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相关试卷

1、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别是 $a, b, c$ ，且 $(c - 2 a) cos B = b (2 cos A - \sqrt{3} sin C)$ .

(1)、求 $B$ ；

(2)、若 $D$ 是边 $A C$ 上靠近 $A$ 的三等分点， $a = 2$ ， $B D = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ ，求 $△ A B C$ 的面积；

(3)、若 $B D$ 是 $∠ A B C$ 的角平分线， $a = 2$ ， $B D = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ ，求 $b$ 的长.

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2、如图，在平行四边形 $A B C D$ 中， $A B = 8$ ， $A D = 6$ ， $∠ A B C = 120^{\circ}$ ， $\vec{D E} = 3 \vec{E C}$ ， $\vec{A E} = 3 \vec{A F}$ .

(1)、用向量 $\vec{A B}$ ， $\vec{A D}$ 表示向量 $\vec{A E}$ ， $\vec{B F}$ ；

(2)、求向量 $\vec{A E}$ ， $\vec{B F}$ 夹角的余弦值.

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3、已知复数 $z_{1} = 2 + a i (a \in R), i (1 - z_{2}) = 1$ ．

(1)、求 $z_{2} + \bar{z_{2}}$ ；

(2)、求 $|z_{1} - z_{2}|$ 的最小值；

(3)、若 $z_{1} z_{2}$ 的实部大于 $0$ ，求 $a$ 的取值范围．

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4、在 $△ A B C$ 中，已知三边之比为 $2 : 3 : 4$ ，则该三角形的最小角的余弦值为．

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5、如图，正四面体 $A B C D$ 的四个顶点都在球 $O$ 的表面上，且球 $O$ 的表面积为 $24 π$ ，则（）

A、 $A B = 4$ B、四面体 $A B C D$ 的体积为 $16 \sqrt{2}$ C、过点 $O$ 且平行于平面 $B C D$ 的平面截四面体 $A B C D$ 所得的截面面积为 $\frac{9 \sqrt{3}}{4}$ D、过 $O, A, C$ 三点的平面截四面体 $A B C D$ 所得的截面面积为 $4 \sqrt{2}$

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6、复数 $z = a^{2} - 4 + (a + 2) i$ ， $a \in R$ ， $z$ 的共轭复数为 $\bar{z}$ ，则（）

A、若 $z$ 为纯虚数，则 $a = \pm 2$ B、若 $a = - 1$ ，则 $z \cdot \bar{z} = 10$ C、若 $a = 0$ ，则 $\frac{\bar{z}}{z} = \frac{3}{5} - \frac{4}{5} i$ D、若 $z$ 在复平面内对应的点位于第四象限，则 $a < - 2$

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7、已知圆锥 $S O$ 的底面半径为1，母线长为3，圆柱 $O O_{1}$ 的下底面在圆锥 $S O$ 的底面上，上底面圆 $O_{1}$ 的圆周在圆锥 $S O$ 的侧面上，则圆柱 $O O_{1}$ 的侧面积的最大值为（）

A、 $π$ B、 $\frac{3 π}{2}$ C、 $\sqrt{2} π$ D、 $\sqrt{3} π$

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8、设 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边长分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $a \cos B - b \cos A = \frac{3}{5} c$ ，则 $\frac{\tan A}{\tan B}$ 的值为（）

A、2 B、 $- 2$ C、4 D、 $- 4$

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9、已知复数z满足 $∣ z - 6 + 8 i ∣ = 5$ ，则z在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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10、已知 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，若 $△ A B C$ 的面积等于 $\frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{4}$ ，则角 $C =$ （）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{2}$ D、 $\frac{3 π}{4}$

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11、如图所示，矩形 $O^{'} A^{'} B^{'} C^{'}$ 是水平放置一个平面图形的直观图，其中 $O^{'} A^{'} = 6, O^{'} C^{'} = 2$ ，则原图形是（）

A、正方形 B、矩形 C、菱形 D、梯形

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12、若平面向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b} = (1, - 1)$ 方向相反，且 $| \vec{a} | = 2 \sqrt{2}$ ，则 $\vec{a} =$ （　　）

A、 $(- \sqrt{2}, \sqrt{2})$ B、 $(\sqrt{2}, - \sqrt{2})$ C、 $(- 2, 2)$ D、 $(2, - 2)$

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13、已知函数 $f (x) = 2 sin x cos x - 2 \sqrt{3} {cos}^{2} x + \sqrt{3} .$

(1)、求 $f (x)$ 的最小正周期；

(2)、求 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{4}, \frac{π}{4}]$ 上的最大值和最小值.

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14、已知函数 $f (x) = ln x - a x^{2} + (2 - a) x (a \in R)$ ．

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $f (x)$ 恰有两个零点 $x_{1}, x_{2}$ ，且 $x_{1} < x_{2}$
（i）求 $a$ 的取值范围；
（ii） $g (x) = f (x) - k (x^{2} - \frac{2}{a} x)$ 在定义域内单调递增，求 $k$ 与 $a$ 的函数关系式．

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15、甲、乙两人进行比赛，采用三局两胜制，即先胜两局者获胜，比赛结束.已知甲第一局获胜的概率为 $\frac{1}{2}$ ，从第二局开始，若甲上一局获胜，则该局甲获胜的概率为 $\frac{2}{3}$ ，若甲上一局失败，则该局甲获胜的概率为 $\frac{1}{4}$ ，且每局比赛没有平局．

(1)、求第二局比赛甲获胜的概率；

(2)、设比赛结束甲获胜的局数为X，求X的分布列和数学期望．

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16、已知 ${(x + \frac{1}{2 \sqrt[3]{x}})}^{n}$ 的展开式中，第五项的二项式系数是第三项的系数的4倍，求：

(1)、求 $n$ 的值；

(2)、求展开式中二项式系数最大的项；

(3)、求展开式中所有的有理项．

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17、已知等比数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} + a_{2} = 3$ ， $a_{4} + a_{5} = 24$ .

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = a_{n} + 3 n$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

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18、如图，一块边长为6cm的正方形铁片上有四块全等的阴影部分.将这些阴影部分裁下来，然后用余下的四个全等的等腰三角形拼凑成一个正四棱锥形容器（不考虑铁片的损耗），则该容器容积（忽略铁片的厚度）的最大值为 ${cm}^{3}$ .

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19、已知 ${(2 x - 1)}^{6} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + a_{3} x^{3} + \dots + a_{6} x^{6}$ ，则 $a_{0} + a_{1} + a_{2} + a_{3} + \dots + a_{6} =$ ．

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20、为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则（）

A、课程“射”“御”排在不相邻两周，共有240种排法 B、课程“礼”“乐”“射”排在相邻的三周，共有144种排法 C、课程“礼”排在“乐”的后面（可以不相邻），共有360种排法 D、课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，共有528种排法

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