}, P$ 为 $C D$ 上一点，且满足 $\vec{A P} = m \vec{A C} + \frac{1}{4} \vec{A B}$ ，则实数 $m$ 的值为；若 $△ A B C$ 的面积为 $4 \sqrt{3}$ ，则 $|\vec{A P}|$ 的最小值为.

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6、袋子中有大小相同的3个红球和2个白球.若从袋子中摸出3个球，则恰有一个白球的概率是；若每次从袋子中随机摸出1个球，摸出的球不再放回，记“第一次摸到红球”为事件 $A$ ， “第二次摸到红球”为事件 $B$ ，则 $P (B ∣ A) =$ .

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7、已知圆 $C : x^{2} + y^{2} - x + 2 y = 0$ ，直线 $l$ 是抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的准线，则圆 $C$ 关于直线 $l$ 对称的圆的标准方程为.

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8、在 ${(3 \sqrt{x} - \frac{1}{x})}^{5}$ 的展开式中， $x$ 的系数是.

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9、如图，一个圆柱形容器中装有某种液体，固定容器在墙面和地面的角落内，容器与地面所成的角为 $30^{\circ}$ ，液面呈椭圆形，椭圆长轴上的顶点 $M, N$ 到容器底部的距离分别是10和22，则容器内液体的体积是（）

A、 $48 π$ B、 $96 π$ C、 $192 π$ D、 $240 π$

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10、已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左，右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，过点 $F_{1}$ 的直线与双曲线的左支相交于 $P, Q$ 两点，若 $P Q ⊥ P F_{2}$ ，且 $4 |P Q| = 3 |P F_{2}|$ ，则双曲线的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{17}}{3}$ B、 $\frac{4}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{15}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{10}}{3}$

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11、已知函数 $f (x) = \frac{\sqrt{3}}{2} sin ω x - \frac{1}{2} cos ω x (ω > 0)$ 的最小正周期为 $π$ ，把函数 $f (x)$ 图象上的所有点向右平移 $φ (φ > 0)$ 个单位长度，得到函数 $g (x)$ 的图象，若 $g (x)$ 是偶函数，则 $φ$ 的最小值是( )

A、 $\frac{π}{12}$ B、 $\frac{π}{6}$ C、 $\frac{π}{4}$ D、 $\frac{5 π}{12}$

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12、设 $a = {0.7}^{0.2}$ ， $b = {0.7}^{0.3}$ ， $c = {log}_{0.7} 0.3$ ，则 $a$ ， $b$ ， $c$ 的大小关系为( )

A、 $a < b < c$ B、 $b < a < c$ C、 $b < c < a$ D、 $c < a < b$

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13、树人中学举行主题为“弘扬传统文化，传承中华美德”的演讲比赛，现随机抽选10名参赛选手，获得他们出场顺序的数据，将这组数据从小到大排序为 $3$ ， $5$ ， $6$ ， $8$ ， $m$ ， $14$ ， $15$ ， $16$ ， $17$ ， $18$ ，若该组数据的中位数是极差的 $\frac{4}{5}$ ，则该组数据的第40百分位数是( )

A、9 B、10 C、11 D、12

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14、下列函数中，既是奇函数又在区间 $(0, + \infty)$ 上单调递增的是（）

A、 $y = - x^{\frac{1}{3}}$ B、 $y = \frac{1}{x}$ C、 $y = e^{x} - e^{- x}$ D、 $y = sin x$

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15、设全集 $U = \{- 2, - 1, 0, 1, 2, 3\}$ ，集合 $A = \{- 2, 0, 1, 3\}, B = \{- 1, 0, 2\}$ ，则 $A \cap (∁_{U} B) =$ （）

A、 $\{- 2, 1, 3\}$ B、 $\{- 2, 0, 3\}$ C、 $\{- 2, 1\}$ D、 $\{- 2, 3\}$

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16、已知曲线 $E : y = x^{2}$ （ $0 \leq x \leq 1$ ）上一点 $P (t, t^{2})$ （ $0 < t < 1$ ）处的切线 $l$ 分别交直线 $y = 0$ ，直线 $x = 1$ 于点 $A$ ， $B$ ，记点 $O (0, 0)$ ， $C (1, 0)$ ， $D (1, 1)$ .

(1)、设 $△ P A C$ ， $△ P B C$ 的面积分别为 $f (t)$ ， $g (t)$ ，解不等式 $f (t) \leq g (t)$ ；

(2)、在曲线 $E$ 与线段 $O C$ ，线段 $C D$ 围成的区域 $Ω$ 内，以 $P$ 为一顶点作 $△ P Q R$ ，设所有这些三角形的面积最大值为 $h (t)$ ，求 $h (t)$ 的极值.

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17、已知双曲线 $C$ 的中心为坐标原点，上焦点为 $(0, 2 \sqrt{5})$ ，离心率为 $\sqrt{5}$ .记 $C$ 的上、下顶点分别为 $A_{1}$ ， $A_{2}$ ，过点 $(0, 4)$ 的直线与 $C$ 的上支交于M，N两点.

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、直线 $A_{1} M$ 和 $A_{2} N$ 的斜率分别记为 $k_{1}$ 和 $k_{2}$ ，求 $k_{1}^{2} + \frac{2}{3} k_{2}$ 的最小值；

(3)、直线 $A_{1} M$ 与 $A_{2} N$ 交于点P，证明：点P在定直线上.

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18、人工智能在做出某种推理和决策前，常常是先确定先验概率，然后通过计算得到后验概率，使先验概率得到修正和校对，再根据后验概率做出推理和决策.我们利用这种方法设计如下试验：有完全相同的甲、乙两个袋子，袋子内有形状和大小完全相同的小球，其中甲袋中有9个红球和1个白球，乙袋中有2个红球和8个白球.我们首先从这两个袋子中随机选择一个袋子，假设首次试验选到甲袋或乙袋的概率均为 $\frac{1}{2}$ （先验概率），再从该袋子中随机摸出一个球，称为一次试验.经过多次试验，直到摸出红球，则试验结束.

(1)、求首次试验结束的概率；

(2)、在首次试验摸出白球的条件下，我们对选到甲袋或乙袋的概率（先验概率）进行调整.
（i）求选到的袋子为甲袋的概率；
（ii）将首次试验摸出的白球放回原来袋子，继续进行第二次试验时有两种方案.方案①：从原来袋子中摸球；方案②：从另外一个袋子中摸球.请通过计算，说明选择哪个方案第二次试验结束的概率更大.

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19、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $A B ⊥ A D$ ，平面 $P A C ⊥$ 平面 $P B D$ ， $A B = A D = A P = 2$ ，四棱锥 $P - A B C D$ 的体积为4.

(1)、求证： $B D ⊥ P C$ ；

(2)、求平面 $P A D$ 与平面 $P C D$ 的夹角的余弦值.

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20、设正项数列 ${\{a_{n}\}}_{}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，满足 $2 S_{n} = a_{n} + \frac{1}{a_{n}}$ （ $n \in N^{*}$ ）.

(1)、求证：数列 $\{a_{n}^{2} + \frac{1}{a_{n}^{2}}\}$ 为等差数列；

(2)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式.

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