2017-2018学年北师大版高考数学模拟试卷

试卷更新日期：2018-02-25 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合A={1，3， $\sqrt{3}$ }，B={1，m}，A∪B=A，则m=（）

A、0或 $\sqrt{3}$ B、0或3 C、3或 $\sqrt{3}$ D、1或3

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2. 已知集合A={3，a²}，集合B={0，b，1﹣a}，且A∩B={1}，则A∪B=（）

A、{0，1，3} B、{1，2，4} C、{0，1，2，3} D、{0，1，2，3，4}

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3. 函数f（x）= ${\begin{matrix} - x - 1 ， x < 1 \\ {(\frac{1}{2})}^{x - 1} ， x \geq 1 \end{matrix}$ 的图象与函数g（x）=log₂（x+a）（a∈R）的图象恰有一个交点，则实数a的取值范围是（）

A、a＞1 B、a≤﹣ $\frac{3}{4}$ C、a≥1或a＜﹣ $\frac{3}{4}$ D、a＞1或a≤﹣ $\frac{3}{4}$

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4. 已知函数f（x）= ${\begin{matrix} s i n \frac{π}{2} x (0 \leq x \leq 2) \\ l o g_{2017} (x - 1) (x > 2) \end{matrix}$ ，若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则a+b+c的取值范围是（）

A、（4，2018） B、（4，2020） C、（3，2020） D、（2，2020）

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5. 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”问此人第4天和第5天共走了（）

A、60里 B、48里 C、36里 D、24里

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6.
若函数y=log_ax（a＞0，且a≠1）的图象如图所示，则下列函数与其图象相符的是（　　）

A、 B、 C、 D、

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7. 已知f（x）是定义在（0，3）上的函数，f（x）的图象如图所示，那么不等式f（x）cosx＜0的解集是（）

A、（0，1）∪（2，3） B、 $(1 ， \frac{π}{2}) \cup^{} (\frac{π}{2} ， 3)$ C、 $(0 ， 1) \cup^{} (\frac{π}{2} ， 3)$ D、（0，1）∪（1，3）

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8. 已知f（x）是定义域为（0，+∞）的单调函数，若对任意的x∈（0，+∞），都有 $f [f (x) + \log_{\frac{1}{3}} x] = 4$ ，且方程|f（x）﹣3|=x³﹣6x²+9x﹣4+a在区间（0，3]上有两解，则实数a的取值范围是（）

A、0＜a≤5 B、a＜5 C、0＜a＜5 D、a≥5

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9. 函数f（x）=（x﹣2）（ax+b）为偶函数，且在（0，+∞）单调递增，则f（2﹣x）＞0的解集为（）

A、{x|x＞2或x＜﹣2} B、{x|﹣2＜x＜2} C、{x|x＜0或x＞4} D、{x|0＜x＜4}

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10. 已知x，y∈R，且 ${\begin{matrix} \sqrt{3} x + y \leq 4 \sqrt{3} \\ \sqrt{3} x - y \geq 0 \\ y \geq 0 \end{matrix}$ ，则存在θ∈R，使得xcosθ+ysinθ+1=0成立的P（x，y）构成的区域面积为（）

A、4 $\sqrt{3}$ ﹣ $\frac{π}{6}$ B、4 $\sqrt{3}$ ﹣ $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{π}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ + $\frac{π}{6}$

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11. 在△ABC中，P、Q分别在AB，BC上，且 $\vec{A P}$ = $\frac{1}{3} \vec{A B}$ ， $\vec{B Q}$ = $\frac{1}{3} \vec{B C}$ ，若 $\vec{A B}$ = $\vec{a}$ ， $\vec{A C}$ = $\vec{b}$ ，则 $\vec{P Q}$ =（）

A、 $\frac{1}{3} \vec{a}$ + $\frac{1}{3} \vec{b}$ B、﹣ $\frac{1}{3} \vec{a}$ + $\frac{1}{3} \vec{b}$ C、 $\frac{1}{3} \vec{a}$ ﹣ $\frac{1}{3} \vec{b}$ D、﹣ $\frac{1}{3} \vec{a}$ ﹣ $\frac{1}{3} \vec{b}$

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12. 设A是双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的右顶点，F（c，0）是右焦点，若抛物线 $y^{2} = - \frac{4 a^{2}}{c} x$ 的准线l上存在一点P，使∠APF=30°，则双曲线的离心率的范围是（）

A、[2，+∞） B、（1，2] C、（1，3] D、[3，+∞）

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二、填空题

13. 设抛物线y²=4x的焦点为F，过点F作直线l与抛物线分别交于两点A，B，若点M满足 $\vec{O M}$ = $\frac{1}{2}$ （ $\vec{O A}$ + $\vec{O B}$ ），过M作y轴的垂线与抛物线交于点P，若|PF|=2，则M点的横坐标为．

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14. 如图，抛物线y²=4x的一条弦AB经过焦点F，取线段OB的中点D，延长OA至点C，使|OA|=|AC|，过点C，D作y轴的垂线，垂足分别为E，G，则|EG|的最小值为．

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15. 如图是一个算法的流程图，则输出的n的值是．

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16. 已知关于空间两条不同直线m，n，两个不同平面α，β，有下列四个命题：①若m∥α且n∥α，则m∥n；②若m⊥β且m⊥n，则n∥β；③若m⊥α且m∥β，则α⊥β；④若n⊂α且m不垂直于α，则m不垂直于n．其中正确命题的序号为．

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三、综合题

17. 函数f（x）=log_a（1﹣x）+log_a（x+3），（0＜a＜1）．

(1)、求函数f（x）的定义域；

(2)、若函数f（x）的最小值为﹣2，求a的值．

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18. 已知函数f（x）=lnx，g（x）= $\frac{3}{2}$ ﹣ $\frac{a}{x}$ （x为实常数）．

(1)、当a=1时，求函数φ（x）=f（x）﹣g（x）在x∈[4，+∞）上的最小值；

(2)、若方程e^2f^（^x^）=g（x）（其中e=2.71828…）在区间[ $\frac{1}{2} ， 1$ ]上有解，求实数a的取值范围．

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19. 已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asinB+bcosA=0．

(1)、求角A的大小；

(2)、若 $a = 2 \sqrt{5} ， b = 2$ ，求△ABC的面积．

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20. 已知离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 的椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ + $\frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a＞b＞0）过点P（﹣1， $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ）．

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、直线AB：y=k（x+1）交椭圆C于A、B两点，交直线l：x=m于点M，设直线PA、PB、PM的斜率依次为k₁、k₂、k₃ ，问是否存在实数t，使得k₁+k₂=tk₃？若存在，求出实数t的值以及直线l的方程；若不存在，请说明理由．

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21.
如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点．

(1)、证明：MN∥平面PAB；

(2)、求直线AN与平面PMN所成角的正弦值．

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22. 在极坐标系下，知圆O：ρ=cosθ+sinθ和直线 $l ： ρ s i n (θ - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} (ρ \geq 0 ， 0 \leq θ \leq 2 π)$ ．

(1)、求圆O与直线l的直角坐标方程；

(2)、当θ∈（0，π）时，求圆O和直线l的公共点的极坐标．

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23. 已知函数f（x）=|x|+|x+1|．

(1)、解关于x的不等式f（x）＞3；

(2)、若∀x∈R，使得m²+3m+2f（x）≥0成立，试求实数m的取值范围．

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