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相关试卷

1、已知函数 $f (x)$ ， $g (x)$ 分别由下表给出，则方程 $g [f (x)] = 3$ 的解集为.
x 1 2 3
$f (x)$ 1 3 1
x 1 2 3
$g (x)$
3 2 1

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2、定义在 $(0, + \infty)$ 上的函数 $f (x)$ 满足：对 $\forall x_{1}, x_{2} \in (0, + \infty)$ ，且 $x_{1} \neq x_{2}$ ，都有 $(x_{1} - x_{2}) [x_{2} f (x_{1}) - x_{1} f (x_{2})] > 0$ 成立，且 $f (4) = 2$ ，则不等式 $\frac{f (x)}{x} > \frac{1}{2}$ 的解集为（）

A、 $(4, + \infty)$ B、 $(0, 4)$ C、 $(0, 2)$ D、 $(2, + \infty)$

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3、函数 $y = \frac{x}{1 + x}$ 在区间 $[2, 4]$ 上的最大值､最小值分别为（）

A、最大值为 $\frac{5}{4}$ ，最小值为 $\frac{2}{3}$ B、最大值为 $\frac{4}{5}$ ，最小值为 $\frac{2}{3}$ C、最大值为1，最小值为 $\frac{1}{3}$ D、最大值为 $\frac{4}{5}$ ，最小值为 $\frac{1}{3}$

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4、不等式 $a x^{2} + b x + c > 0$ 的解集为 $\{x |- \frac{1}{2} < x < 3\}$ ，则不等式 $c x^{2} + b x + a > 0$ 的解集为（）．

A、 $\{x | x < - 2 或 x > \frac{1}{3}\}$ B、 $\{x |- 2 < x < \frac{1}{3}\}$ C、 $\{x |- \frac{1}{3} < x < 2\}$ D、 $\{x | x < - \frac{1}{3} 或 x > 2\}$

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5、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的公差为2，前n项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{1}, a_{3}, a_{4}$ 成等比数列，则 $S_{10} =$ （）

A、10 B、8 C、0 D、 $- 6$

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6、已知空间向量 $\vec{a} = (1, - 1, 2)$ ， $\vec{b} = (1, - 2, 1)$ ，则向量 $\vec{b}$ 在向量 $\vec{a}$ 上的投影向量是.

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7、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的离心率为 $\sqrt{2}$ ，点 $O$ 为坐标原点，过 $C$ 的右焦点的直线 $l$ 交 $C$ 的右支于 $P, Q$ 两点，当 $l ⊥ x$ 轴时， $|P Q| = 2 \sqrt{2}$ .

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、过点 $P$ 作直线 $x = 1$ 的垂线，垂足为 $N$ .
①证明：直线 $Q N$ 过定点；
②求 $△ O Q N$ 面积的最小值.

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8、将函数 $f (x) = \sin (2 x + φ)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度得到 $g (x)$ 的图象.若 $g (x)$ 的图象关于y轴对称，则 $|φ|$ 的最小值为.

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9、已知函数 $f (x) = \frac{x + 1}{e^{x - 1}} - a x - 1$ ，则下列说法正确的是（）

A、若 $f (x)$ 在 $R$ 上单调递增，则 $a \leq - 1$ B、若 $0 < a < 2$ ，设 $f (x) > a - 1$ 的解集为 $(m, n)$ （ $n > m$ ），则 $n - m > 2$ C、若 $f (x)$ 有两个极值点 $x_{1} ， x_{2}$ ，且 $x_{2} > 2 x_{1}$ ，则 $a \in (- \frac{e \ln 2}{2}, 0)$ D、若 $a = 1$ ，则过 $(0, 3)$ 仅能做曲线 $y = f (x)$ 的一条切线

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10、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} - x^{2} + 4 x, x > 0 \\ ln (- x + 1) + 3, x \leq 0 \end{array}$ ，函数 $g (x) = f (f (x)) - m$ ，则下列结论正确的是（）

A、若 $m = 0$ ，则 $g (x)$ 有1个零点 B、若 $m = 3$ ，则 $g (x)$ 有6个零点 C、若 $g (x)$ 有5个零点，则 $m$ 的取值范围为 $(0, 3)$ D、 $g (x)$ 一定有零点

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11、已知函数 $f (x) = A sin (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, |φ| < \frac{π}{2})$ 的部分图像如图所示，下列说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 的图像关于直线 $x = \frac{7 π}{12}$ 对称 B、 $f (x)$ 的图像关于点 $(- \frac{π}{3}, 0)$ 对称 C、将函数 $y = 2 cos 2 x$ 的图像向右平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度得到函数 $f (x)$ 的图像 D、函数 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{2}, 0]$ 的值域是[ $- \sqrt{3}, \sqrt{3}$ ]

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12、已知函数 $f (x)$ 与 $g (x)$ 是定义在 $R$ 上的函数，它们的导函数分别为 $f^{'} (x)$ 和 $g^{'} (x)$ ，且满足 $f (x) + f (6 - x) = 2, f (x) = g (3 - x) - 5$ ，且 $f^{'} (x) - g^{'} (x - 1) = 2, f^{'} (3) = - 1$ ，则 $\sum_{k = 1}^{2024} g^{'} (k) =$ （）

A、1012 B、2024 C、 $- 1012$ D、 $- 2024$

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13、若 $α + β = \frac{3 π}{4}, tan α = 2$ ，则 $\frac{sin (α - β)}{cos (α - β) - sin α sin β} =$ （）

A、1 B、-1 C、2 D、-2

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14、如图，在四棱锥 $S - A B C D$ 中， $△ A B S$ 是正三角形，四边形 $A B C D$ 是菱形， $A B = 4$ ， $∠ A B C = 120^{\circ}$ ，点 $E$ 是 $B S$ 的中点．

(1)、求证： $S D / /$ 平面 $A C E$ ；

(2)、若平面 $A B S ⊥$ 平面 $A B C D$ ，求点 $E$ 到平面 $A S D$ 的距离．

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15、已知函数 $f (x) = x \sin x$ ， $g (x) = x^{2} - a x^{3}$ ， $a \in R$ .

(1)、讨论函数 $f (x)$ 在区间 $(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ 上的单调性.

(2)、已知 $x h (x) = g (x) - f (x)$ .
（i）若函数 $h (x)$ 在区间 $(0, π)$ 上只有一个极值点，求a的取值范围；
（ii）当 $a = \frac{1}{π}$ 时，若 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 是函数 $h (x) = k$ 的两个根， $x_{1} < x_{2}$ ，且 $x_{1}$ ， $x_{2} \in (- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ ，证明： $x_{1} > - x_{2}$ .

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16、已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率 $e = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，短轴长为2， $P (x_{0}, y_{0})$ 是椭圆外一点.

(1)、求椭圆C的标准方程；

(2)、若 $P (2, 2)$ ，过点P作直线l与椭圆C相切，求直线l的方程；

(3)、若过点P作椭圆C的两条切线互相垂直，求点P的轨迹方程.

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17、如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，底面ABC是边长为4的正三角形，侧棱 $A A_{1} ⊥$ 平面ABC， $A A_{1} = 4 \sqrt{3}$ ，点D是BC的中点，点F是 $A_{1} B_{1}$ 的中点，点E在AC上，且 $A E = 3 E C$ .

(1)、证明： $B F / /$ 平面 $B_{1} D E$ .

(2)、求平面 $B_{1} D E$ 与平面 $B B_{1} D$ 夹角的余弦值.

(3)、在线段 $A_{1} C$ 上是否存在一点P，使得直线PF与平面 $A_{1} B_{1} B A$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ ？若存在，求出 $A_{1} P$ 的长；若不存在，请说明理由.

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18、记等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，已知 $a_{3} = 5$ ， $S_{7} = 49$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、若数列 $\{c_{n}\}$ 满足 $c_{n} = \frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}$ ，记数列 $\{c_{n}\}$ 的前n项和为 $T_{n}$ ，求 $T_{n}$ ；

(3)、若 $a_{n + 1} > m a_{n}$ 恒成立，求实数m的取值范围.

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19、某学校为了研究学生的数学成绩与物理成绩是否有关联，随机抽取了500名学生的成绩数据，得到如下2×2列联表：
单位：人
物理成绩
数学成绩
合计
优秀
不优秀
优秀
90
60
150
不优秀
160
190
350
合计
250
250
500

(1)、记数学成绩优秀者中物理成绩不优秀的概率为P，求P的值；

(2)、依据小概率值 $α = 0.01$ 的独立性检验，能否认为学生的数学成绩与物理成绩有关系？
参考公式： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ .
临界值表：
$α$
0.05
0.01
0.001
$x_{α}$
3.841
6.635
10.828

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20、某个科技小作品是由红、黄、蓝三个颜色的灯组成，每次闪烁时只有一个颜色的灯亮，其余两个颜色的灯不亮，每种颜色的灯不会连续在两次闪烁中亮起，若第1次闪烁，红灯亮起，则第6次闪烁时，黄灯亮的概率为.

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物理成绩	数学成绩		合计
物理成绩	优秀	不优秀	合计
优秀	90	60	150
不优秀	160	190	350
合计	250	250	500

x	1	2	3
$f (x)$	1	3	1
x	1	2	3
$g (x)$	3	2	1

$α$	0.05	0.01	0.001
$x_{α}$	3.841	6.635	10.828