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相关试卷

1、如图所示，某高中校运动会，拟在一张矩形海报纸上设计大小相等的左右两个矩形宣传栏发布预赛成绩与决赛成绩，宣传栏的面积之和为 ${1800cm}^{2}$ ，为了美观，要求海报上四周空白的宽度均为 $5cm$ ，两个宣传栏之间的空隙的宽度为 $10cm$ ，设海报纸的长和宽分别为 $x cm, y cm$ .

(1)、求y关于x的函数表达式；

(2)、为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸是最少？

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2、已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的偶函数，且当 $x \leq 0$ 时， $f (x) = x^{2} + 2 x$ .现已画出函数 $f (x)$ 在y轴左侧的图象，如图所示.

(1)、画出 $f (x)$ 在 $y$ 轴右侧的图象并写出函数 $f (x) (x \in R)$ 的增区间；

(2)、写出函数 $f (x) (x \in R)$ 的解析式；

(3)、讨论方程 $f (x) = m (m \in R)$ 解的个数.

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3、（1）若 $x > 0$ ，求 $x + \frac{4}{x}$ 的最小值，并写出取得最小值时 $x$ 的值.
（2）若 $x > 2$ ，求函数 $f (x) = \frac{x^{2} - 2 x + 4}{x - 2}$ 的最小值，并写出取得最小值时 $x$ 的值.

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4、已知集合 $A = \{x |\frac{x - 2}{x - 6} \leq 0\}, B = \{x ∣ x^{2} - 12 x + 27 < 0\}$ ，

(1)、分别求 $A \cup B$ 与 $A \cap B$ ；

(2)、已知 $C = {x ∣ a < x < a + 1}$ ，若 $C \subseteq B$ ，求实数a的取值范围.

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5、设函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} - x + 1 & x < 1 \\ \sqrt{x - 1} & x \geq 1 \end{array}$ ，则 $f (f (- 4)) =$ .

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6、若幂函数 $f (x) = x^{α}$ 的图象经过点 $(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$ ，则函数 $y = f (x - 1)$ 的定义域为.

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7、设 $P$ 是一个数集，且至少含有两个数，若对任意 $a, b \in P$ ，都有 $a + b, a - b, a b, \frac{a}{b} \in P$ （除数 $b \neq 0$ ），则称 $P$ 是一个数域.例如有理数集 $Q$ 是一个数域；现有两个数域 $E = {a + b \sqrt{2} ∣ a, b \in Q}$ 与 $F = {a + b \sqrt{3} ∣ a, b \in Q}$ .下列关于这两个数域的命题中是真命题的为（）

A、数域 $E, F$ 中均含的元素0，1. B、有理数集 $Q \subseteq E$ . C、 $E \cup F$ 是一个数域 D、整数集 $Z \subseteq (E \cap F)$ .

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8、集合U，S，T，F的关系如图所示，那么下列关系中正确的是（）

A、 $S \subseteq T$ B、 $T \subseteq ∁_{U} S$ C、 $F \subseteq ∁_{U} S$ D、 $T \subseteq ∁_{U} F$

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9、已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $(2, + \infty)$ ，值域为 $R$ ，则（）

A、函数 $f (x^{2} + 2)$ 的定义域为 $R$ B、函数 $f (x^{2} + 2) - 2$ 的值域为 $R$ C、函数 $f (x^{2} + 2 x + 3)$ 的定义域和值域都是 $R$ D、函数 $f (f (x))$ 的定义域和值域都是 $R$

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10、已知函数 $f (x) = x^{2} - 2 a x + 3$ 在 $(- \infty, 2]$ 上是减函数，则实数a的取值范围为（）

A、 $(- \infty, - 1]$ B、 $[- 1, + \infty)$ C、 $(- \infty, 2]$ D、 $[2, + \infty)$

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11、已知函数 $f (x) = x (1 - x), x \in [0, 1]$ ，且 $f (x)$ 最大值为（）

A、0 B、 $- \frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{2}$

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12、“ $x > 2$ ”是“ $\frac{2}{x} < 1$ ”成立的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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13、下列结论正确的是（）

A、若 $a > b, m > n$ ，则 $a - m > b - n$ B、若 $m > 0$ ，则 $\frac{1}{2} > \frac{1 + m}{2 + m}$ C、 $\sqrt{7} - \sqrt{6} < \sqrt{6} - \sqrt{5}$ D、若 $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$ ，则 $a < b$

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14、已知命题 $p : \forall x \in R, x^{2} + a - 1 \geq 0$ ，若p为真命题，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, 1)$ B、 $(- \infty, 1]$ C、 $(1, + \infty)$ D、 $[1, + \infty)$

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15、已知集合 $A = {x ∣ - 1 < x < 1}, B = {x ∣ 0 \leq x \leq 2}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${x ∣ - 1 < x < 2}$ B、 ${x ∣ - 1 < x \leq 2}$ C、 ${x ∣ 0 \leq x < 1}$ D、 ${x ∣ 0 \leq x \leq 2}$

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16、在《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，已知阳马 $P - A B C D$ 中，侧棱 $P D ⊥$ 底面 $A B C D$ ；且 $P D = C D$ ，在 $P A, P B, P C$ 的中点中选择一个记为点 $E$ ，使得四面体 $E - B C D$ 为鳖臑．

(1)、确定点 $E$ 的位置，并证明四面体 $E - B C D$ 为鳖臑；

(2)、若底面 $A B C D$ 是边长为1的正方形，求平面 $P A B$ 与平面 $B D E$ 夹角的余弦值．

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17、已知圆 $C$ 的圆心在直线 $y = x$ 上，且过点 $A (3, 0)$ ， $B (2, - 1)$

(1)、求圆 $C$ 的方程；

(2)、若直线 $l : 4 x - 3 y + 9 = 0$ 与圆 $C$ 交于 $E$ 、 $F$ 两点，求线段 $E F$ 的长度.

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18、如图所示，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A = A B = A C = 2$ ，直线 $P A, A B, A C$ 两两垂直，点 $D, E$ 分别为棱 $P B, P C$ 的中点．

(1)、证明： $B C / /$ 平面 $A D E$ ；

(2)、求平面 $A B C$ 与平面 $A D E$ 所成角的余弦值．

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19、直线 $l$ 的方程为 $(a + 1) x - y - 3 a - 1 = 0$ ， $a \in R$ .

(1)、若直线 $l$ 在两坐标轴上的截距相等，求 $l$ 的方程；

(2)、若直线 $l$ 分别交 $x$ 轴、 $y$ 轴的正半轴于点 $A$ 、 $B$ ，点 $O$ 是坐标原点．若 $△ A O B$ 的面积为 $16$ ，求 $a$ 的值.

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20、已知点 $P (x, y)$ 为直线 $l : 2 x + y + 4 = 0$ 上的动点，过 $P$ 点作圆 $C : x^{2} + {(y - 1)}^{2} = 1$ 的切线 $P A, P B$ ，切点为 $A, B$ ，则 $△ P A B$ 周长的最小值为．

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