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相关试卷

1、如图， $F$ 是抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点， $P$ 是抛物线 $C$ 在第一象限上的一点， $∠ O F P = 60 °$ ， $| P F | = 2$ .

(1)、求抛物线 $C$ 的方程；

(2)、求抛物线 $C$ 在点 $P$ 处的切线方程.

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2、数列扩充是指在一个有穷数列中按一定规则插入一些项得到一个新的数列.初始数列 $\{α_{k}^{(0)}\}$ 经过 $n$ 次扩充后的新数列记为 $\{α_{k}^{(n)}\}$ ，项数记为 $P_{n}$ ，所有项的和记为 $S_{n}$ .现若扩充规则为每相邻两项之间插入这两项的和，如：数列 ${a, b, c}$ 经过一次扩充后得到数列 $\{a_{k}^{(1)}\} = {a, a + b, b, b + c, c}$ ， $P_{1} = 5$ ， $S_{1} = 2 a + 3 b + 2 c$ .已知初始数列 $\{a_{k}^{(0)}\} = {- 3, 1, 3}$ ，则 $P_{n} =$ ； $S_{n} =$ .

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3、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点 $P$ 的坐标为 $(- 1, 1)$ ，点 $Q$ 为圆 $C : {(x - 2)}^{2} + y^{2} = 2$ 上的动点，则 $\vec{O P} \cdot \vec{O Q}$ 的最小值为.

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4、已知某趟往返梅州与广州的高铁，沿途共有梅州西、兴宁南、五华、河源东、惠州北、广州等6个站点，则此趟高铁沿途需要准备种不同的车票.

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5、如图，在四棱锥 $E - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为直角梯形， $A D // B C$ ， $A D ⊥ C D$ ， $E C ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A D = C E = 2$ ， $B C = C D = 1$ ， $M$ 、 $N$ 分别为棱 $D E$ 、 $C E$ 上的动点，设 $\vec{D M} = λ \vec{D E} (0 \leq λ \leq 1)$ ， $\vec{C N} = μ \vec{C E} (0 \leq μ \leq 1)$ ，则（）

A、当 $μ = 0$ 时，存在 $λ$ ，使得 $M N //$ 平面 $A B E$ B、当 $μ = 0$ 时，存在 $λ$ ，使得 $A N ⊥ B M$ C、当 $μ = \frac{1}{2}$ ，且 $A N$ 与 $B M$ 相交时， $λ = \frac{2}{3}$ D、三棱锥 $E - B C D$ 的外接球在底面 $A B C D$ 上的截痕长为 $\frac{\sqrt{2} π}{2}$

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6、关于函数 $f (x) = \sin x \cdot \sin 3 x$ ，以下结论正确的有（）

A、 $f (x)$ 的图象是轴对称图形 B、 $f (x)$ 的最大值为1 C、 $f (x)$ 是以 $π$ 为一个周期的周期函数 D、 $f (x)$ 在 $[0, π]$ 上有4个零点

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7、近年中国新能源汽车进入高速发展时期，为了了解消费者的购车类型与地域是否具有相关性，某品牌车商随机调查了甲、乙两地各200名消费者，得出统计图如下，根据此统计图，下列结论正确的是（）
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ， $n = a + b + c + d$ .
$α$
0.05
0.01
0.001
$χ_{α}$
3.841
6.635
10.828

A、在所调查的甲地购车者中，购买燃油车的人数比新能源车的多20人 B、在所调查的乙地购车者中，若用分层随机抽样抽取20人，则其中新能源车主有12人 C、根据小概率值 $α = 0.001$ 的独立性检验，消费者的购车类型与地域有关 D、从所调查消费者中随机选一人，在已知其为新能源车主的条件下，其来自甲地的概率为0.4

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8、已知实数 $a$ 和 $b$ （其中 $b > 1$ ）满足方程： $\frac{1}{e^{a}} + 2 \ln b = a + \frac{1}{b}$ ，则下列不等式成立的是（）

A、 $e^{a} > b^{2}$ B、 $a^{2} > e^{b}$ C、 $a > 2 b$ D、 $a > \ln b$

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9、某个弹簧振子在振动过程中的位移 $y$ （单位：cm）与时间 $t$ （单位：s）之间的关系为 $y = 10 \sin \frac{π}{2} t$ ，则当位移 $y = 6 cm$ 时，弹簧振子的瞬时速度大小为（） $cm / s$ .

A、 $4 π$ B、 $5 π$ C、 $6 π$ D、 $8 π$

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10、甲乙两人下棋比赛，规则是谁先赢2局，谁便赢得奖金5400元.根据以往的交手记录，每局甲赢的概率为 $\frac{2}{3}$ ，乙赢的概率为 $\frac{1}{3}$ ，且每局比赛相互独立.然而因突发事件，比赛未能举行，为公平服众，奖金按照比赛正常进行时各自赢得比赛的概率之比进行分配，则甲分得奖金（）元.

A、3600 B、3800 C、4000 D、4200

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11、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{m} = 1$ 与双曲线 $Γ : x^{2} - \frac{y^{2}}{m} = 1, m > 0$ 有公共的焦点 $F_{1}, F_{2}$ ，椭圆 $C$ 与双曲线 $Γ$ 的一个交点为 $Q$ ，则 $△ F_{1} Q F_{2}$ 的面积为（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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12、已知全集 $U = A \cup B = {1, 2, 3, 4, 5}$ ， $A \cap (∁_{U} B) = {2, 4}$ ，则下列结论不一定成立的是（）

A、 ${2, 4} \subseteq A$ B、 $(∁_{U} A) \subseteq B$ C、 ${1, 3, 5} \subseteq B$ D、 ${1, 3} \subseteq ∁_{U} A$

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13、为督导学生体育锻炼，某中学举行一分钟跳绳测试，其成绩 $X$ （单位：次）近似服从正态分布 $N (160, σ^{2})$ ，且 $P (120 < X < 160) = 0.45$ ，则该校2000名学生中约有（）人一分钟跳绳超过200次.

A、100 B、150 C、200 D、250

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14、已知 $\{a_{n}\}$ 为等差数列， $a_{3} = 2$ ， $a_{4} = 6$ ，则 $a_{5} + a_{6} =$ （）

A、36 B、24 C、18 D、12

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15、在复平面内，复数 $(1 + i) (m - 2 i)$ 对应的点在第三象限，则实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, - 2)$ B、 $(- 2, 0)$ C、 $(0, 2)$ D、 $(2, + \infty)$

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16、已知函数 $f (x) = \frac{ln (x + 1)}{x} (x > 0)$ ， $g (x) = f (x) + f (\frac{1}{x})$ ．

(1)、令 $h (x) = x f (x)$ ，求 $h (x)$ 在点 $(e - 1, h (e - 1))$ 处的切线方程：

(2)、讨论 $g (x)$ 在 $(0, 1)$ 上的单调性；

(3)、证明：（i）当 $x > 0$ 时， $ln (x + 1) > \frac{x}{x + 1}$
（ii） $1 < g (x) \leq 2 \ln 2$ ．

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17、有N个人需要通过血液检测某种酶是否存在．假设每个人血液中含有该酶的事件是相互独立的，且含有该酶的概率均为 $p (0 < p < 1)$ ，若血液检测始终能准确判断样本中该酶是否存在．现采用以下分组检测方法：将待检测人群分成r个小组，每组 $k (k \in N^{*}, 2 \leq k \leq N)$ 人．在每一组中，取每人的血液混合成一个样本进行检测．
若某组的混合样本检测结果呈阴性（不含酶），则该组内所有人员无需再进行后续检测．
若某组的混合样本检测结果呈阳性（含有酶），则需要对该组内的每一位成员再分别单独检测一次（不用采集血样，利用现有采集过的血样）．

(1)、若 $k = 4$ ， $p = \frac{1}{4}$ ，已知某小组的混合样本检测结果呈阳性，求该组内“恰有2人”血液中含有该酶的概率；

(2)、用N，k，p表示该方法所需检测次数的期望值；

(3)、设检测成本由两部分组成：采集处理血样成本为a元/人份，化验检测成本为b元/次．若 $p = 0.01$ ，每组人数 $k = 10$ ，且该方法的总成本期望值比“逐一检测”的总成本节省了50%以上，求 $\frac{b}{a}$ 的取值范围．（参考数据： ${0.99}^{10} \approx 0.90$ ）

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18、已知点 $F (0, \frac{1}{4})$ ， $M$ 为平面内一动点，以 $M F$ 为直径的圆与 $x$ 轴相切，点 $M$ 的轨迹记为 $Γ$ ．

(1)、求曲线 $Γ$ 的方程；

(2)、不过原点的直线 $l$ 与曲线 $Γ$ 交于不同的两点 $A, B$ ，若以 $A B$ 为直径的圆过坐标原点．
（i）证明：直线 $l$ 过定点；
（ii）点 $C$ 是曲线 $Γ$ 上位于直线 $l$ 下方的一动点，若对于给定的直线 $l$ ，记 $△ A B C$ 的面积最大值为 $S$ ，对所有符合题设条件的动直线 $l$ ，求 $S$ 的最小值．

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19、如图，已知四面体 $A B C D$ 的所有棱长都等于2，E，F，G分别是棱 $A B$ ， $A D$ ， $D C$ 的中点．平面 $A B C \cap$ 平面 $E F G = l$ ．

(1)、证明： $F G / / l$ ；

(2)、求平面 $A B C$ 与平面 $E F G$ 的夹角的正弦值．

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20、在 $△ A B C$ 中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且 $(2 c - b) \cos A = a \cos B$ ．

(1)、求A的大小；

(2)、若 $\sin B + \sin C = \sqrt{3}$ ， $b = 2$ ，试判断 $△ A B C$ 的形状，并求 $△ A B C$ 的面积．

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$α$	0.05	0.01	0.001
$χ_{α}$	3.841	6.635	10.828