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相关试卷

1、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的离心率为 $\sqrt{3}, C$ 的一条渐近线与圆 ${(x - \sqrt{2})}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 1$ 交于 $A, B$ 两点，则 $| A B | =$ ．

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2、若 $(1 + 5 x) {(1 + x)}^{2026} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{2027} x^{2027}$ ，则 $a_{2} + a_{4} + a_{6} + \dots + a_{2026} =$ ．

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3、已知定义在 $(0, + \infty)$ 上的函数 $f (x)$ 满足： $f (x + 1) = 2 f (x) + [x]$ ，其中[x]表示不超过 $x$ 的最大整数．当 $x \in (0, 1]$ 时， $f (x) = x \ln x$ ，设数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n} = f (n)$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 为 $f (x)$ 从小到大第n个极小值点构成的数列，下列说法正确的是（）

A、数列 $\{a_{n} + n + 1\}$ 为等比数列 B、 $\exists k \in N^{*}$ ，使得 $a_{k} > 2^{k} - 2$ C、数列 $\{b_{n}\}$ 的通项公式 $b_{n} = n - 1 + \frac{1}{e}$ D、 $\forall n \in N^{*}$ ，都有 $f (b_{n}) < 0$

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4、在当今科技迅速发展的时代，人工智能（AI）已经成为科技创新的核心驱动力．当前AI正处于从生成式向智能体跃进的关键阶段，同时也面临着算力、数据、安全与可解释性等核心难题．某公司成立了甲、乙、丙三个科研攻关小组，决定对其中某个技术难题进行技术攻关，攻克该技术难题的小组都会受到奖励．已知甲、乙、丙三个小组各自独立进行科研攻关，且攻克该技术难题的概率分别为 $\frac{1}{3}, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}$ ，则（）

A、只有一个小组受到奖励的概率等于 $\frac{1}{4}$ B、技术难题被攻克的概率为 $\frac{3}{4}$ C、只有甲、丙小组受到奖励的概率为 $\frac{1}{2}$ D、甲、乙、丙三个小组均受到奖励的概率为 $\frac{1}{24}$

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5、如图，在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ 为 $A_{1} D$ 上的动点，则下列结论正确的是（）

A、 $A_{1} D //$ 平面 $B_{1} C D_{1}$ B、正方体外接球体积为 $4 \sqrt{3} π$ C、存在一点 $E$ ，使得直线CE与平面 $A D D_{1} A_{1}$ 所成的角为 $\frac{π}{3}$ D、 $E$ 到平面 $B_{1} D_{1} C$ 的距离为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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6、已知定义在 $R$ 上的函数 $y = f (x)$ ，满足以下两个条件：（1） $f (x) > 0$ 对任意 $x \in R$ 恒成立，且 $f (1) = 1$ ；（2）对任意 $x_{1}, x_{2} \in R$ 都有 $f (x_{1} + 2 x_{2}) = 4 f (x_{1}) \cdot f^{2} (x_{2})$ ，则下列关于函数 $y = f (x)$ 的表述中正确的个数为（）
① $f (0) = \frac{1}{2}$ ；② $f (- 1) = \frac{1}{4}$ ；③函数 $y = f (x)$ 有最小值；④函数 $y = f (x)$ 有最大值．

A、4 B、3 C、2 D、1

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7、如图，在等边三角形ABC中， $A B = 6$ ，点 $O$ 是靠近 $B$ 的三等分点，过 $O$ 的直线分别交射线AB，AC于不同的两点M，N， $\vec{A B} = m \vec{A M}, \vec{A C} = n \vec{A N}$ ，则下列选项中不正确的是（）

A、 $\vec{A O} = \frac{2}{3} \vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{A C}$ B、 $\cos ∠ A O C = \frac{\sqrt{7}}{21}$ C、 $2 m + n = 3$ D、 $\frac{1}{m} + \frac{2}{n}$ 的最小值是 $\frac{8}{3}$

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8、圆 $C : {(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 4$ 上的点到直线 $l : x + a y + 2 a + 2 = 0$ 距离的最大值是（）

A、7 B、5 C、3 D、2

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9、 $△ A B C$ 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知角B，C满足： $2 \sin B - \sin C = 0$ ， $2 \cos B + 5 \cos C = 0$ ，则 $\cos C$ 的值是（）

A、 $- \frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $- \frac{\sqrt{2}}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$

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10、 $\sqrt{x (6 - x)}$ 的最大值是（）

A、9 B、3 C、18 D、6

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11、已知 $sin α = \frac{3}{5}, cos β = - \frac{12}{13}, α \in (\frac{π}{2}, π), β \in (π, \frac{3 π}{2})$ ，则 $cos (α - β)$ 的值是（）

A、 $\frac{63}{65}$ B、 $- \frac{63}{65}$ C、 $- \frac{33}{65}$ D、 $\frac{33}{65}$

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12、已知复数 $z = \frac{1 + i}{1 - i}$ ，则 $z$ 的虚部是（）

A、 $1$ B、 $- 1$ C、 $i$ D、 $- i$

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13、已知 $A = {x \in Z ∣ - 3 < 2 x - 1 < 11}, B = {x ∣ 2 \leq x < 7}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${x ∣ 2 \leq x < 6}$ B、 ${x ∣ - 1 \leq x < 7}$ C、 ${0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}$ D、 ${2, 3, 4, 5}$

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14、已知函数 $f (x) = 2 sin x + sin 2 x .$

(1)、判断 $f (x)$ 是否为周期函数，并说明理由；

(2)、求 $f (x)$ 的最大值和最小值；

(3)、设 $n \in N^{*} ，$ 证明： $sin x + sin 2 x + sin 4 x + \dots + sin 2^{n} x \leq \frac{\sqrt{3}}{2} n + 1.$

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15、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ）的长轴长是短轴长的2倍，点 $P (2, 1)$ 在椭圆 $C$ 上，斜率为 $- \frac{1}{2}$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 相交于 $M$ ， $N$ 两点（异于点 $P$ ）．

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、若 $△ O M N$ 的面积为 $\sqrt{3}$ ，求直线 $l$ 的方程；

(3)、记直线 $P M$ 与 $P N$ 的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ，直线 $O M$ ， $O N$ 的斜率分别为 $k_{3}$ ， $k_{4}$ ，证明： $k_{1} k_{2} = k_{3} k_{4}$ ．

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16、如图，三棱锥 $D - A B C$ 的四个顶点均在半径为2的球O的球面上， $∠ A C B = 90^{\circ}, A D = C D$ ，点 $E, F$ 分别为棱 $A B, A C$ 的中点.

(1)、证明： $A C ⊥ D E$ ；

(2)、若 $A C = 2 \sqrt{2}, B C = 2$ ，三棱锥 $D - A B C$ 的体积为 $\frac{4 \sqrt{2}}{3}$ 时，求平面 $D B C$ 与平面 $D E F$ 所成角的余弦值.

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17、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n} = n^{2} (n \in N^{*})$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、令 $b_{n} = \frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前n项和 $S_{n}$ .

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18、现有5名学生站成一排，若学生甲不站两端，则不同站法共有种（用数字作答）.

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19、已知 $f (x) = {(2 x - 1)}^{100} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{100} x^{100}$ ，则下列描述正确的是（）

A、 $a_{1} + a_{2} + a 3 + \dots + a_{100} = 0$ B、 $f (x)$ 的展开式中，所有含 $x$ 的偶数次项的二项式系数和为 $2^{99}$ C、 $f (- 1)$ 被7整除所得的余数是4 D、 $a_{1} + 2 a_{2} + 3 a_{3} + \dots + 100 a_{100} = 100$

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20、设数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，已知 $a_{1} = \frac{2}{3}, a_{n + 1} = \frac{2 a_{n}}{a_{n} + 1}$ ，则（）

A、 $\{\frac{1}{a_{n}} + 1\}$ 为等比数列 B、 $a_{n} = 1 - \frac{1}{2^{n} + 1}$ C、 $S_{2026} > 2025$ D、 $S_{2026} < 2026$

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