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相关试卷

1、已知向量 $\vec{a} = (5, 9, 1), \vec{b} = (2, 1, 1)$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量的模为.

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2、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ， $P$ 是 $C$ 上任意一点，则下列结论正确的是（）

A、若存在点 $P$ ，使得 $∠ F_{1} P F_{2} = \frac{π}{2}$ ，则椭圆 $C$ 的离心率的取值范围为 $(0, \frac{\sqrt{2}}{2}]$ B、若存在点 $P$ ，使得 $| O P | = \frac{a}{2}$ ，则椭圆 $C$ 的离心率的取值范围为 $[\frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$ C、若存在点 $P$ ，使得 $|P F_{1}| = 2 |P F_{2}|$ ，且 $∠ F_{1} P F_{2} = \frac{π}{3}$ ，则椭圆 $C$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、若存在点 $P$ ，使得 $| O P | = \frac{2 a}{3}$ ，且 $∠ F_{1} P F_{2} = \frac{2 π}{3}$ ，则椭圆 $C$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{66}}{9}$

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3、已知直线 $l_{1} : a x + (a + 1) y - 5 = 0$ ，直线 $l_{2} : 3 x - 4 y + 5 = 0$ ，圆 $C : {(x + 3)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 9$ ，则下列选项正确的是（）

A、若 $l_{1} // l_{2}$ ，则 $a = - \frac{3}{7}$ B、若 $l_{1} ⊥ l_{2}$ ，则 $a = - 4$ C、若 $l_{1}$ 与圆 $C$ 相交于 $A$ ， $B$ 两点，则 $| A B |_{min} = 2$ D、过 $l_{2}$ 上一点 $P$ 向圆 $C$ 作切线，切点为 $Q$ ，则 $| P Q |_{min} = \sqrt{7}$

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4、过抛物线 $C : y^{2} = 4 x$ 的焦点作圆 $P : {(x - 3)}^{2} + y^{2} = 1$ 的切线，该切线交抛物线C于A，B两点，则 $| A B | =$ （）

A、 $12 \sqrt{3}$ B、14 C、15 D、16

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5、在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $\vec{A E} = \frac{1}{3} \vec{A B}$ ， $\vec{B F} = \frac{3}{4} \vec{B D_{1}}$ ，则 $\vec{E F} =$ （）

A、 $- \frac{1}{12} \vec{A B} + \frac{2}{3} \vec{A D} + \frac{3}{4} \vec{A A_{1}}$ B、 $\frac{1}{12} \vec{A B} - \frac{3}{4} \vec{A D} + \frac{3}{4} \vec{A A_{1}}$ C、 $- \frac{1}{12} \vec{A B} - \frac{1}{4} \vec{A D} + \frac{2}{3} \vec{A A_{1}}$ D、 $- \frac{1}{12} \vec{A B} + \frac{3}{4} \vec{A D} + \frac{3}{4} \vec{A A_{1}}$

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6、已知椭圆 $C : \frac{y^{2}}{a^{2}} + \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ，其中离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，且过点 $(\frac{\sqrt{2}}{2}, 1)$

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、过点 $(0, 1)$ 的直线 $l$ 被椭圆 $C$ 截得的弦长为 $\frac{3}{2} \sqrt{2}$ ，求直线 $l$ 的方程.

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7、如图所示，已知直四棱柱 $A B C D - A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ 中，底面 $A B C D$ 是边长为2的菱形，且 $∠ B A D = 60 °$ ， $A A^{'} = 1$ ， $E$ ， $F$ ， $G$ 分别是 $C^{'} D^{'}$ ， $C C^{'}$ ， $B C$ 的中点，则异面直线 $G E$ ， $A^{'} F$ 所成角的余弦值为（）

A、 $- \frac{\sqrt{3}}{7}$ B、 $- \frac{\sqrt{2}}{14}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{7}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{14}$

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8、如图，平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $C B ⊥ B D$ ， $∠ C_{1} C D = 45 °$ ， $∠ C_{1} C B = 60 °$ ， $C C_{1} = C B = B D = 1$ .

(1)、以向量 $\{\vec{C B}, \vec{C D}, \vec{C C_{1}}\}$ 为基底表示向量 $\vec{C A_{1}}$ ，求对角线 $C A_{1}$ 的长度；

(2)、求异面直线 $C A_{1}$ 与 $D A$ 所成角的余弦值.

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9、已知 $F_{1}, F_{2}$ 为双曲线 $C : \frac{y^{2}}{3} - x^{2} = 1$ 的两个焦点， $P$ 为双曲线 $C$ 上任意一点，则（）

A、 $|P F_{1}| - |P F_{2}| = 2 \sqrt{3}$ B、双曲线 $C$ 的渐近线方程为 $y = \pm \frac{\sqrt{3}}{3} x$ C、双曲线 $C$ 的离心率为 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ D、 $|\overset{⃑}{P F_{1}} + {\overset{⃑}{P F}}_{2}| \geq 2 \sqrt{3}$

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10、如图①，在 $Rt △ A B C$ 中， $A B = 2 B C = 6$ ， $∠ A B C = 90 °$ ， E，F分别为AB，AC上的点， $E F // B C$ ， $A E = 2 E B$ ．如图②，将 $△ A E F$ 沿EF折起，当四棱锥 $A - B C F E$ 的体积最大时，点E到平面ACF的距离为（）

A、 $\frac{4 \sqrt{6}}{3}$ B、 $\frac{2 \sqrt{6}}{3}$ C、 $\sqrt{6}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$

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11、在 $△ A B C$ 中，已知 $A (3, 2, 6)$ ， $B (5, 4, 0)$ ， $C (0, 7, 1)$ ，则 $A B$ 边上的中线长为（）

A、 $\sqrt{42}$ B、6 C、 $4 \sqrt{2}$ D、7

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12、设 $t \in R$ ，函数 $f (x) = 2 {cos}^{2} x - 2 cos x - t$ ， $x \in (0, \frac{π}{2})$ .

(1)、当 $t = 3$ 时，求 $f (x)$ 的值域；

(2)、讨论 $f (x)$ 的零点个数.

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13、已知函数 $f (x) = 2 \cos^{2} (x + \frac{π}{12}) + \sin 2 x$ ．
（1）若 $f (α) = 1, α \in (0, π)$ ，求 $α$ 的值；
（2）求 $f (x)$ 的单调增区间．

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14、已知：四边形 $A B C D$ 是空间四边形， $E$ ， $H$ 分别是边 $A B$ ， $A D$ 的中点， $F$ ， $G$ 分别是边 $C B$ ， $C D$ 上的点，且 $\frac{B F}{B C} = \frac{D G}{D C} = \frac{2}{3}$ ，求证：直线 $F E$ 、 $G H$ 、 $A C$ 交于一点.

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15、已知函数 $f (x) = e^{x} (x - 1)$ ，则它的极小值为；若函数 $g (x) = m x$ ，对于任意的 $x_{1} \in [- 2, 2]$ ，总存在 $x_{2} \in [- 1, 2]$ ，使得 $f (x_{1}) > g (x_{2})$ ，则实数 $m$ 的取值范围是.

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16、设变量 $x, y$ 满足约束条件 $\{\begin{matrix} 2 x + y \geq 0, \\ x + 2 y - 2 \geq 0, \\ x \leq 0, \\ y \leq 3, \end{matrix}$ 则目标函数 $z = x + y$ 的最大值为.

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17、下列说法正确的有（）

A、若 $a > b$ ，那么 $\frac{1}{a^{3}} < \frac{1}{b^{3}}$ B、若 $a < b < 0$ ，则 $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$ C、若 $x > 0$ ，则 $x + \frac{4}{x + 2}$ 有最小值2 D、若 $x \in R$ ，则 $\frac{2 x}{x^{2} + 1}$ 有最大值1

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18、下列不等式一定成立的是（）

A、 $\frac{a}{b} < \frac{a + m}{b + m}$ B、若 $m > n$ ，则 $m t^{2} \geq n t^{2}$ C、 $a^{2} + b^{2} \geq 2 a b$ D、 $\frac{a + b}{2} \geq \sqrt{a b}$

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19、已知 $a = \frac{17}{18}$ ， $b = \cos \frac{1}{3}$ ， $c = 3 \sin \frac{1}{3}$ ，则（）

A、 $c > b > a$ B、 $b > a > c$ C、 $a > b > c$ D、 $a > c > b$

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20、图，正方体中的棱长为2， $A, B$ 分别为所在棱的中点，则四棱锥 $S - A B C D$ 的外接球的表面积为（）

A、 $16 π$ B、 $32 π$ C、 $10 π$ D、 $\frac{41}{4} π$

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