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相关试卷

1、若直线 $a x + b y - 1 = 0$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ）平分圆 ${(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 4$ ，则 $\frac{1}{a} + \frac{2}{b}$ 的最小值是（）

A、2 B、5 C、 $3+2 \sqrt{2}$ D、 $4 \sqrt{2}$

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2、已知过点 $P (4, m) (m \neq 0)$ 作圆 $C : x^{2} + y^{2} - 4 y = 0$ 的两条切线 $P A$ ， $P B$ ，切点分别为 $A$ ， $B$ ，则直线 $A B$ 必过定点（）

A、 $(1, 2)$ B、 $(2, 1)$ C、 $(1, 1)$ D、 $(1, \frac{1}{2})$

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3、已知直线 $l_{1} : x - y + 3 = 0, l_{0} : x - y - 1 = 0$ ，若 $l_{1}$ 关于 $l_{0}$ 对称的直线为 $l_{2}$ ，则直线 $l_{2}$ 的方程是（）

A、 $x - y - 3 = 0$ B、 $x - y + 5 = 0$ C、 $x - y + 3 = 0$ D、 $x - y - 5 = 0$

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4、已知空间向量 $\vec{a} = (- 2, 1, m), \vec{b} = (1, - 1, 0), \vec{c} = (- 1, 2, n)$ ，若 $\vec{a} 、 \vec{b} 、 \vec{c}$ 共面，则 $m + n =$ （）

A、-1 B、0 C、1 D、2

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5、直线 $3 x + \sqrt{3} y + 3 = 0$ 的倾斜角为（）

A、 $30^{\circ}$ B、 $60^{\circ}$ C、 $120^{\circ}$ D、 $150^{\circ}$

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6、已知椭圆 $E$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1} (- 1, 0)$ 、 $F_{2} (1, 0)$ ， $M (\sqrt{2}, \frac{\sqrt{6}}{2})$ ，在椭圆 $E$ 上，

(1)、求椭圆 $E$ 的方程；

(2)、若直线 $n$ 交椭圆 $E$ 于 $A$ ， $B$ 两点，AB的中点坐标为 $(1, - \frac{1}{2})$ ，求直线 $n$ 的方程；

(3)、直线 $l$ ： $y = k x + m$ 与椭圆 $E$ 相交于 $P$ ， $Q$ 两点，且 $4 k^{2} + 3 = 4 m^{2}$ ，求证： $△ O P Q$ （ $O$ 为坐标原点）的面积为定值.

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7、如图，在四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面ABCD为平行四边形， $A_{1} A ⊥$ 平面 $A B C D, ∠ A B C = 45^{°}$ ， $A B = 2 A_{1} A = \sqrt{2} B_{1} C_{1} = \frac{\sqrt{2}}{2} B C$

(1)、证明：平面 $C D D_{1} C_{1} ⊥$ 平面 $A C C_{1} A_{1}$

(2)、求直线 $B B_{1}$ 与平面 $C D D_{1} C$ 所成角的大小

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8、已知点 $F$ 是椭圆 $C : \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的左焦点， $P$ 为 $C$ 上一点， $A (0, 1)$ ，则 $|P A| + |P F|$ 的最小值是.

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9、圆 $x^{2} + y^{2} = 4$ 上的点到直线 $4 x - 3 y + 25 = 0$ 的距离的最小值是．

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10、棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $E$ 为侧面 $B B_{1} C_{1} C$ 内一点（包括边界），则以下说法正确的是（）

A、若点 $F$ 为下底面 $A B C D$ 内一点（包括边界），则 $E F$ 的最大值为 $2 \sqrt{2}$ B、若 $A E = \sqrt{5}$ ，则 $C_{1} E$ 的最小值为 $2 \sqrt{2} - 1$ C、若 $E ､ F$ 分别为 $C C_{1} ､ B B_{1}$ 的中点，则异面直线 $A E$ 与 $C F$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ D、若点 $E$ 到直线 $B B_{1}$ 的距离是它到直线 $C_{1} D_{1}$ 距离的2倍，则点 $E$ 的轨迹是双曲线的一部分

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11、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{3} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $(2, 0)$ 是椭圆 $C$ 的一个顶点 B、 $(0, 1)$ 是椭圆 $C$ 的一个焦点 C、椭圆 $C$ 的离心率 $e = \frac{1}{2}$ D、椭圆 $C$ 的短轴长为 $2 \sqrt{3}$

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12、若方程 $\frac{x^{2}}{m + 4} + \frac{y^{2}}{m - 7} = 1$ 表示双曲线，则 $m$ 的取值范围是（）

A、 $m < - 7$ 或 $m > 4$ B、 $- 7 < m < 4$ C、 $m < - 4$ 或 $m > 7$ D、 $- 4 < m < 7$

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13、直线 $l$ ： $x + y - 2024 = 0$ 的倾斜角为（）

A、 $- 1$ B、 $- \frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{4}$ D、 $\frac{3 π}{4}$

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14、已知a＞0，且a²^x＝ $\sqrt{2}$ ＋1，求下列代数式的值：

(1)、 $\frac{a^{x} + a^{- x}}{a^{x} - a^{- x}}$

(2)、 $\frac{a^{3 x} + a^{- 3 x}}{a^{x} + a^{- x}}$ .(注：立方和公式a³＋b³＝(a＋b)(a²－ab＋b²))

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15、已知x＋y＝10，xy＝9，且x<y ，求 $\frac{x^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}}}$ 的值．

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16、设α ， β为方程2x²＋3x＋1＝0的两个根，则 $(\frac{1}{4})$ ^α^＋^β＝.

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17、下列结论中不正确的是( )

A、当a<0时(a²) $^{\frac{3}{2}}$ ＝a³ B、 $\sqrt[n]{a^{n}}$ ＝|a| C、函数y＝(x－2) $^{\frac{1}{2}}$ －(3x－7)⁰的定义域是[2，＋∞) D、若100^a＝5，10^b＝2，则2a＋b＝1

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18、如果x＝1＋2^b ， y＝1＋2^－^b ，那么用x表示y为( )

A、 $y = \frac{x + 1}{x - 1}$ B、 $y = \frac{x + 1}{x}$ C、 $y = \frac{x - 1}{x + 1}$ D、 $y = \frac{x}{x - 1}$

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19、已知函数f(x)＝ $\frac{a^{x} + a^{- x}}{2}$ (a>0，a≠1，a为常数，x∈R)．

(1)、若f(m)＝6，求f(－m)的值；

(2)、若f(1)＝3，求f(2)，f（ $\frac{1}{2}$ ）的值．

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20、计算下列各式：

(1)、 ${(6 \frac{1}{4})}^{- \frac{1}{2}} + 5^{- 2} \times 2 5^{\frac{1}{2}} - 4^{\frac{3}{2}} \times {(\frac{1}{101})}^{0}$

(2)、 $(2 \frac{7}{9})^{0.5} + (0.1)^{- 2} + (2 \frac{10}{27})^{- \frac{2}{3}} - 3 π^{0} + \frac{37}{48}$

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