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相关试卷

1、已知在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A A_{1} = 2$ ，点 $M$ 为 $A_{1} D_{1}$ 的中点，点 $P$ 为正方形 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 内一点（包含边界），下列说法正确的是（）

A、若点 $P$ 是 $A_{1} B_{1}$ 中点，则 $M$ 、 $P$ 、 $B$ 、 $D$ 四点共面 B、存在点 $P$ ，使得直线 $B P$ 与 $A A_{1}$ 所成角为 $60^{\circ}$ C、若直线 $B P //$ 平面 $A M B_{1}$ ，则三棱锥 $P - A M B_{1}$ 的体积为定值 D、若 $B P = \sqrt{6}$ ，那么 $P$ 点的轨迹长度为 $\frac{\sqrt{2}}{4} π$

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2、已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ，则下列说法正确的是（）

A、若 $a + b = 4$ ，则 $a b$ 的最大值为 $4$ B、 $a^{2} + \frac{4}{a^{2} + 3}$ 的最小值为 $1$ C、若 $a b = a + b + 3$ ，则 $a b \geq 9$ D、若 $a + 2 b + a b = 30$ ，则 $2 a + b$ 的最小值为 $11$

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3、已知 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 是两条不同的直线， $α$ ， $β$ 是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）

A、若 $l_{1} // α$ 且 $α // β$ ，则 $l_{1} // β$ B、若 $m \subset α$ ， $n // α$ ， $m$ ， $n$ 共面，则 $m // n$ C、若 $l_{1}$ 不垂直于 $α$ ，且 $l_{2} \subset α$ ，则 $l_{1}$ 必不垂直于 $l_{2}$ D、若 $l_{1} ⊥ α$ 且 $α // β$ ，则 $l_{1} ⊥ β$

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4、已知 $f (x) = | {log}_{a} x |$ ， $a > 1$ ，记集合 $A = {x \in R |f (x) \leq 1}$ ， $B = {x \in R |f (f (x) + b) \leq 1}$ ，若 $A = B$ ，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $[\frac{\sqrt{3} + 1}{2}, + \infty)$ B、 $[\frac{3}{2}, + \infty)$ C、 $[\frac{\sqrt{6} + 1}{2}, + \infty)$ D、 $[\frac{\sqrt{5} + 1}{2}, + \infty)$

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5、已知一函数 $f (x) = {(\frac{1}{2})}^{|x|} - x^{2}$ ，其定义域为 $(- 4, 4)$ ，则满足不等式 $f (x) - f (2 x + 1) > 0$ 的 $x$ 的取值范围为（）

A、 $(- 1, - \frac{1}{3})$ B、 $(- \frac{5}{2}, - 1)$ C、 $(- \frac{5}{2}, \frac{1}{3}) \cup (1, \frac{3}{2})$ D、 $(- \frac{5}{2}, - 1) \cup (- \frac{1}{3}, \frac{3}{2})$

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6、一个袋子中有完全相同的 $x$ 个红球，3个白球.若采取不放回方式从中随机摸出两个球，摸出的2个球都是红球的概率是 $\frac{1}{10}$ .现采取放回方式从中依次摸出3个球，求恰有两次抽出红球的概率为（）

A、 $\frac{36}{125}$ B、 $\frac{12}{125}$ C、 $\frac{12}{25}$ D、 $\frac{4}{25}$

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7、在平行四边形 $A B C D$ 中， $P$ 是线段 $B D$ 上一点， $\vec{A M} = \frac{1}{3} \vec{M B}$ ， $\vec{B N} = 2 \vec{N C}$ ， $\vec{A P} = x \vec{A B} + y \vec{A D}$ .若 $A P // M N$ ，则 $x =$ （）

A、 $\frac{8}{17}$ B、 $\frac{9}{17}$ C、 $\frac{10}{17}$ D、 $\frac{11}{17}$

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8、已知向量 $\vec{a} = (1, 0)$ ， $\vec{b} = (- 1, 1)$ ，若 $(λ \vec{a} + \vec{b}) ⊥ \vec{b}$ ，则 $λ =$ （）

A、 $- 1$ B、1 C、 $- 2$ D、2

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9、已知集合 $U = \{1, 2, 3, 4\}$ ， $M = \{1, 2\}$ ， $N = \{2, 3\}$ ，则 $∁_{U} (M \cup N) =$ （）

A、 $\{2\}$ B、 $\{4\}$ C、 $\{1, 2, 3\}$ D、 $\{1, 3, 4\}$

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10、已知直线 $l_{1} : x - 2 y + 3 = 0, l_{2} : 2 x + 3 y - 8 = 0$ ．

(1)、求经过点 $A (1, 4)$ 且与直线 $l_{2}$ 垂直的直线方程；

(2)、求经过直线 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程．

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11、已知点P在直线 $x - y - 1 = 0$ 上，点 $A (1, - 2), B (2, 6)$ ，则 $| P A | - | P B |$ 的最小值为

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12、如图中的直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ ， $l_{3}$ 的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ， $k_{3}$ ，则（）

A、 $k_{1} < k_{2} < k_{3}$ B、 $k_{3} < k_{1} < k_{2}$ C、 $k_{3} < k_{2} < k_{1}$ D、 $k_{1} < k_{3} < k_{2}$

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13、设集合 $A = {x |x \geq 1}, B = \{x |x^{2} - x - 2 < 0\}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 ${x |x > - 1}$ B、 ${x |x \geq 1}$ C、 ${x |- 1 < x < 1}$ D、 ${x |1 \leq x < 2}$

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14、已知函数 $f (x) = m x ln x - x^{2} + n (m, n \in R)$ ， $g (x) = \frac{f (x)}{x}$ .

(1)、当 $m = 2$ ， $n = 0$ 时，求 $g (x)$ 在区间 $[1, e]$ 上的最值；

(2)、当 $n = 1$ 时，若 $f (x)$ 有三个零点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3} （ x_{1} < x_{2} < x_{3} ）$ ，
①求 $m$ 的取值范围；
②判断 $x_{1} + x_{3} - x_{2}$ 与 $\frac{m^{4} - m^{2} + 1}{m^{2}}$ 的大小关系，并给出证明.

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15、从2016年1月1日起全国统一实施全面两孩政策，为了解适龄民众对放开生二孩政策的态度，某市选取80后作为调查对象，随机调查了10人，其中打算生二胎的有4人，不打算生二胎的有6人.

(1)、从这10人中随机抽取3人，记打算生二胎的人数为 $ξ$ ，求随机变量 $ξ$ 的分布列和数学期望；

(2)、若以这10人的样本数据估计该市的总体数据，且以频率作为概率，从该市80后中随机抽取3人，记打算生二胎的人数为 $η$ ，求随机变量 $η$ 的分布列和数学期望，方差.

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16、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n} = n^{2} + 3 n .$

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、令 $b_{n} = \frac{4}{a_{n} a_{n + 1}} + 1$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n} .$

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17、甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表.
机床
品级
合计
一级品
二级品
甲机床
150
50
200
乙机床
120
80
200
合计
270
130
400

(1)、甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少?

(2)、依据小概率值 $α = 0.010$ 的独立性检验，分析甲机床的产品质量是否与乙机床的产品质量有差异.
附：χ²= $\frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b)(c + d)(a + c)(b + d)}$ .
α
0.050
0.010
0.001
x_α
3.841
6.635
10.828

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18、已知函数 $f (x) = e^{x} - \frac{\ln x}{x} + \frac{a}{x} - 1$ ，若在 $(1, f (1))$ 处的切线斜率为 $- 1$ ，则 $a =$ ；若 $f (x) \geq 0$ 恒成立，则 $a$ 的取值范围为

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19、若从2025的所有正约数中任取一个数，则这个数是一个完全平方数的概率为．

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20、设正整数 $m = a_{0} \cdot 2^{0} + a_{1} \cdot 2^{1} + \dots + a_{n - 1} \cdot 2^{n - 1} + a_{n} \cdot 2^{n}$ ，其中 $a_{i} \in \{0, 1\} (i = 0, 1, \dots, n)$ ，记 $S (m)$ 为上述表示中 $a_{i}$ 为1的个数．例如： $5 = 1 \cdot 2^{0} + 0 \cdot 2^{1} + 1 \cdot 2^{2}$ ，所以 $S (5) = 2$ ．已知集合 $A = \{1, 2, 3, \dots, 2^{n} - 1\}$ ，下列说法正确的是（）

A、 $S (20) = 2$ B、对任意的 $m \in A$ ，有 $S (m) + S (2^{n} - m) = n$ C、若 $m \in A$ ，则使 $S (m) = k (k \in N^{*}, 1 \leq k \leq n)$ 成立的 $m$ 的取值个数为 $C_{n}^{k}$ D、 $\sum_{m = 1}^{2^{n} - 1} S (m) = n \cdot 2^{n - 1}$

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机床	品级		合计
机床	一级品	二级品	合计
甲机床	150	50	200
乙机床	120	80	200
合计	270	130	400

α	0.050	0.010	0.001
x_α	3.841	6.635	10.828