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相关试卷

1、复数 $\frac{i}{2 + i}$ 的共轭复数为（）

A、 $\frac{1 + 2 i}{5}$ B、 $\frac{1 - 2 i}{5}$ C、 $1 + 2 i$ D、 $1 - 2 i$

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2、若函数 $y = f (x)$ 和 $y = g (x)$ 的定义域均为 $R$ ，且对任意两个不同的实数 $a$ ， $b$ 均有 $f (a) + g (b) > 0$ 或 $f (b) + g (a) > 0$ 成立，则称 $y = f (x)$ 和 $y = g (x)$ 为一对相关函数．

(1)、判断函数 $f (x) = x + 2$ ， $g (x) = - x + 2$ ， $h (x) = x^{2} - 1$ 中有多少对相关函数并列出（无需说明理由）；

(2)、已知函数 $f (x) = x^{2}$ 和 $g (x) = - 2 x + k$ 是一对相关函数，求实数 $k$ 的取值范围；

(3)、小菲说：“对任何一对相关函数 $y = f (x)$ 和 $y = g (x)$ ，只要存在正实数 $M$ 使得 $|f (x)| \leq M$ 对任意实数 $x$ 恒成立，我都一定能找到一个正整数 $N$ 使得对任意 $x \in [N, N + 1]$ 均有 $f (x) + g (x) \geq - \frac{1}{2026}$ ． ”请判断小菲说法的正误并进行证明．

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3、已知向量 $\vec{a} = (2 \cos x, \sin x + \sqrt{2} \sin θ)$ ， $\vec{b} = (2 \sin x, - \cos x + \sqrt{2} \cos θ)$ .

(1)、若 $\vec{a} // \vec{b}$ ，求 $\cos (x + θ)$ ；

(2)、若 $θ = \frac{π}{4}$ ，函数 $f (x) = \vec{a} \cdot \vec{b} (x \in [0, π])$ ；
（i）当 $f (x)$ 取最小值时，求与 $\vec{a} + \vec{b}$ 垂直的单位向量 $\vec{c}$ 的坐标.
（ii）讨论 $y = f (x) - 2$ 的零点个数.

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4、已知 $f (x) = \sin (ω x - \frac{π}{6})$ （其中 $ω > 0$ ），相邻两个对称中心之间的距离为 $\frac{π}{2}$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式及其对称轴；

(2)、求不等式 $2 f (x) - \sqrt{3} \geq 0$ 的解集；

(3)、若关于 $x$ 的方程 ${[f (x)]}^{2} - 9 m \cdot f (x) + \frac{3}{4} = 0$ 在 $[\frac{π}{12}, \frac{π}{2}]$ 上有四个不相等的实数根，求实数m的取值范围．

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5、已知二次函数 $f (x)$ ，满足当 $x = 3$ 时， $f (x)$ 取得最大值5，且 $f (0) = - 4$ ．

(1)、求二次函数 $f (x)$ 的表达式；

(2)、若 $x \in [t, t + 4]$ ，求函数 $f (x)$ 的最大值 $h (t)$ ．

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6、已知函数 $f (x) = - x^{2} - 4 x - 5$ ， $g (x) = x + \frac{1}{x}$ （ $x > 0$ ），若存在实数 $m$ ， $n$ ，使得 $f (m) - g (n) \geq - 3$ 成立，则 $m - n =$ ．

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7、已知 $△ A B C$ 的角A，B，C对应的边为a，b，c，且 $\sin^{2} B + \sin^{2} C - \sin^{2} A = \sqrt{2} \sin B \sin C$ ，则 $A =$ ．

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8、将边长为 2 的正方形 $A B C D$ 沿对角线 $A C$ 折起，使折起后 $B D = \sqrt{6}$ ，则二面角 $B - A C - D$ 的大小为.

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9、如图，在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A D = A A_{1} = 1, A B = 2$ ，点 $P$ 是棱 $A A_{1}$ 上的动点（不含端点），过点 $D_{1}, B, P$ 作长方体的截面，并将长方体分成上下两部分，体积分别为 $V_{1}, V_{2}$ ，则（）

A、截面是平行四边形 B、若 $\frac{A_{1} P}{P A} = \frac{2}{3}$ ，则 $\frac{V_{1}}{V_{2}} = \frac{2}{3}$ C、存在点 $P$ ，使得截面为长方形 D、截面的面积存在最小值 $\frac{2 \sqrt{30}}{5}$

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10、已知函数 $f (x) = 3 \cos (2 x - \frac{π}{4})$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 的最大值是 $3$ ，最小值是 $- 3$ B、 $f (x)$ 两个相邻的对称轴之间的距离为 $π$ C、 $f (x)$ 的图象关于点 $(\frac{3 π}{8}, 0)$ 对称 D、将 $f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{4}$ 个单位长度后得到的函数是奇函数

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11、已知函数 $f (x) = \frac{9^{x} + a}{3^{x}}$ ，则下列说法正确的是（）

A、若 $f (x)$ 是偶函数，则 $a = 1$ B、若 $f (x)$ 是奇函数，则 $a = - 1$ C、若 $f (x) > 0$ ，则a的取值范围为 $(0, + \infty)$ D、若 $a > 0$ ，则 $f (x)$ 的最小值为 $2 \sqrt{a}$

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12、枣庄青檀寺历史悠久、风景秀丽，寺内有塔，相传民族英雄岳飞曾因得眼疾来此养病，所以也有岳飞养眼楼之称，如图1.某数学兴趣小组成员为测量该塔的高度，在塔底O的同一水平面上的A，B两点处进行测量，如图2.已知在A处测得塔顶P的仰角为 $60^{\circ}$ ，在B处测得塔顶P的仰角为 $45^{\circ}$ ， $A B = 30$ 米， $∠ A O B = 30 °$ ，则该塔的高度 $O P =$ （）

A、 $30 \sqrt{2}$ 米 B、 $30 \sqrt{3}$ 米 C、 $25$ 米 D、 $30 \sqrt{6}$ 米

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13、如图，三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，点E，F，G，H分别为 $B B_{1}$ ， $C C_{1}$ ， $A_{1} B_{1}$ ， $A_{1} C_{1}$ 的中点，则下列说法错误的是（）．

A、E，F，G，H四点共面 B、 $A A_{1}$ 与 $G H$ 是异面直线 C、 $E G$ ， $F H$ ， $A A_{1}$ 三线共点 D、 $∠ E G H = ∠ F H G$

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14、已知 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的函数， $f (x + 2) = f (x + 1) - f (x)$ ，当 $0 \leq x < 6$ 时， $f (x) = 5 - 2 x$ ，则 $f (7) =$ （）

A、 $- 3$ B、 $- 1$ C、1 D、3

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15、已知 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 所对的边分别是 $a, b, c$ ，若 $a = 1, A = 135^{\circ}$ ，则 $\frac{b + 2 c}{sin B + 2 sin C}$ 的值为（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$

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16、若 $z = \frac{3 + i}{2 - i}$ ，则复数 $z$ 的虚部为（）

A、 $i$ B、 $1$ C、 $- i$ D、 $- 1$

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17、已知集合 $U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}$ ，集合 $A = {2, 4, 5}$ ，集合 $B = {1, 3, 5, 7}$ ，则 $(∁_{U} A) \cap (∁_{U} B) =$ （）

A、 ${6, 8}$ B、 ${6}$ C、 ${8}$ D、 ${1, 6, 8}$

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18、如图，在三棱锥 $A - B C D$ 中， $∠ A C D = ∠ B D C = \frac{π}{2}$ ， $A C = B D = 1$ ， $C D = x$ ，记二面角 $A - C D - B$ 的大小为 $θ$ ， $M$ ， $N$ 分别为 $A D$ ， $B C$ 的中点．

(1)、求证： $C D ⊥ M N$ ；

(2)、用 $x$ ， $θ$ 表示三棱锥 $M - C D N$ 的体积；

(3)、设在三棱锥 $A - B C D$ 内有一个半径为 $r$ 的球， $0 < x \leq 2$ ，且 $θ = x$ ，求证： $r < \frac{1}{4}$ ．

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19、经过原点 $O$ 的直线与圆 $M$ ： ${(x + 1)}^{2} + y^{2} = 4$ 相交于 $A$ ， $B$ 两点，过点 $C (1, 0)$ 且与 $A B$ 垂直的直线与圆 $M$ 的另一个交点为 $D$ ．

(1)、当点B的坐标为 $(- 1, - 2)$ 时，求直线 $C D$ 的方程；

(2)、记点 $A$ 关于 $x$ 轴的对称点为 $F$ （异于点 $A$ ， $B$ ），求证：直线 $B F$ 恒过 $x$ 轴上的一个定点；

(3)、求四边形 $A B C D$ 的面积 $S$ 的取值范围．

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20、如图，在平面四边形 $A B C D$ 中， $A B = \sqrt{2}, B C = \sqrt{3}, A C ⊥ C D$ ，且 $A C = C D$ .

(1)、若 $cos ∠ B A C = \frac{3 \sqrt{2}}{8}$ ，求 $A C$ ；

(2)、求四边形 $A B C D$ 面积的最大值.

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