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相关试卷

1、已知 $a \in R$ ，函数 $f (x) = a x^{3} - 2 x + 3$ 有两个极值点 $x_{1}, x_{2}$ ，则（）

A、 $a > 0$ B、 $a = 1$ 时，函数 $f (x)$ 的图象在 $x = 1$ 处的切线方程为 $y = x + 1$ C、 $f (x_{1}) + f (x_{2})$ 为定值 D、 $a = \frac{1}{6}$ 时，函数 $f (x)$ 在 $[- 3, 1]$ 上的值域是 $[\frac{1}{3}, \frac{17}{3}]$

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2、“中国剩余定理”又称“孙子定理”，此定理讲的是关于整除的问题.现将1到500这500个数中能被2除余1且被3除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列 $\{a_{n}\}$ ，其前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则（）

A、 $a_{10} = 55$ B、 $a_{8} - a_{6} = 24$ C、 $S_{10} = 280$ D、数列 $\{a_{n}\}$ 共有84项

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3、判断下列命题正确的是（）

A、函数的极小值一定比极大值小． B、对于可导函数 $f (x)$ ，若 $f^{'} (x_{0}) = 0$ ，则 $x_{0}$ 为函数的一个极值点． C、函数 $f (x)$ 在 $(a, b)$ 内单调，则函数 $f (x)$ 在 $(a, b)$ 内一定没有极值． D、三次函数在R上可能不存在极值．

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4、下列数列是等比数列的是（）．

A、1，1，1，1，1 B、0，0，0，0，… C、 $\frac{1}{2}$ ， $\frac{1}{4}$ ， $\frac{1}{8}$ ， … D、 $- 1$ ， $- 1$ ， 1， $- 1$ ， …

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5、已知函数 $f (x) = 2 ln (e^{x} + 1) - x$ ， $g (x) = f^{'} (x)$ ，其中 $f^{'} (x)$ 是函数 $f (x)$ 的导函数，若不等式 $g (a x^{2}) - g (2 ln \frac{1}{x}) \leq 0$ 对任意的 $x \in (0, + \infty)$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, \frac{1}{e}]$ B、 $(- \infty, \frac{1}{\sqrt{e}}]$ C、 $(- \infty, - \frac{1}{e}]$ D、 $(- \infty, - \frac{1}{\sqrt{e}}]$

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6、函数 $f (x) = \ln (x - a) + b$ 在 $(0, f (0))$ 处的切线方程为 $y = x$ ，则不等式 $0 \leq f (x - 1) \leq 1$ 的解集为（）

A、 $[1, e]$ B、 $[\frac{1}{e}, 1]$ C、 $[\frac{1}{e}, e]$ D、 $[2, e + 1]$

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7、数列{a_n}满足 $a_{1} + 2 a_{2} + 2^{2} a_{3} + \dots + 2^{n - 1} a_{n} = \frac{n}{2}$ (n∈N^*)，数列{a_n}前n和为S_n ，则S₁₀等于（）

A、 ${(\frac{1}{2})}^{55}$ B、 $1 - {(\frac{1}{2})}^{10}$ C、 $1 - {(\frac{1}{2})}^{9}$ D、 ${(\frac{1}{2})}^{66}$

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8、函数 $f (x) = a x + e^{x}$ 在 $(- \infty, 1]$ 上是减函数，则实数a的取值范围是（）

A、 $(- \infty, 1]$ B、 $(- \infty, - 1)$ C、 $(- \infty, - e)$ D、 $(- \infty, - e]$

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9、《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一.书中有这样一道题目：把100个面包分给5个人，使每个人所得成等差数列，且使较大的三份之和的 $\frac{1}{5}$ 是较小的两份之和，则最小的一份为（）

A、 $\frac{40}{9}$ B、 $\frac{10}{3}$ C、 $\frac{5}{6}$ D、 $\frac{5}{3}$

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10、已知函数 $f (x)$ 的导函数 $f^{'} (x)$ 的图象如图，则下列叙述正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 在 $(- \infty, - 4)$ 上单调递减 B、函数 $f (x)$ 在 $x = 2$ 处取得极小值 C、函数 $f (x)$ 在 $x = - 4$ 处取得极值 D、函数 $f (x)$ 只有一个极值点

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11、函数 $f (x) = 3 x^{2} + cos x$ 的导函数是（）

A、 $f^{'} (x) = 6 x + \sin x$ B、 $f^{'} (x) = 6 x - \sin x$ C、 $f^{'} (x) = x^{3} - \sin x$ D、 $f^{'} (x) = x^{3} + \sin x$

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12、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A B C = 90^{\circ}, A C = 2, P$ 为 $△ A B C$ 内一点， $D$ 为 $B C$ 上一点， $P D = C D = \frac{1}{2}$ ，且 $\vec{P D} = \frac{1}{2} (\vec{P C} + \vec{P B})$ .

(1)、若 $P C = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，求 $P A$ ；

(2)、若 $∠ A P B = 120^{\circ}$ ，求 $△ A B P$ 的面积 $S$ ．

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13、（1）如图，已知正三棱锥 $S - A B C$ 的底面边长为2，正三棱锥的高 $S O = 1$ ．求此正三棱锥 $S - A B C$ 的体积和表面积
（2）如图所示，在四边形 $A B C D$ 中， $\vec{A B} = 2 \vec{D C}, \vec{A B} \cdot \vec{B C} = 0, |\vec{A B}| = 4 \sqrt{3}, |\vec{A D}| = 4$ ， $E$ 为 $A B$ 的中点，连接 $D E$ ．
①将四边形 $A B C D$ 绕着线段 $A B$ 所在的直线旋转一周，求所形成的封闭几何体的表面积和体积；
②将 $△ A E D$ 绕着线段 $A E$ 所在直线旋转一周形成几何体 $W$ ，若球 $O$ 是几何体 $W$ 的内切球，求球 $O$ 的表面积．

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14、已知 $|\vec{a}| = 2$ ， $|\vec{b}| = 3$ ， $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{b} = 8$ ．

(1)、求 $|\vec{a} + \vec{b}|$ ；

(2)、当 $k$ 为何值时， $k \vec{a} - \vec{b}$ 与 $\vec{a} + 2 \vec{b}$ 垂直？

(3)、求向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{a} + \vec{b}$ 的夹角的余弦值．

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15、（1）已知函数 $f (x) = 2 sin (2 x + \frac{π}{6})$ ．求函数 $f (x)$ 的单调递减区间及其图象的对称中心；
（2）已知 $sin 2 α = \frac{3}{5}, α \in (\frac{5 π}{4}, \frac{3 π}{2})$ ． ①求 $cos α$ 的值；②求 $tan (\frac{π}{4} - α)$ 的值．

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16、如下图，在平行四边形 $A B C D$ 中， $A B = 4, A D = 3, ∠ D A B = \frac{π}{3}$ ，点 $E ， F$ 在 $B C, D C$ 上，且 $\vec{B E} = \frac{1}{2} \vec{E C} ， \vec{D F} = \vec{F C}$ ，则 $\vec{A E} \cdot \vec{A F}$ = ．

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17、如图是用斜二测画法画出的水平放置的正三角形ABC的直观图，其中 $O^{'} B^{'} = O^{'} C^{'} = 2$ ，则三角形 $A^{'} B^{'} C^{'}$ 的面积为．

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18、一个正方体的顶点都在球面上，过球心作一截面，如图所示，则截面的可能图形是（）

A、 B、 C、 D、

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19、对于复数 $z = a + b i (a, b \in R)$ ，下列结论错误的是（）

A、若 $a = 0$ ，则 $a + b i$ 为纯虚数 B、若 $a - b i=3+2i$ ，则 $a = 3, b = 2$ C、若 $b = 0$ ，则 $a + b i$ 为实数 D、 $i^{2} = - 1$

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20、已知 $α \in (0, \frac{π}{4})$ ， $\sin (α + \frac{π}{4}) = \frac{4}{5}$ ，则 $\sin α$ 的值为（）

A、 $- \frac{\sqrt{2}}{10}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{10}$ C、 $\frac{7 \sqrt{2}}{10}$ D、 $- \frac{7 \sqrt{2}}{10}$

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