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相关试卷

1、记正项数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，已知 $a_{1} = 2$ ，．
从① $S_{n} = \frac{n^{2} + 3 n}{2}$ ；② $\frac{a_{n + 1}}{a_{n}} = \frac{n + 2}{n + 1}$ ；③ $a_{n + 1}^{2} - a_{n}^{2} = a_{n + 1} + a_{n}$ 这三个条件中选一个补充在上面的横线处，并解答下面的问题：

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、求数列 $\{\frac{1}{a_{n} (a_{n} - 1)}\}$ 的前n项的和 $T_{n}$ ，求证： $T_{n} < 1$ ．

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2、如图，一张长桌上，左侧有m只蚂蚁，右侧有n只蚂蚁 $(m, n \in N^{*})$ ，它们排成一条直线相向爬行（方向如图中箭头所示）.爬行规则如下：
①如果两只蚂蚁迎面碰到，会立刻调头反向爬行；
②当蚂蚁爬到桌面边缘时，会从桌面掉落.
当桌面上所有蚂蚁都掉落之后，记所有蚂蚁碰头的总次数为 $f (m, n)$ .则 $f (1, 2) =$ ；若 $f (m, n) = 12$ ，写出满足条件的一组 $(m, n)$ 为.

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3、若 $3$ 是函数 $f (x) = (x - 2) (x - 3) (x - a)$ 的一个极值点，则 $f (0) =$ .

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4、已知 ${(x^{2} - \frac{1}{x})}^{n}$ 的展开式中 $x^{2}$ 的系数为6，则（）

A、 $C_{n}^{2} > C_{n}^{3}$ B、展开式中各二项式系数之和为16 C、展开式中第4项为 $- 4 x$ D、展开式中不含常数项

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5、已知定义在 $(0, + \infty)$ 上的函数 $f (x)$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ ，若 $f^{'} (x) < 2 x$ ，且 $f (5) = 3$ ，则不等式 $f (2 x - 1) + 4 x > 4 x^{2} - 21$ 的解集是（）

A、 $(- \infty, 3)$ B、 $(3, + \infty)$ C、 $(0, 3)$ D、 $(\frac{1}{2}, 3)$

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6、若存在 $x \in (- 2, - 1)$ ，使得不等式 $x^{2} - k x + 2 > 0$ 成立，则实数k的取值范围为（）

A、 $(- 2 \sqrt{2}, + \infty)$ B、 $(- \infty, - 2 \sqrt{2})$ C、 $(- 3, + \infty)$ D、 $[- 3, + \infty)$

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7、某航天科研所的甲、乙、丙、丁、戊5位科学家应邀去 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 三所不同的学校开展科普讲座活动，要求每所学校至少1名科学家．已知甲、乙到同一所学校，丙不到 $A$ 学校，则不同的安排方式有多少种（）

A、12种 B、24种 C、36种 D、30种

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8、函数 $f (x) = x^{5} - \frac{m}{x} (m > 0)$ 的图像可能是（）

A、 B、 C、 D、

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9、已知函数 $f (x) = x^{2} + e^{x}$ ，则 $lim_{Δ x \to 0} \frac{f (1 - Δ x) - f (1)}{Δ x} =$ （）

A、 $2 e$ B、 $3 e$ C、 $- 2 - e$ D、 $2 + e$

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10、在 ${(1 + 3 x)}^{5}$ 展开式中， $x^{2}$ 的系数为（）

A、405 B、270 C、150 D、90

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11、下列求导结果正确的是（）

A、 ${(\frac{e^{x}}{x})}^{'} = \frac{e^{x} (x - 1)}{x^{2}}$ B、 ${(\cos x)}^{'} = \sin x$ C、 ${(x \ln x)}^{'} = \ln x + \frac{1}{x}$ D、 ${(\sin 3)}^{'} = \cos 3$

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12、在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $c (a cos B + b cos A) = 4$ ， $2 a sin B = 3 b sin C$ ， $b = 4$ ．

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、求 $sin B$ 的值；

(3)、求 $cos (2 B + C)$ 的值．

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13、如图，某建筑物 $A C$ 顶部有一旗杆 $A B$ ，且点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 在同一条直线上，小明在地面 $D$ 处观测旗杆顶端 $B$ 的仰角为 $30^{\circ}$ ，然后他正对建筑物的方向前进了20米到达地面的 $E$ 处，又测得旗杆顶端 $B$ 的仰角为 $60^{\circ}$ ，已知建筑物 $A C$ 高度为12米.

(1)、求点 $E$ 到建筑物 $A C$ 的距离；

(2)、求旗杆 $A B$ 的高度.

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14、已知函数 $f (x) = \sqrt{3} \sin ω x \cdot \cos ω x - \cos^{2} ω x (ω > 0)$ 的周期为 $\frac{π}{2}$ .
（1）求 $ω$ 的值.
（2）求函数 $f (x)$ 的单调递增区间.

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15、已知向量 $\vec{a} = (1, 2)$ ， $\vec{b} = (x, 3)$

(1)、若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，求 $x$ 的值；

(2)、当 $x = 2$ 时，求 $|\vec{a} + \vec{b}|$ ；

(3)、若向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 夹角为锐角，求 $x$ 的取值范围

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16、已知在平行四边形 $A B C D$ 中， $A (1, 2)$ ， $B (5, 0)$ ， $C (3, 4)$ .

(1)、求点 $D$ 的坐标；

(2)、试判断平行四边形 $A B C D$ 是否为菱形.

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17、已知 $\vec{a} = (4, 2)$ ，则与 $\vec{a}$ 垂直的单位向量的坐标为．

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18、 $tan \frac{3 π}{4} + sin \frac{π}{6} + cos \frac{π}{3} =$ .

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19、已知函数 $f (x) = A sin (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, - \frac{π}{2} < φ < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，则（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ B、当 $x \in [- \frac{π}{4}, \frac{π}{4}]$ 时， $f (x)$ 的值域为 $[- \frac{\sqrt{3}}{2}, 1]$ C、将函数 $f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度可得函数 $g (x) = - sin 2 x$ 的图象 D、将函数 $f (x)$ 的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的函数图象关于点 $(\frac{5 π}{6}, 0)$ 对称

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20、下列等式成立的是（）

A、 $\cos 40 ° \cos 20 ° - \sin 40 ° \sin 20 ° = \frac{1}{2}$ B、 $\sin 15 ° \cos 15 ° = \frac{1}{2}$ C、 $\frac{1 + \tan 15 °}{1 - \tan 15 °} = \sqrt{3}$ D、 $\sin^{2} \frac{π}{8} - \cos^{2} \frac{π}{8} = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

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