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相关试卷

1、若函数 $f (x) = |2^{x} - 3| - 1 - m$ 只有1个零点，则 $m$ 的取值范围是．

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2、已知向量 $\vec{a} = (1, 2), \vec{b} = (1, λ)$ ，若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $λ =$ ；若 $⟨\vec{a}, \vec{b}⟩ = \frac{π}{4}$ ，则 $|\vec{b}| =$ ．

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3、函数 $f (x) = {cos}^{2} x + \frac{1}{2 {cos}^{2} x}$ 是（填入“奇”或“偶”或“非奇非偶”）函数，当 $f (x)$ 取得最小值时， $cos 2 x =$ ．

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4、如图，在梯形 $A B C D$ 中， $A B ∥ C D, A D ⊥ A B, C D = 2, A D = 4, A B = 5, E, F$ 分别在线段 $A D, A B$ 上，且线段 $D E$ 与线段 $B F$ 的长度相等，则（）

A、 $\vec{C E} \cdot \vec{C F}$ 的最小值为 $- 4$ B、 $\vec{C E} \cdot \vec{C F}$ 的最大值为18 C、 $\vec{C E} \cdot \vec{E F}$ 的最大值为 $- 1$ D、 $△ C E F$ 的面积的最大值为 $\frac{41}{8}$

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5、已知复数 $z = \frac{6 + 8 i}{1 - 3 i}$ 则（）

A、 $\bar{z}$ 的虚部为 $- \frac{13}{5}$ B、 $|z| = \sqrt{10}$ C、 $z - 2 i$ 为实数 D、 $z + \frac{9}{5}$ 为纯虚数

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6、在高为3的正三棱台 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A_{1} B_{1} = 4$ ，且上底面的面积为 $\sqrt{3}$ ，则（）

A、正三棱台 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的下底面的面积为 $4 \sqrt{3}$ B、正三棱台 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的下底面的面积为 $3 \sqrt{3}$ C、正三棱台 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的体积为 $7 \sqrt{3}$ D、正三棱台 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的体积为 $8 \sqrt{3}$

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7、永丰文塔位于湖南省双峰县城永丰镇，修建于清朝同治年间，巍巍七层文塔，塔形呈六角形，塔底用高达五尺八寸的青条石奠基，永丰文塔与双峰书院遥相呼应，象征双峰文运昌隆．如图，某测绘小组为了测量永丰文塔的实际高度 $A B$ ，选取了与塔底 $B$ 在同一水平面内的两个测量基点 $C, D$ ，现测得 $∠ C B D = 120 °, ∠ B D C = 47 °, C D = 10 \sqrt{3} m$ ，在点 $C$ 测得塔顶A的仰角为 $71.6 °$ ，则塔高 $A B =$ （）（取 $tan 71.6 ° = 3$ ， $sin 47 ° = 0.73$ ）

A、 $44.3 m$ B、 $44.1 m$ C、 $43.6 m$ D、 $43.8 m$

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8、若 $a = {0.7}^{0.3}, b = {log}_{2} a, c = {log}_{0.7} 0.3$ ，则（）

A、 $c > a > b$ B、 $b > c > a$ C、 $a > b > c$ D、 $a > c > b$

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9、已知函数 $f (x) = sin (2 ω x + \frac{π}{6}) (ω > 0)$ 的最小正周期为 $π$ ，则 $f (x)$ 图象的一个对称中心的坐标为（）

A、 $(- \frac{5 π}{12}, 0)$ B、 $(- \frac{π}{4}, 0)$ C、 $(\frac{π}{12}, 0)$ D、 $(- \frac{7 π}{12}, 0)$

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10、如图，四边形 $O^{'} A^{'} C^{'} B^{'}$ 表示水平放置的四边形 $O A C B$ 根据斜二测画法得到的直观图， $O^{'} A^{'} = 2, B^{'} C^{'} = 4, O^{'} B^{'} = 2 \sqrt{2}, O^{'} A^{'}$ $∥$ $B^{'} C^{'}$ ，则 $A C =$ （）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、4 C、6 D、 $4 \sqrt{2}$

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11、已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 不共线，向量 $\vec{c} = \vec{a} + 6 \vec{b}, \vec{d} = - 2 \vec{a} + x \vec{b}, \vec{c} ∥ \vec{d}$ ，则 $x =$ （）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $- 12$ C、 $- \frac{1}{3}$ D、12

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12、设集合 $A = \{x |{(x - 1)}^{2} \leq 9\}, B = \{x |x \geq 4\}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 $\{4\}$ B、 $[- 1, + \infty)$ C、 $[- 2, 4]$ D、 $[- 2, + \infty)$

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13、复数 $z = (1 + i) (1 + 4 i)$ 在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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14、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ .

(1)、若点 $P (x_{0}, y_{0})$ 在椭圆C上，证明：直线 $\frac{x_{0} x}{4} + y_{0} y = 1$ 与椭圆C相切；

(2)、设曲线 $O : x^{2} + y^{2} = 1 (x \neq 0)$ 的切线l与椭圆C交于 $A, B$ 两点，且以 $A, B$ 为切点的椭圆C的切线交于M点，求 $△ M A B$ 面积的取值范围.

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15、已知 $S_{n}$ 为公差不为0的等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，且 $a_{2 n} = λ a_{n} + 1 (λ \in R, n \in N^{*})$ ．

(1)、求 $λ$ 的值；

(2)、若 $S_{4} = 4 S_{2}$ ，求证： $\frac{1}{a_{1} a_{2}} + \frac{1}{a_{2} a_{3}} + \dots + \frac{1}{a_{n} a_{n + 1}} < \frac{1}{2}$ ．

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16、某地政府为提高当地农民收入，指导农民种植药材，取得较好的效果.以下是某农户近5年种植药材的年收入的统计数据：
年份
2019
2020
2021
2022
2023
年份代码 $x$
1
2
3
4
5
年收入 $y$ （千元）
59
61
64
68
73

(1)、根据表中数据，现决定使用 $y = b x^{2} + a$ 模型拟合 $y$ 与 $x$ 之间的关系，请求出此模型的回归方程；（结果保留一位小数）

(2)、统计学中常通过计算残差的平方和来判断模型的拟合效果.在本题中，若残差平方和小于0.5，则认为拟合效果符合要求.请判断（1）中回归方程的拟合效果是否符合要求，并说明理由.
参考数据及公式： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ .设 $t = x^{2}$ ，则 $\sum_{i = 1}^{n} (t_{i} - \bar{t}) (y_{i} - \bar{y}) = 217$ ， $\sum_{i = 1}^{n} {(t_{i} - \bar{t})}^{2} = 374$ .

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17、已知实数 $a > 0$ ，若函数 $f (x) = e^{x} + a \cos x (x > 0)$ 有且仅有2个极值点，则 $a$ 的取值范围是．

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18、记 $S_{n}$ 为等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和.若 $a_{3} = 4 a_{1}$ ，则 $\frac{S_{8}}{S_{4}} =$ .

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19、设 $f (x)$ 是定义域为 $R$ 的可导函数，若存在非零常数 $λ$ ，使得 $f (x + λ) = (1 - λ) f (x)$ 对任意的实数 $x$ 恒成立，则称函数 $f (x)$ 具有性质 $H (λ)$ .则（）

A、若函数 $f (x)$ 具有性质 $H (λ)$ ，则导函数 $f^{'} (x)$ 也具有性质 $H (λ)$ B、若 $f (x)$ 具有性质 $H (2)$ ，则 $f (1) + f (2023) = 2$ C、若 $f (x)$ 具有性质 $H (\frac{1}{2})$ ，且 $f (0) = 1$ ，则 $\sum_{i = 1}^{n} f (i) < \frac{1}{3}$ D、若函数 $f (x) = a^{x} (0 < a < 1)$ 具有性质 $H (λ)$ 且 $λ > 0$ ，则 $a$ 的取值范围是 $0 < a < \frac{1}{e}$

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20、已知函数 $f (x) = 2 \sin x \cos^{2} \frac{x}{2}$ ，则以下结论正确的是（）

A、 $π$ 为 $f (x)$ 的一个周期 B、 $f (x)$ 在 $x = - \frac{π}{3}$ 处取得极小值 C、对 $\forall x_{1}$ ， $x_{2} \in R$ ， $| f (x_{2}) - f (x_{1}) | \leq \sqrt{3}$ D、 $f (x)$ 在 $(- \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2})$ 上有2个零点

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年份	2019	2020	2021	2022	2023
年份代码 $x$	1	2	3	4	5
年收入 $y$ （千元）	59	61	64	68	73