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相关试卷

1、已知实数 $x$ 、 $y$ 满足方程 ${(x - 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 1$ ，则下列说法正确的是（）

A、直线 $y = x$ 被圆截得的弦长为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $x^{2} + y^{2}$ 的最大值 $\sqrt{5} + 1$ C、 $\frac{y}{x}$ 的最大值为 $\frac{4}{3}$ D、 $y + x$ 的最大值为 $3 + \sqrt{2}$

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2、下列说法一定正确的是（）

A、过点 $(0, 1)$ 的直线方程为 $y = k x + 1$ B、直线 $x sin α - y cos α + 1 = 0$ 的倾斜角为 $α$ C、若 $a b > 0$ ， $b c < 0$ ，则直线 $a x + b y + c = 0$ 不经过第三象限 D、过 $(x_{1}, y_{1})$ 、 $(x_{2}, y_{2})$ 两点的直线方程为 $(y - y_{1}) (x_{2} - x_{1}) = (x - x_{1}) (y_{2} - y_{1})$

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3、已知平面 $α$ 与平面 $β$ 平行，若 $\vec{n} = (2, - 4, 8)$ 是平面 $β$ 的一个法向量，则平面 $α$ 的法向量可能为（）

A、 $(- 1, 2, - 4)$ B、 $(- 1, 2, 4)$ C、 $(2, 4, - 8)$ D、 $(- 2, 4, - 8)$

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4、已知向量 $\vec{a} = (1, 2, 1), \vec{b} = (2, 1, - 1)$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为（）

A、 $30 °$ B、 $45 °$ C、 $60 °$ D、 $120 °$

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5、若椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的右焦点坐标是 $(1, 0)$ ，长轴长是 $4$ ，则椭圆的标准方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{3} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{15} = 1$

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6、已知直线 $l$ 的倾斜角为 $120^{\circ}$ ，在 $y$ 轴上的截距是 $3$ ，则直线 $l$ 的方程为（）

A、 $y = \sqrt{3} x + 3$ B、 $y = - \sqrt{3} x - 3$ C、 $y = - \sqrt{3} x + 3$ D、 $y = \sqrt{3} x - 3$

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7、向量 $\vec{a} = (12 x - 1, 2, 4)$ ， $\vec{b} = (2, 1 - 2 y, 8)$ ，若 $\vec{a} // \vec{b}$ ，则（）

A、 $x = y = 1$ B、 $x = \frac{1}{2}$ ， $y = - \frac{1}{2}$ C、 $x = \frac{1}{6}$ ， $y = - \frac{3}{2}$ D、 $x = - \frac{1}{6}$ ， $y = \frac{2}{3}$

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8、已知点 $A (1, 2)$ 、 $B (- 3, 6)$ ，则过 $A$ 、 $B$ 两点的直线斜率为（）

A、 $- 1$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $1$ D、 $2$

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9、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C D, A D ⊥ C D, A D$ $∥$ $B C, P A = A D = C D = 2, B C = 3. E$ 为 $P D$ 的中点，点 $F$ 在 $P C$ 上，且 $\frac{P F}{P C} = \frac{1}{3}$ ，设点 $G$ 是线段 $P B$ 上（含端点）的一动点.

(1)、求证： $C D ⊥$ 平面 $P A D$ ；

(2)、设 $C G$ 与平面 $A E F$ 所成角为 $θ$ ，求 $\sin θ$ 的范围；

(3)、若 $\frac{P G}{P B} = \frac{2}{3}$ ，判断直线 $A G$ 是否在平面 $A E F$ 内，说明理由.

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10、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左､右顶点分别是 $A, B$ ，点 $P (2, 3)$ 在双曲线 $C$ 上，且直线 $P A, P B$ 的斜率之积为3.

(1)、求双曲线 $C$ 的方程；

(2)、过 $T (\sqrt{2}, 0)$ 且斜率不为0的直线 $l$ 与双曲线 $C$ 交于 $D, E$ 两点， $O$ 为坐标原点，证明 $\vec{O D} \cdot \vec{O E}$ 为定值，并求出该定值.

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11、已知圆 $C$ 的圆心在直线 $l : x - 3 y + 1 = 0$ 上，且过点 $(2, 4), (5, 1)$ .

(1)、求圆 $C$ 的方程；

(2)、已知点 $P (x_{0}, y_{0})$ 是圆 $C$ 上的一点，求 $x_{0} + 2 y_{0}$ 的取值范围；

(3)、已知直线 $n : a x + b y - a - 2 b = 0$ 与圆 $C$ 交于 $A, B$ 两点，求 $|A B|$ 的最小值.

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12、已知点 $P (- 1, 2)$ 是抛物线 $C : y^{2} = - 2 p x (p > 0)$ 上一点，点 $F$ 是抛物线 $C$ 的焦点， $M, N$ 为 $C$ 上异于 $P$ 的两动点，且 $P M ⊥ P N$ ，则 $|M F| + |N F|$ 的最小值为.

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13、一条光线从 $A (- 2, 3)$ 射出，经过 $x$ 轴反射后，与圆 $C : x^{2} + y^{2} - 6 x - 4 y + 12 = 0$ 相切，则反射光线所在直线的方程为.（写出一条即可）

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14、已知直线 $l$ 的方向向量为 $(2, m, 1)$ ，平面 $α$ 的法向量为 $(- 3, 2, 2)$ ，且 $l$ $//$ $α$ ，则 $m =$ .

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15、如图，已知 $a, b$ 是相互垂直的两条异面直线，直线 $A B$ 与直线 $a, b$ 相交且垂直，垂足为 $A, B$ ，且线段 $|A B| = 2 \sqrt{3}$ ，动点 $P, Q$ 分别位于直线 $a, b$ 上，若直线 $P Q$ 与 $A B$ 所成的角 $θ = \frac{π}{6}$ ，线段 $P Q$ 的中点为 $M$ ，则以下结论正确的有（）

A、 $P Q$ 的长度为定值4 B、三棱锥 $A - B P Q$ 的体积为定值 C、点 $M$ 的轨迹是圆 D、直线 $M B$ 与 $A B$ 所成的角为定值

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16、在空间直角坐标系 $O x y z$ 中，点 $P (1, - 2, 10)$ 关于 $O x y$ 平面的对称点为（）

A、 $(1, - 2, - 10)$ B、 $(- 1, 2, 10)$ C、 $(- 2, 1, - 10)$ D、 $(- 1, 2, - 10)$

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17、如图所示，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点 $P (x, y)$ 绕坐标原点 $O$ 逆时针旋转角 $θ$ 至点 $P^{'} (x^{'}, y)$ .

(1)、试证明点的旋转坐标公式： $\{\begin{array}{l} x^{'} = x cos θ - y sin θ, \\ y^{'} = x sin θ + y cos θ \end{array}$ ；

(2)、设 $θ \in (0, 2 π)$ ，点 $P_{0} (0, - 1)$ 绕坐标原点 $O$ 逆时针旋转角 $θ$ 至点 $P_{1}$ ，点 $P_{1}$ 再绕坐标原点 $O$ 逆时针旋转角 $θ$ 至点 $P_{2}$ ，且直线 $P_{1} P_{2}$ 的斜率 $k = - 1$ ，求角 $θ$ 的值；

(3)、试证明方程为 $x^{2} + \sqrt{3} x y = 6$ 的曲线 $C$ 是双曲线，并求其焦点坐标.

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18、已知双曲线 $C$ 的渐近线方程为 $\sqrt{3} x \pm y = 0$ ，过右焦点 $F (2, 0)$ 且斜率为 $k$ 的直线 $l$ 与 $C$ 相交于 $A$ 、 $B$ 两点. 点 $B$ 关于 $x$ 轴的对称点为点 $E$ .

(1)、求双曲线 $C$ 的方程：

(2)、求证：直线 $A E$ 恒过定点，并求出定点的坐标；

(3)、当 $k \geq 2$ 时，求 $△ A E F$ 面积的最大值.

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19、如图，在斜三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $△ A B C$ 是边长为2的等边三角形，侧面 $B C C_{1} B_{1}$ 为菱形， $∠ B B_{1} C = 60^{\circ}, A B_{1} = 3$ .

(1)、求证： $B_{1} C_{1} ⊥ B_{1} A$ ；

(2)、若 $P$ 为侧棱 $B B_{1}$ 上（包含端点）一动点，求直线 $P C_{1}$ 与平面 $A C C_{1} A_{1}$ 所成角的正弦值的取值范围.

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20、已知点 $P$ 、 $Q$ 的坐标分别为 $(- 2, 0)$ 、 $(2, 0)$ 直线 $P M$ 、 $Q M$ 相交于点 $M$ ，且它们的斜率之积是 $- \frac{1}{4} .$

(1)、求点 $M$ 的轨迹方程；

(2)、若直线 $A B$ 与点 $M$ 的轨迹交于 $A B$ 两点，且 $O A ⊥ O B$ ，其中点 $O$ 是坐标原点. 试判断点 $O$ 到直线 $A B$ 的距离是否为定值. 若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.

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