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相关试卷

1、过点 $P (- 1, 1)$ 的直线 $l$ 与圆 $C : x^{2} + y^{2} + 4 x - 2 = 0$ 交于 $A, B$ 两点，则 $|A B|$ 的最小值为（）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、 $\sqrt{6}$ C、4 D、2

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2、如图所示，太极图是由黑白两个鱼纹组成的图形图案，充分体现了相互转化､对称统一的形式美､和谐美.定义：能够将圆 $O$ 的周长和面积同时等分成两部分的函数称为圆 $O$ 的一个“太极函数”，则下列说法错误的是（）

A、对于任意一个圆，其“太极函数”有无数个 B、函数 $f (x) = tan x$ 可以是某个圆的“太极函数” C、函数 $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ 可以是某个圆的“太极函数” D、 $y = f (x)$ 是“太极函数”的充要条件为“ $y = f (x)$ 的图象是中心对称图形”

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3、设随机变量 $X \sim B (4, \frac{1}{4})$ ，则 $D (4 X + 1) =$ （）

A、3 B、4 C、12 D、13

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4、函数 $y = \sqrt{3} e^{x} + 1$ 的图象在点 $(0, 1 + \sqrt{3})$ 处的切线的倾斜角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{π}{2}$

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5、已知集合 $S = {x ∣ - 4 < x \leq 1}, T = {x ∣ - 1 < x < 3}$ ，则 $S \cap T =$ （）

A、 $\{0, 1, 2\}$ B、 ${x ∣ - 1 < x \leq 1}$ C、 ${x ∣ - 4 < x < 3}$ D、 ${x ∣ - 1 < x < 4}$

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6、已知函数 $f (x) = \vec{a} \cdot \vec{b}$ ，其中 $\vec{a} = (sin (π - x), cos (2 x - 3 π))$ ， $\vec{b} = (sin (\frac{π}{2} - x), \frac{\sqrt{3}}{2})$ ， $x \in R$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期和对称轴；

(2)、求函数 $f (x)$ 在 $[0, π]$ 上的单调递减区间；

(3)、已知函数 $g (x) = 2 f^{2} (x) - 3 f (x) + 2 m - 1$ 在 $[\frac{π}{6}, \frac{π}{2}]$ 上存在零点，求实数 $m$ 的取值范围.

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7、如左图所示，在直角梯形 $A B C D$ 中， $B C ∥ A D$ ， $A D ⊥ C D$ ， $B C = 2$ ， $A D = 3$ ， $C D = \sqrt{3}$ ，边 $A D$ 上一点E满足 $D E = 1$ .现将 $△ A B E$ 沿 $B E$ 折起到 $△ A_{1} B E$ 的位置，使平面 $A_{1} B E ⊥$ 平面 $B C D E$ ，如右图所示.

(1)、求证： $A_{1} C ⊥ B E$ ；

(2)、求 $A_{1} D$ 与面 $B C D E$ 所成的角；

(3)、求平面 $A_{1} B E$ 与平面 $A_{1} C D$ 所成锐二面角的余弦值.

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8、为了深入学习领会党的二十大精神，某高级中学高一全体学生参加了《二十大知识竞赛》.试卷满分为100分，所有学生成绩均在区间 $[40, 100]$ 分内.已知该校高一选物理方向、历史方向的学生人数分别为180、120.现用分层抽样的方法抽取了30名学生的答题成绩，绘制了如下样本频率分布直方图.

(1)、根据样本频率分布直方图，计算图中 $a$ 的值，并估计该校全体学生成绩的平均数和第71百分位数；

(2)、已知所抽取选物理方向和历史方向学生答题成绩的平均数、方差的数据如下表，且根据频率分布直方图估计出全体学生成绩的方差为140，求高一年级选物理方向学生成绩的平均数 $\bar{x_{1}}$ 和高一年级选历史方向学生成绩的方差 $s_{2}^{2}$ .
选科方向
样本平均数
样本方差
物理方向
$\bar{x_{1}}$
75
历史方向
60
$s_{2}^{2}$

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9、已知：如图，三角形 $A B C$ 为正三角形， $A E$ 和 $C D$ 都垂直于平面 $A B C$ ，且 $A E = A B = 2 C D = 2$ ， $F$ 为 $B E$ 的中点．

(1)、证明： $D F //$ 平面 $A B C$ ；

(2)、求点B到平面 $A D F$ 的距离．

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10、记 $△ A B C$ 的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知 $sin C = \sqrt{2} \cos B$ ， $a^{2} + b^{2} - c^{2} = \sqrt{2} a b$

(1)、求B；

(2)、若 $△ A B C$ 的面积为 $3 + \sqrt{3}$ ，求c．

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11、落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色，滕王阁，江南三大名楼之一，因初唐诗人王勃所作《滕王阁序》而名传千古，如图所示，在滕王阁旁的水平地面上共线的三点A，B，C处测得其顶点P的仰角分别为30°，60°，45°，且AB＝BC＝75米，则滕王阁的高度OP＝米．

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12、已知圆台 $O_{1} O_{2}$ 的上､下底面面积分别为 $4 π, 36 π$ ，其外接球球心 $O$ 满足 $\vec{O_{1} O} = 3 \vec{O O_{2}}$ ，则圆台 $O_{1} O_{2}$ 的外接球体积与圆台 $O_{1} O_{2}$ 的体积之比为.

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13、已知函数 $f (x) = sin (2 x - \frac{π}{6}) - {sin}^{4} x + {cos}^{4} x$ ，则下列关于函数 $f (x)$ 的说法正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 在 $[\frac{2 π}{3}, π]$ 上单调递增 B、函数 $f (x)$ 的图象可以由 $y = sin 2 x$ 图象向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度得到 C、 $f (x) = f (\frac{π}{6} - x)$ D、若函数 $y = f (x) + \frac{1}{2}$ 在 $[a, b]$ 上至少有11个零点，则 $b - a$ 的最小值为 $5 π$

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14、如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为1， $E$ 为 $B A_{1}$ 的中点.下列说法正确的是（）

A、直线 $E C_{1}$ 与直线 $A D$ 是异面直线 B、在直线 $A_{1} C_{1}$ 上存在点 $F$ ，使 $E F ⊥$ 平面 $A_{1} C D$ C、直线 $B A_{1}$ 与平面 $A_{1} C D$ 所成角是 $\frac{π}{3}$ D、点 $B$ 到平面 $A_{1} C D$ 的距离是 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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15、已知平面向量 $\vec{a} = (2, - 3)$ ， $\vec{b} = (2, 1)$ ，则（）

A、 $(\vec{a} - 2 \vec{b}) ⊥ \vec{b}$ B、 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 可作为一组基底向量 C、 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 夹角的余弦值为 $\frac{\sqrt{65}}{65}$ D、 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影向量的坐标为 $(\frac{2}{3}, \frac{1}{3})$

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16、在锐角 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ， $△ A B C$ 的面积为 $S$ ，若 $sin (A + C) = \frac{2 S}{b^{2} - a^{2}}$ ，则 $tan A$ 的取值范围为（）

A、 $(\frac{\sqrt{3}}{3}, + \infty)$ B、 $(\sqrt{3}, 1)$ C、 $(\frac{\sqrt{3}}{3}, 1)$ D、 $(\sqrt{3}, + \infty)$

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17、自1950年以来，每年于4月7日庆祝世界卫生日，旨在引起世界各国人民对卫生､健康工作的关注，提高人们对卫生领域的素质和认识，强调健康对于劳动创造和幸福生活的重要性.为了让大家了解更多的健康知识，某中学组织三个年级的学生进行日常卫生知识竞赛，经统计，得到前200名学生分布的饼状图（如图1）和前200名学生中高一学生排名分布的频率条形图（如图2），则下列说法错误的是（）

A、成绩在前200名的学生中，高一人数比高二人数多30 B、成绩在第1~50名的学生中，高三最多有32人 C、高一学生成绩在第101~150名的人数一定比高三学生成绩在第1~50名的人数多 D、成绩在第51~100名的学生中，高二人数比高一人数多

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18、已知 $\sin (α + \frac{π}{3}) = \frac{\sqrt{2}}{3}$ ，则 $\sin (2 α + \frac{π}{6}) =$ （）

A、 $\frac{5}{9}$ B、 $\frac{4}{9}$ C、 $- \frac{4}{9}$ D、 $- \frac{5}{9}$

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19、设 $m$ ， $n$ 是两条不同的直线， $α$ ， $β$ 是两个不同的平面，则下列命题正确的为（）

A、若 $n ⊥ α$ ， $n ⊥ β$ ，则 $α ⊥ β$ B、若 $m / / n$ ， $m / / β$ ，则 $n / / β$ C、若 $m / / α$ ， $m / / β$ ，则 $α / / β$ D、若 $m / / n$ ， $n ⊥ β$ ，则 $m ⊥ β$

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20、要得到函数 $y = 4 \cos (2 x - \frac{π}{4})$ 的图象，只需将 $y = 4 \sin x$ 的图象上所有的点（）

A、横坐标变为原来的 $\frac{1}{2}$ （纵坐标不变），再向左平移 $\frac{π}{4}$ 个单位长度 B、横坐标变为原来的 $2$ 倍（纵坐标不变），再向左平移 $\frac{π}{4}$ 单位长度 C、横坐标变为原来的 $\frac{1}{2}$ （纵坐标不变），再向左平移 $\frac{π}{8}$ 个单位长度 D、横坐标变为原来的 $2$ 倍（纵坐标不变），再向左平移 $\frac{π}{8}$ 个单位长度

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选科方向	样本平均数	样本方差
物理方向	$\bar{x_{1}}$	75
历史方向	60	$s_{2}^{2}$