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相关试卷

1、已知非零向量 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 满足 $|\vec{a}| = |\vec{b}|$ ， $\vec{c} = \frac{1}{3} \vec{a}$ ，若 $\vec{c}$ 为 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 上的投影向量，则向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 夹角的余弦值为（　　）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{5}$

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2、已知集合 $A$ ， $B$ ，若 $A = \{x | \log_{4} x \leq 1\}$ ，且 $A \cap B = (0, 3]$ ，则集合 $B$ 可以为（）

A、 ${y | y = \sqrt{3 - x}}$ B、 ${x | y = \sqrt{3 - x}}$ C、 $\{x | 2^{x} < 8\}$ D、 $\{x |\frac{x}{x - 3} \leq 0\}$

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3、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，且经过点 $A (\sqrt{2}, 1)$ ，定义第 $n (n \in N^{*})$ 次操作为：经过 $C$ 上的点 $A_{n}$ 作斜率为 $k$ 的直线与 $C$ 交于另一点 $B_{n}$ ，记 $B_{n}$ 关于 $x$ 轴的对称点为 $A_{n + 1}$ ，若 $A_{n + 1}$ 与 $B_{n}$ 重合，则操作停止；否则一直继续下去．

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、若 $A_{1}$ 为 $C$ 的左顶点，经过3次操作后停止，求 $k$ 的值；

(3)、若 $k = - \frac{b}{a}, A_{1}$ 是 $C$ 在第一象限与 $A$ 不重合的一点，求 $△ A_{n} A_{n + 1} A_{n + 2}$ 的面积．

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4、已知函数 $f (x) = {(x - 1)}^{2} + m x (1 - \ln x)$

(1)、令 $g (x) = f^{'} (x)$ ，讨论函数 $g (x)$ 的单调性；

(2)、若函数 $f (x)$ 有极大值点 $x_{0} (x_{0} \neq 1)$ ，求证 $f (x_{0}) > 1$ ．

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5、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面四边形ABCD是正方形， $P D = D C, P D ⊥$ 底面ABCD， $E$ 是线段PC的中点， $F$ 在线段PB上， $E F ⊥ P B$ ．

(1)、求证： $P A / /$ 平面BDE；

(2)、求证： $P B ⊥$ 平面DEF

(3)、 $G$ 在线段PB之间（不含端点），EG与PA所成的角为 $\frac{π}{3}$ ，求平面DEF与平面DEG夹角的余弦值．

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6、2026年我国科技前沿的标志性事件可以概括为四大主线，第一类就是人工智能与算力，第二类是航天与通信，第三类是能源与材料，第四类是生命科学与前沿突破．其中第一类人工智能与算力包含四个事件：AI超级计算平台规模化落地，多智能系统成为标配，特定领域语言模型爆发，脑机接口商业化元年；第二类航天与通信包含三个事件：低轨卫星互联网组网成型，6G试验网与标准突破，商业空间站与深空探测；第三类能源与材料包含三个事件：可控核聚变“亿度”持续运行，钠离子电池量产应用，高端材料国产替代领跑；第四类生命科学与前沿突破包含两个事件：碱基编辑疗法临床验证，量子计算实用化进展．

(1)、从前三类主线的10个事件中随机选取一个事件，求该事件属于第一类主线的概率；

(2)、从前三类主线的10个事件中不可放回的方式随机选取三个事件，随机变量 $X$ 表示所选事件属于第二类或第三类的数量，求随机变量 $X$ 的分布列和期望；

(3)、从前三大主线的10个事件中按可放回的方式随机选取三个事件，随机变量 $Y$ 表示事件属于第二类或第三类的数量，比较 $E (X)$ 与 $E (Y)$ 的大小关系．

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7、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n} = n^{2} + n$ ．

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、求数列 $\{\cos^{2} {(a_{n})}^{°}\}$ 的前90项和．
注意：这里 ${(a_{n})}^{°}$ 表示角度， $\cos^{2} {(a_{n})}^{°} = {[\cos {(a_{n})}^{°}]}^{2}$

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8、已知函数 $f (x) = \cos (ω x + φ) (ω > 0, | φ | \leq \frac{π}{2}), x = - \frac{π}{8}$ 是 $y = f (x)$ 的零点，直线 $x = \frac{3 π}{8}$ 为 $y = f (x)$ 图象的一条对称轴，且函数 $f (x)$ 在区间 $(\frac{π}{12}, \frac{5 π}{24})$ 上单调，则 $ω$ 的最大值为．

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9、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的离心率为 $\sqrt{3}, C$ 的一条渐近线与圆 ${(x - \sqrt{2})}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 1$ 交于 $A, B$ 两点，则 $| A B | =$ ．

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10、若 $(1 + 5 x) {(1 + x)}^{2026} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{2027} x^{2027}$ ，则 $a_{2} + a_{4} + a_{6} + \dots + a_{2026} =$ ．

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11、已知定义在 $(0, + \infty)$ 上的函数 $f (x)$ 满足： $f (x + 1) = 2 f (x) + [x]$ ，其中[x]表示不超过 $x$ 的最大整数．当 $x \in (0, 1]$ 时， $f (x) = x \ln x$ ，设数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n} = f (n)$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 为 $f (x)$ 从小到大第n个极小值点构成的数列，下列说法正确的是（）

A、数列 $\{a_{n} + n + 1\}$ 为等比数列 B、 $\exists k \in N^{*}$ ，使得 $a_{k} > 2^{k} - 2$ C、数列 $\{b_{n}\}$ 的通项公式 $b_{n} = n - 1 + \frac{1}{e}$ D、 $\forall n \in N^{*}$ ，都有 $f (b_{n}) < 0$

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12、在当今科技迅速发展的时代，人工智能（AI）已经成为科技创新的核心驱动力．当前AI正处于从生成式向智能体跃进的关键阶段，同时也面临着算力、数据、安全与可解释性等核心难题．某公司成立了甲、乙、丙三个科研攻关小组，决定对其中某个技术难题进行技术攻关，攻克该技术难题的小组都会受到奖励．已知甲、乙、丙三个小组各自独立进行科研攻关，且攻克该技术难题的概率分别为 $\frac{1}{3}, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}$ ，则（）

A、只有一个小组受到奖励的概率等于 $\frac{1}{4}$ B、技术难题被攻克的概率为 $\frac{3}{4}$ C、只有甲、丙小组受到奖励的概率为 $\frac{1}{2}$ D、甲、乙、丙三个小组均受到奖励的概率为 $\frac{1}{24}$

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13、如图，在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ 为 $A_{1} D$ 上的动点，则下列结论正确的是（）

A、 $A_{1} D //$ 平面 $B_{1} C D_{1}$ B、正方体外接球体积为 $4 \sqrt{3} π$ C、存在一点 $E$ ，使得直线CE与平面 $A D D_{1} A_{1}$ 所成的角为 $\frac{π}{3}$ D、 $E$ 到平面 $B_{1} D_{1} C$ 的距离为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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14、已知定义在 $R$ 上的函数 $y = f (x)$ ，满足以下两个条件：（1） $f (x) > 0$ 对任意 $x \in R$ 恒成立，且 $f (1) = 1$ ；（2）对任意 $x_{1}, x_{2} \in R$ 都有 $f (x_{1} + 2 x_{2}) = 4 f (x_{1}) \cdot f^{2} (x_{2})$ ，则下列关于函数 $y = f (x)$ 的表述中正确的个数为（）
① $f (0) = \frac{1}{2}$ ；② $f (- 1) = \frac{1}{4}$ ；③函数 $y = f (x)$ 有最小值；④函数 $y = f (x)$ 有最大值．

A、4 B、3 C、2 D、1

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15、如图，在等边三角形ABC中， $A B = 6$ ，点 $O$ 是靠近 $B$ 的三等分点，过 $O$ 的直线分别交射线AB，AC于不同的两点M，N， $\vec{A B} = m \vec{A M}, \vec{A C} = n \vec{A N}$ ，则下列选项中不正确的是（）

A、 $\vec{A O} = \frac{2}{3} \vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{A C}$ B、 $\cos ∠ A O C = \frac{\sqrt{7}}{21}$ C、 $2 m + n = 3$ D、 $\frac{1}{m} + \frac{2}{n}$ 的最小值是 $\frac{8}{3}$

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16、圆 $C : {(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 4$ 上的点到直线 $l : x + a y + 2 a + 2 = 0$ 距离的最大值是（）

A、7 B、5 C、3 D、2

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17、 $△ A B C$ 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知角B，C满足： $2 \sin B - \sin C = 0$ ， $2 \cos B + 5 \cos C = 0$ ，则 $\cos C$ 的值是（）

A、 $- \frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $- \frac{\sqrt{2}}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$

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18、 $\sqrt{x (6 - x)}$ 的最大值是（）

A、9 B、3 C、18 D、6

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19、已知 $sin α = \frac{3}{5}, cos β = - \frac{12}{13}, α \in (\frac{π}{2}, π), β \in (π, \frac{3 π}{2})$ ，则 $cos (α - β)$ 的值是（）

A、 $\frac{63}{65}$ B、 $- \frac{63}{65}$ C、 $- \frac{33}{65}$ D、 $\frac{33}{65}$

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20、已知复数 $z = \frac{1 + i}{1 - i}$ ，则 $z$ 的虚部是（）

A、 $1$ B、 $- 1$ C、 $i$ D、 $- i$

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