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相关试卷

1、若球 $O$ 的半径为2， $A B$ 为直径， $O A$ 中点为P，则下列说法正确的是（）

A、球面上任意一点到P距离的最大值为3 B、过P作球O的截面，则截面面积的最小值是 $4 π$ C、若某正方体的外接球是球O，则点P到该正方体各面距离的最大值是 $1 + \frac{2}{3} \sqrt{3}$ D、若某正四面体的外接球是球O，则点P在该正四面体上的轨迹长度是 $\frac{8 \sqrt{5} π}{3}$

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2、已知点 $A (\sqrt{3}, 1), B (1, \sqrt{3})$ ，则以下说法正确的是（）

A、 $| \vec{O A} | = 4$ B、 $(\vec{O A} - \vec{O B}) ⊥ (\vec{O A} + \vec{O B})$ C、 $\vec{O A} \cdot \vec{O B} = 2 \sqrt{3}$ D、 $\vec{O A}$ 在 $\vec{O B}$ 上的投影向量是 $(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{3}{2})$

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3、如图，已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为1，点P是上底面 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 内的一个动点．设平面 $A D P$ 与平面 $B C P$ 的夹角为 $α$ ，平面 $A B P$ 与平面 $C D P$ 的夹角为 $β$ ，若 $α \geq β$ ，则下图中阴影部分表示P点轨迹的是（）

A、 B、 C、 D、

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4、如图是某函数 $f (x)$ 的部分图象，则该函数最有可能的解析式是（）

A、 $f (x) = \frac{\sin x}{x}$ B、 $f (x) = \sin x + x$ C、 $f (x) = x \cdot \cos x$ D、 $f (x) = \sin x + \sin 2 x$

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5、以下说法正确的是（）

A、 $a^{2} > a + 1$ B、 $a^{2} < a - 1$ C、 $\sin 1 \cdot \cos 1 < \frac{\sqrt{3}}{4}$ D、 $\sin 1 - \cos 1 < \frac{1}{3}$

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6、设样本空间 $Ω = {a, b, c, d}$ 含有等可能的样本点，且 $A = {a, b}, B = {a, c}, C = {a, d}$ ，则 $P (A B C) =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{8}$ D、 $\frac{1}{16}$

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7、某次测量中得到的 $A$ 样本数据如下：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88．若 $B$ 样本数据恰好是 $A$ 样本数据都加2后所得，则 $A 、 B$ 两样本的下列数字特征对应相同的是（）

A、众数 B、平均数 C、中位数 D、方差

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8、已知复数 $z = i (2 - i)$ ，则z在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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9、设集合 $A = \{- 2, 0, 2, 4, 6\}, B = \{x |0 < x \leq 4\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${- 2, 0, 2, 4}$ B、 ${0, 2, 4}$ C、 ${2, 4}$ D、 $(0, 4]$

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10、已知函数 $f (x) = {log}_{4} (4^{x} + 1) - m x$ 是偶函数．

(1)、求 $m$ 的值；

(2)、若 $g (x) = 4^{f (x)}$ ， $a > 0$ ， $b \in R$ ，不等式 $b \cdot g^{2} (x) - |a \cdot g (x) - b| + a \geq 0$ 对任意 $x \in [- \frac{1}{2}, 1]$ 恒成立，求 $\frac{b}{a}$ 的取值范围．

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11、如图，四棱锥 $P - A B C D$ 的底面是菱形，且 $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， E，F分别是棱PB，PC的中点.

(1)、求证： $E F //$ 平面PAD.

(2)、求证：平面 $P B D ⊥$ 平面PAC.

(3)、若 $A B = P A = \frac{\sqrt{2}}{2} P C$ ，求直线DF和平面PAB所成角的正弦值.

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12、中国新能源汽车产业发展势头迅猛，社会关注度持续增长.大数据显示，不同品牌的新能源汽车，其关注群体有不同的年龄分布.某网站面向关注新能源汽车的站内用户群体做了一个问卷调查，从关注品牌A的网友中随机抽取300人，并将他们按年龄分成了 $[15, 25)$ ， $[25, 35)$ ， $[35, 45)$ ， $[45, 55)$ ， $[55, 65]$ （单位：岁）这五组，并画出频率分布直方图如图所示.

(1)、求图中a的值和80%分位数（精确到小数点后一位）；

(2)、根据以上数据，估计该网站用户中关注新能源品牌A的网友的平均年龄.

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13、已知正实数x，y满足 $x + 2 y + \frac{2}{x} + \frac{1}{y} = 6$ ，则 $x y$ 的取值范围.

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14、已知正三角形ABC边长为12，点E为AB边的中点， $\vec{A C} = 3 \vec{A F}$ ，若点P是 $△ A B C$ 边上的动点，则满足 $\vec{P E} \cdot \vec{P F} = 60$ 的点P有个

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15、已知函数 $f (x) = \sin (ω x + φ)$ ，如图，A，B是直线 $y = \frac{1}{2}$ 与曲线 $y = f (x)$ 的两个交点，若 $|A B| = \frac{π}{6}$ ，则 $ω =$ .

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16、已知函数 $f (x)$ 是奇函数，当 $x < 0$ 时， $f (x) = x^{2} - 2 x$ ，则当 $x > 0$ 时， $f (x) =$ .

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17、已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ，棱长为1，点P是正方形 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 内的动点（包括正方形边界），则（）

A、若P到点 $A_{1}$ ， $C_{1}$ 距离相等，则P的轨迹是线段 $B_{1} D_{1}$ B、P到直线AB距离的最小值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、存在点P，使得二面角 $P - A B - C$ 的大小为 $\frac{π}{3}$ D、若P是 $A_{1} C_{1}$ 中点，则PA与平面ABCD所成角的正切值为 $\sqrt{2}$

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18、已知定义在R上的函数 $f (x)$ 满足 $f (x + 1) + f (x - 1) = 2$ ，且 $y = f (2 x + 1) + 2$ 为奇函数，则 $f (2025) =$ （）

A、4 B、 $- 4$ C、2 D、 $- 2$

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19、石墨烯纳米材料的制备过程中，需通过激光散射技术监测纳米颗粒的团聚程度.在团聚指数增长阶段，散射光强度达到检测阈值时，颗粒团聚体数量 $Y_{n}$ 与超声处理时间 $t$ （单位：分钟）满足 $\lg Y_{t} = t \lg (1 + k) + \lg Y_{0}$ ，其中 $Y_{0}$ 为初始颗粒数量， $k$ 为团聚速率常数.已知某样品经超声处理6分钟后，团聚体数量变为初始的100倍，则团聚速率常数 $k$ 约为（）（参考数据： $10^{\frac{1}{3}} \approx 2.154$ ， $10^{\frac{1}{4}} \approx 1.778$ ）

A、56.2% B、77.8% C、115.4% D、118.4%

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20、当 $0 < x < y < 1$ 时，下列不等式中正确的是（）

A、 ${(1 - x)}^{\frac{1}{y}} > {(1 - x)}^{y}$ B、 ${(1 + x)}^{x} > {(1 + y)}^{y}$ C、 ${(1 - x)}^{y} > {(1 - x)}^{\frac{y}{2}}$ D、 ${(1 - x)}^{x} > {(1 - y)}^{y}$

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