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相关试卷

1、2024年巴黎奥运会上，网球女单决赛中，中国选手郑钦文击败克罗地亚选手维基奇获得中国在该项目上首枚金牌！展现了祖国至上，为国争光的赤子情怀．已知网球比赛为三局两胜制，在郑钦文与维基奇的单局比赛中，郑钦文获胜的概率为 $p$ ，且每局比赛相互独立．

(1)、在此次决赛之前，两人交手记录为2021年库马约尔站：郑钦文0比2不敌维基奇；2023年珠海WTA超级精英赛：郑钦文以2比1战胜维基奇．若用这两次交手共计5局比赛记录来估计 $p$ ．
（ⅰ） $p$ 为多少？
（ⅱ）请利用上述数据，若郑钦文再次遇到维基奇，求比赛局数 $X$ 的分布列．

(2)、如果比赛可以为五局三胜制，若使郑钦文在五局三胜制中获胜的概率大于三局两胜制中获胜的概率，求 $p$ 的取值范围？

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2、已知函数 $f (x) = x - \frac{2 a}{x} - (a + 2) ln x$ ， $a \in R$ ．

(1)、当 $a = - 1$ 时，求 $f (x)$ 在 $[1, e]$ 上的最值；

(2)、讨论 $f (x)$ 的单调性．

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3、某袋中装有大小相同质地均匀的6个球，其中4个白球和2个红球．从袋中随机一次取出3个球．

(1)、求至少有一个红球的概率；

(2)、记取出白球的个数为 $X$ ，求 $X$ 的概率分布、数学期望 $E (X)$ 和方差 $D (X)$ ．

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4、直线 $y = k x + b$ 与曲线 $y = f (x)$ 相切也与曲线 $y = g (x)$ 相切，则称直线 $y = k x + b$ 为曲线 $y = f (x)$ 和曲线 $y = g (x)$ 的公切线，已知函数 $f (x) = a x^{2}$ ， $g (x) = ln x$ ，其中 $a \neq 0$ ，若曲线 $y = f (x)$ 和曲线 $y = g (x)$ 的公切线有两条，则 $a$ 的取值范围为．

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5、在某人工智能的语音识别系统开发中，每次测试语音识别成功的概率受环境条件（安静或嘈杂）的影响．已知在安静环境下，语音识别成功的概率为0.96；在嘈杂环境下，语音识别成功的概率为0.6．某天进行测试，已知当天处于安静环境的概率为0.25，处于嘈杂环境的概率为0.75，则该天测试结果为语音识别成功的概率为．

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6、如果随机变量 $X ～ N (2, σ^{2})$ ，且 $P (X \leq 4) = 0.7$ ，那么 $P (X \leq 0)$ 的值为．

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7、已知随机事件 $A, B$ 满足： $P (A) = \frac{1}{2}$ ， $P (B) = \frac{1}{3}$ ，则下列选项正确的是（）

A、若 $P (B |A) = \frac{1}{2}$ ，则 $P (A B) = \frac{1}{4}$ B、若 $A$ 与 $B$ 相互独立，则 $P (A \bar{B}) = \frac{1}{6}$ C、若 $A$ 与 $B$ 互斥，则 $P (\bar{A} B) = \frac{1}{6}$ D、若 $P (\bar{A}) P (B |\bar{A}) = \frac{1}{12}$ ，则 $P (B |A) = \frac{1}{2}$

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8、现有4个编号为 $1, 2, 3, 4$ 的不同的球和4个编号为 $1, 2, 3, 4$ 的不同的盒子，把球全部放入盒子内，则下列说法正确的是（）

A、共有24种不同的放法 B、恰有一个盒子不放球，共有144种放法 C、每个盒子内只放一个球，恰有1个盒子的编号与球的编号相同，不同的放法有8种 D、将4个不同的球换成相同的球，恰有一个空盒的放法有12种

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9、已知函数 $f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 1$ ，下列说法正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 的极大值是1 B、函数 $f (x)$ 有三个零点 C、函数 $f (x)$ 的单调递增区间为 $(- \infty, 0) \cup (2, + \infty)$ D、函数 $f (x)$ 的图象关于点 $(1, - 1)$ 对称

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10、如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在用6种颜色给5个小区域（ $A, B, C, D, E$ ）涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法有（）

A、480种 B、720种 C、1080种 D、1560种

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11、函数 $f (x) = ln 2 x + \frac{a}{x} + 2 x$ 存在大于1的极值点，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $a < 3$ B、 $a > 3$ C、 $a < \frac{5}{2}$ D、 $a > \frac{5}{2}$

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12、 $(1 + x) + {(1 + x)}^{2} + \cdot \cdot \cdot + {(1 + x)}^{10}$ （ $x \neq - 1$ 且 $x \neq 0$ ）展开式中的 $x^{2}$ 系数为（）

A、45 B、55 C、120 D、165

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13、设 $k$ 为实数，若随机变量 $X$ 的分布列为 $P (X = i) = \frac{i}{2 k}$ $(i = 1, 2, 3, 4)$ ，则 $P (X = 2) =$ （）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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14、投掷一枚质地均匀骰子，当出现2点或3点时，就说这次试验成功，每次试验相互独立，则在90次试验中成功次数 $X$ 的均值是（）

A、15 B、30 C、45 D、60

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15、已知 $f (x) = x ln x + 1$ ，则 $f^{'} (1) =$ （）

A、 $- 1$ B、1 C、 $- 2$ D、2

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16、 $10 \times 9 \times \cdot \cdot \cdot \times 5 =$ （）

A、 $A_{10}^{4}$ B、 $A_{10}^{5}$ C、 $A_{10}^{6}$ D、 $A_{10}^{7}$

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17、已知函数 $f (x) = x^{2} + a x + \frac{1}{4}$ ， $g (x) = ln x .$

(1)、若函数 $f (x)$ 在R上恒大于0，求实数a的范围；

(2)、若函数 $y = g (f (x))$ 在 $(1, + \infty)$ 上单调递增，求实数a的取值范围；

(3)、用 $max {m, n}$ 表示m，n中的最大值，设函数 $h (x) = max {f (x) g (x)}, x \in (0, + \infty)$ ，试讨论 $h (x)$ 的图象与x轴的交点个数.

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18、已知角 $α$ 的顶点在原点，始边与 $x$ 轴的正半轴重合，终边经过点 $P (4, - 3)$ .

(1)、求 $\sin α, \cos α, \tan α$ 的值；

(2)、求 $\frac{2 \sin (π - α) + \sin (α + \frac{π}{2}) \tan (π - α)}{\sin (\frac{3π}{2} - α) + \cos (\frac{π}{2} + α)}$ 的值.

(3)、已知 $\sin θ + \cos θ = \frac{1}{5}$ ， $θ$ 为第二象限角，求 $\sin θ - \cos θ$ 的值.

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19、已知集合 $A = \{x |x^{2} - 2 x - 8 < 0\}$ ， $B = \{x |a - 3 \leq x \leq 2 a + 1\}$ .

(1)、当 $a = 0$ 时，求 $A \cap B$ ；

(2)、若 $A \cup B = A$ ，求a的取值范围.

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20、函数 $f (x) = x^{- \frac{2}{3}}$ 的单调减区间为

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