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相关试卷

1、对于一个古典概型的样本空间 $Ω$ 和事件A，B，C，D，用 $|A|$ 表示事件 $A$ 中的样本点个数．若 $|Ω| = 60$ ， $|A| = 30$ ， $|B| = 10$ ， $|C| = 20$ ， $|D| = 30$ ， $|A \cup B| = 40$ ， $|A \cap C| = 10$ ， $|A \cup D| = 60$ ，则（）

A、 $A$ 与 $B$ 对立 B、 $A$ 与 $D$ 不对立 C、 $C$ 与 $D$ 互斥 D、 $A$ 与 $C$ 相互独立

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2、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} - x^{2} - 2 a x + 1, x < 1 \\ \log_{a} x + 2 a, x \geq 1 \end{array} (a > 0, a \neq 1)$ ，若 $f (x) \leq \frac{3}{2}$ ，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(0, \frac{3}{4}]$ B、 $(0, \frac{\sqrt{2}}{2}]$ C、 $[\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{3}{4}]$ D、 $[\frac{3}{4}, 1)$

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3、已知向量 $\vec{a} = (3 - m, 3)$ ， $\vec{b} = (2, m + 4)$ ，若 $| \vec{a} - 3 \vec{b} | = | \vec{a} + 3 \vec{b} |$ ，则实数 $m =$ （）

A、3 B、6 C、 $- 6$ D、 $- 18$

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4、已知一组数据39，41，44，46，49，50，x，55的第65百分位数是50，那么实数 $x$ 的取值范围是（）

A、 $[50, + \infty)$ B、 $(50, + \infty)$ C、 $(50, 55)$ D、 $[50, 55]$

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5、已知 $\frac{π}{4} \leq α \leq \frac{π}{2}$ ， $sin 2 α = \frac{4}{5}$ ，则 $cos α =$ （）

A、 $- \frac{\sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ 或 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$

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6、如图，圆台 $O O_{1}$ 的侧面展开图扇环的圆心角为 $180^{\circ}$ ，其中 $S A = 2, S B = 4$ ，则该圆台的高为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\sqrt{2}$ C、1 D、4

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7、已知复数 $z_{1} = - 2 + i$ ， $z_{2} = 1 + 2 i$ ，在复平面内，复数 $z_{1}$ 和 $z_{2}$ 所对应的两点之间的距离是（）

A、 $\sqrt{10}$ B、10 C、 $\sqrt{5}$ D、5

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8、设集合 $A = \{1, 2, 3\}$ ， $B = \{(x, y) |x \in A, y \in A, x - y \in A\}$ ，则集合 $B$ 的元素个数为

A、4 B、3 C、2 D、1

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9、已知 $A (- 1, 1), B (2, - 2), C (5, 1)$ .

(1)、求点 $A$ 到直线 $B C$ 的距离；

(2)、求 $△ A B C$ 的外接圆的方程.

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10、已知直线 $l$ 过点 $(1, 2)$ ，且在 $y$ 轴上的截距为在 $x$ 轴上的截距的两倍，则直线 $l$ 的方程是.

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11、下列说法正确的有（）

A、若直线 $y = k x + b$ 经过第一、二、四象限，则 $(k, b)$ 在第二象限 B、任何一条直线都有倾斜角，都存在斜率 C、方程 $x + m y - 2 = 0 (m \in R)$ 能表示平行 $y$ 轴的直线 D、直线的斜率越大，倾斜角越大

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12、某商家为吸引顾客，准备了两份奖品，凡是进店消费即可参与抽奖，奖品被抽完即抽奖活动终止．抽奖的规则如下：在一个不透明的盒子中有放回地取球（小球大小和质地相同），取出红球，则不获奖，取出白球，则获奖．刚开始盒子中有 $2$ 个白球和 $3$ 个红球，参与抽奖的顾客从盒子中随机抽取1个球，若不获奖，则将球放回，该顾客抽奖结束，下一名顾客继续抽奖．若获奖，则将球放回后再往盒子中加 $1$ 个红球，该顾客再继续抽奖．若第二次抽奖不获奖，则将球放回，该顾客只获得一份奖品，抽奖结束，下一名顾客继续抽奖；若第二次抽奖获奖，则该顾客获得两份奖品，整个抽奖活动结束．该活动深受顾客喜欢，假设这两份奖品没被抽完前始终有顾客参与抽奖．

(1)、求第 $2$ 名和第 $3$ 名顾客各抽中一份奖品的概率；

(2)、求这两份奖品都被第 $n$ 名顾客抽取的概率；

(3)、求由第 $k$ 名顾客终止抽奖活动的概率．

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13、（1）过 $△ A B C$ 的重心G作直线l，若l与边 $B C$ 平行，与 $A B, A C$ 分别交于D，E两点，求 $△ A D E$ 与 $△ A B C$ 的面积比；
（2）在 $△ A B C$ 中，若 $\vec{B F} = m \vec{B C}, \vec{A O} = n \vec{A F}$ ，其中 $m, n \in (0, 1)$ ，过O作直线l，与线段 $A B, A C$ 分别交于D，E两点，求证： $(1 - m) \frac{A B}{A D} + m \frac{A C}{A E} = \frac{1}{n}$ ；
（3）在等腰直角 $△ A B C$ 中， $∠ C = \frac{π}{2}$ ， $D, E$ 分别为 $A B, A C$ 的中点，将 $△ A D E$ 沿 $D E$ 折起，得到四棱锥 $S - B C E D$ ，在二面角 $S - D E - B$ 处于 $[\frac{π}{3}, \frac{2 π}{3}]$ 过程中，作 $∠ S B E$ 的角平分线交 $S E$ 于点M，记 $B M$ 与平面 $S C D$ 的交点为N，过N作直线l，与线段 $S C, S D$ 分别交于P，Q两点，记四棱锥 $S - B P M Q$ 的体积为 $V_{1}$ ，四棱锥 $S - B C E D$ 的体积为V，求 $\frac{V_{1}}{V}$ 的最小值．

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14、如图，在 $△ A B C$ 中， $C = \frac{π}{6}$ ， $B C = 6, B D$ 是 $∠ A B C$ 的角平分线，且 $C D = 2 \sqrt{3}$ ．

(1)、求 $B D$ ；

(2)、若 $M, N$ 是线段 $B D$ 上动点，且 $∠ M A N = \frac{π}{3}$ ，记 $∠ D A M$ 为 $θ$ ．
（i）用 $\tan θ$ 表示 $D M$ ；
（ii）求 $△ M A N$ 面积的最小值．

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15、在三棱锥 $A - B C D$ 中， $A B = B C = 4, A D = \sqrt{21}, B D = \sqrt{13}, ∠ A B C = 90 °, E$ 是 $A C$ 的中点，且 $D E = \sqrt{5}$ ．

(1)、求证：平面 $A B C ⊥$ 平面 $A C D$ ；

(2)、求直线 $B D$ 与平面 $A B C$ 所成角的正弦值．

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16、已知二次函数 $f (x) = a x^{2} - (2 a + 1) x + 2$ ．

(1)、若 $a = 1$ ，求 $f (x) > 0$ 的解集；

(2)、若方程 $f (2^{x}) = 0$ 在 $x \in [2, 3]$ 上有解，求实数a的取值范围．

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17、2025年是“全民体重管理年”，健康体重成为社会关注的新焦点．为了提升人们体重管理意识和技能，预防控制超重肥胖，某市开展“体重管理知识”宣传活动．举办了“体重管理”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（成绩均为不低于40分的整数）进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），得到如图所示的频率分布直方图．

(1)、求图中a的值与该样本数据的第60百分位数；

(2)、根据该频率分布直方图，估计1000个参赛选手中有多少人能得60分及以上．

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18、已知函数 $f (x) = (x^{2} - 4 x + a) \sin (a x - \frac{π}{3}) (a > 0)$ 在 $(0, 4)$ 上恰有2个零点，则a的取值范围是．

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19、已知甲，乙两个投篮命中率分别是 $\frac{1}{3}, \frac{1}{2}$ ，并且他们投篮互不影响，每人投篮1次，则恰好有一个人命中的概率为．

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20、计算： $\lg \frac{5}{2} + 2 \lg 2 =$ ．

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