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相关试卷

1、下列求导运算正确的是（）

A、 ${(\sin x + \cos x)}^{'} = \cos x + \sin x$ B、 ${(x \ln x)}^{'} = \frac{1}{x}$ C、 ${(e^{2 x})}^{'} = e^{2 x}$ D、 ${(\frac{x}{e^{x}})}^{'} = \frac{1 - x}{e^{x}}$

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2、计算 $\frac{4 A_{8}^{4} + 2 A_{8}^{5}}{A_{8}^{8} - A_{9}^{5}}$ 的值是（）

A、1 B、0.6 C、0.8 D、1.2

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3、随机变量 $ξ$ 的分布列为
$ξ$
$- 1$
1
3
P
m
$\frac{1}{3}$
$2 m - 1$
则 $m =$ （）

A、 $\frac{5}{9}$ B、 $\frac{4}{9}$ C、 $\frac{7}{12}$ D、 $\frac{5}{12}$

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4、已知函数 $f (x) = \sin (ω x + φ) (ω > 0, 0 < φ < π)$ 满足 $f (x + \frac{π}{2}) = - f (x)$ ，若将 $f (x)$ 的图象上每个点先向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度，再向上平移 $\frac{1}{2}$ 个单位长度，所得的函数 $g (x)$ 为偶函数．

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若对于任意的 $x_{1} \in [0, \frac{π}{3}]$ ，总存在 $x_{2} \in [- \frac{π}{3}, \frac{π}{3}]$ ，使不等式 ${[f (x_{1})]}^{2} - (4 + m) f (x_{1}) + 2 m + 6 \leq g (x_{2})$ 成立，求实数 $m$ 的取值范围；

(3)、若函数 $h (x) = 2 f (x) + 1$ 的图象在区间 $[a, b] (a, b \in R, a < b)$ 上至少含有20个零点，在所有满足条件的区间 $[a, b]$ 上，求 $b - a$ 的最小值．

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5、在① $\tan α = 4 \sqrt{3}$ ， ② $\cos 2 α = - \frac{47}{49}$ ， ③ $\frac{1 - \cos α}{\sin α} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ 中任选一个条件，补充在下面问题中，并解决问题.
已知 $0 < α < \frac{π}{2}$ ，且 .

(1)、求 $\sin (α - \frac{π}{6})$ 的值；

(2)、若 $0 < β < α < \frac{π}{2}, \sin (α - β) = \frac{3 \sqrt{3}}{14}$ ，求 $β$ .
说明：若选择多个条件解答，则按第一个选择给分.

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6、已知函数 $f (x) = 2 \sqrt{3} \sin x \cos x - 2 \cos^{2} x + 1 (x \in R)$ .

(1)、将函数化简为 $f (x) = A \sin (ω x + φ)$ 的形式；

(2)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期及在区间 $[0, \frac{2 π}{3}]$ 上的最大值；

(3)、若 $f (x_{0}) = \frac{6}{5}$ ， $x_{0} \in [0, \frac{π}{3}]$ ，求 $\cos 2 x_{0}$ 的值.

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7、已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, |φ| < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示．

(1)、求函数 $y = f (x)$ 的解析式；

(2)、将 $y = f (x)$ 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ ，纵坐标伸长到原来的 $2$ 倍，再向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度得到 $y = g (x)$ 的图象，求函数 $g (x)$ 的单调增区间.

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8、如图， $G$ 是 $△ O A B$ 的重心， $P, Q$ 分别是边 $O A$ ， $O B$ 上的动点，且 $P, G, Q$ 三点共线．设 $\vec{O P} = x \vec{O A}$ ， $\vec{O Q} = y \vec{O B}$ ，则 $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} =$ ．

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9、正方形 $A B C D$ 的边长为2， $E$ 在 $B C$ 上，且 $B E = \frac{1}{3} B C$ ，如图，点 $P$ 是以 $A B$ 为直径的半圆上任意一点， $\vec{A P} = λ \vec{A D} + μ \vec{A E}$ ，则（）

A、 $λ$ 最大值为 $\frac{1}{3}$ B、 $μ$ 最大值为1 C、 $\vec{A P} \cdot \vec{A E}$ 最大值是 $\frac{2 \sqrt{10}}{3} + 2$ D、 $|\vec{A P} + \frac{1}{2} \vec{A D}|$ 的最大值为 $3 + 2 \sqrt{2}$

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10、已知函数 $f (x) = \sin (ω x + φ)$ （ $ω > 0$ ， $|φ| \leq \frac{π}{2}$ ）， $f (- \frac{π}{8}) = 0$ ， $f (\frac{π}{8} - x) = f (\frac{π}{8} + x)$ ，且 $f (x)$ 在 $(\frac{π}{18}, \frac{π}{9})$ 上单调，则 $ω$ 的最大值为（）

A、10 B、12 C、14 D、18

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11、已知函数 $f (x) = 4 \tan (ω x - φ) (ω > 0, 0 < φ < π)$ 的部分图象如图所示，则下列结论正确的个数是（）
① $ω = 2$ ；② $φ = \frac{π}{3}$ ；
③ $f (x)$ 的图象与y轴的交点坐标为 $(0, - \frac{4 \sqrt{3}}{3})$ ；④函数 $y = | f (x) |$ 的图象关于直线 $x = \frac{7 π}{12}$ 对称

A、1 B、2 C、3 D、4

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12、在 $△ A B C$ 中，向量 $\vec{A B} = (x, 1)$ ， $\vec{B C} = (- 3, 2 - x)$ ，若 $∠ A B C$ 为锐角，则实数x的取值范围为（）

A、 $(\frac{1}{2}, 3) \cup (3, + \infty)$ B、 $(- 1, 3) \cup (3, + \infty)$ C、 $(\frac{1}{2}, + \infty)$ D、 $(- \infty, \frac{1}{2})$

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13、要得到 $y = sin (4 x + \frac{π}{3}) - cos (4 x + \frac{π}{3})$ 的图象，只需将 $y = \sqrt{2} sin x$ 的图象（）

A、所有点的横坐标伸长到原来的4倍，再向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位 B、所有点的横坐标伸长到原来的4倍，再向左平移 $\frac{π}{48}$ 个单位 C、所有点的横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{4}$ 倍，再向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位 D、所有点的横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{4}$ 倍，再向左平移 $\frac{π}{48}$ 个单位

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14、如图，在 $△ A B C$ 中，点N是BC的中点，点M是AN的中点，设 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A C} = \vec{b}$ ，那么 $\vec{M C} =$ （）

A、 $- \frac{1}{4} \vec{a} + \frac{3}{4} \vec{b}$ B、 $\frac{1}{4} \vec{a} - \frac{3}{4} \vec{b}$ C、 $- \frac{3}{4} \vec{a} + \frac{1}{4} \vec{b}$ D、 $- \frac{3}{4} \vec{a} - \frac{1}{4} \vec{b}$

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15、已知函数 $y = \tan (ω x + \frac{π}{3}) (ω > 0)$ 的最小正周期为 $π$ ，则 $ω$ 为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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16、对 $\forall x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n} \in [a, b]$ ，若函数 $f (x)$ 在 $[a, b]$ 有不等式 $f (\frac{x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n}}{n}) \leq \frac{f (x_{1}) + f (x_{2}) + \dots + f (x_{n})}{n}$ ，则称函数 $f (x)$ 是在 $[a, b]$ 上的“凹函数”，反之，若不等式 $f (\frac{x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n}}{n}) \geq \frac{f (x_{1}) + f (x_{2}) + \dots + f (x_{n})}{n}$ ，则称函数 $f (x)$ 是在 $[a, b]$ 上的“凸函数”，当且仅当 $x_{1} = x_{2} = \dots = x_{n}$ 时等号成立．也可理解为若函数 $f (x)$ 在 $[a, b]$ 上可导， $f^{'} (x)$ 为 $f (x)$ 在 $[a, b]$ 上的导函数， $f^{″} (x)$ 为 $f^{'} (x)$ 在 $[a, b]$ 上的导函数，当 $f^{″} (x) \geq 0$ 时，函数 $f (x)$ 是在 $[a, b]$ 上的“凹函数”，反之，当 $f^{″} (x) \leq 0$ 时，则称函数 $f (x)$ 是在 $[a, b]$ 上的“凸函数”．

(1)、判断函数 $f (x) = ln (x + 1) - x (x > 0)$ 的凹凸性；

(2)、若 $x_{i} > 0 (i = 1, 2, \dots, n), \sum_{i = 1}^{n} x_{i} = 1$ ，令 $h (x) = \frac{x_{1}}{\sqrt{1 - x_{1}}} + \frac{x_{2}}{\sqrt{1 - x_{2}}} + \dots + \frac{x_{n}}{\sqrt{1 - x_{n}}} (n \geq 2)$ ，求 $h (x)$ 的最小值 $a_{n}$ ；

(3)、 $a_{n}$ 为（2）问所得结果，证明不等式： $(n - 1) a_{n}^{2} < e^{1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{n - 1}} (n \geq 2, n \in N^{*})$ ．

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17、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0), F$ 为 $C$ 的右焦点，短半轴长为 $1, A$ 为 $C$ 上动点， $|A F|$ 的最小值为 $2 - \sqrt{3}$ ．

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、已知点 $M (\sqrt{3}, 1)$ ，点 $P$ 为 $C$ 外一点，直线 $P F$ 交 $C$ 于 $Q, R$ 两点，
（i） $O$ 为原点，若 $|\vec{O Q} + \vec{O R}| = |\vec{O Q} - \vec{O R}|$ ，求直线 $P F$ 的方程；
（ii）记直线 $M Q, M R, M P$ 的斜率分别为 $k_{1}, k_{2}, k_{3}$ ，若 $\frac{k_{1} - k_{2}}{k_{3} - k_{2}} = 2$ ，求 $△ P F M$ 的面积．

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18、如图，梯形 $A B C D$ 中， $O$ 为 $D C$ 上一点， $A B = 2, A D = 2, A O = 2 \sqrt{3}$ ，且 $A O ⊥ A D, A O / / B C$ ，将 $△ D A O$ 沿着 $A O$ 翻折至 $P A O$ 所在位置，使得平面 $P A O ⊥$ 平面 $A B C O$ ，连接 $P B, P C$ ，得到四棱锥 $P - A B C O, E$ 为 $P B$ 的中点.

(1)、若 $F$ 为 $A O$ 的中点，证明： $E F$ $∥$ 平面 $P O C$ ；

(2)、在线段 $P C$ 上是否存在点 $M$ ，使得 $O M ⊥ A B$ ，若存在，求直线 $B M$ 与平面 $P A O$ 所成角的正弦值，若不存在，请说明理由.

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19、某所学校进行知识竞赛，最终甲乙同学进入决赛，争夺冠军，决赛一共有文化､科技､体育三个项目，比赛采取每个项目中回答对问题多的那个同学在该项目获胜并且获得20分，没获胜的同学得0分，三个项目比赛结束，总得分高的同学获得冠军，已知甲同学每个项目获胜的概率分别为 $\frac{4}{5}, \frac{1}{2}, \frac{2}{3}$ ，比赛没有平局，且每个项目比赛相互独立.

(1)、求乙同学总得分为40分的概率；

(2)、用 $X$ 表示甲同学的总得分，求 $X$ 的分布列与期望；

(3)、判断甲乙两名同学谁获得冠军的概率大.

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20、记 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，已知 $b^{2} = {(a + c)}^{2} - a c$ ．

(1)、求 $B$ ；

(2)、若 $b = 3$ ，求 $△ A B C$ 的周长的最大值；

(3)、若 $△ A B C$ 的面积为 $\sqrt{3}, D$ 为 $A C$ 的中点，且 $|A C| = 2 \sqrt{3}$ ，求 $B D$ 的长．

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$ξ$	$- 1$	1	3
P	m	$\frac{1}{3}$	$2 m - 1$