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相关试卷

1、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + y^{2} = 1 (a > 1)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}, P$ 是 $C$ 上任意一点， $O$ 为坐标原点， $P$ 到 $x$ 轴的距离为 $d$ ，则（）

A、 $4 | O P |^{2} - d^{2}$ 为定值 B、 $3 | O P |^{2} - d^{2}$ 为定值 C、 $| O P |^{2} + 4 d^{2}$ 为定值 D、 $| O P |^{2} + 3 d^{2}$ 为定值

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2、已知直线 $y = x + 1$ 与圆 $C : x^{2} + y^{2} = 5$ 相交于 $M, N$ 两点， $O$ 为坐标原点，则 $△ M O N$ 的面积为（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、2 C、 $\frac{5}{2}$ D、4

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3、如图，这是一件西周晚期的青铜器，其盛酒的部分可近似视为一个圆台（设上、下底面的半径分别为 $a$ 厘米， $b$ 厘米，高为 $c$ 厘米），则该青铜器的容积约为（取 $π = 3$ ）（）

A、 $c (a^{2} + a c + b^{2})$ 立方厘米 B、 $c (a^{2} - a c + b^{2})$ 立方厘米 C、 $c (a^{2} - a b + b^{2})$ 立方厘米 D、 $c (a^{2} + a b + b^{2})$ 立方厘米

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4、若向量 $\vec{a} = (- 1, 5)$ ， $\vec{b} = (x, x + 1)$ ， $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ，则 $x =$ （）

A、 $- \frac{1}{6}$ B、 $\frac{1}{6}$ C、 $- \frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{4}$

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5、在平面直角坐标系中，锐角 $α$ 、 $β$ 的终边分别与单位圆交于 $A$ 、 $B$ 两点．

(1)、如果 $A$ 点的纵坐标为 $\frac{5}{13}$ ， $B$ 点的横坐标为 $\frac{3}{5}$ ，求 $\cos (a + β)$ 的值；

(2)、若角 $a + β$ 的终边与单位圆交于 $C$ 点，经点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 分别作 $x$ 轴垂线，垂足分别为 $M$ 、 $N$ 、 $P$ ．求证：线段 $M A$ 、 $N B$ 、 $P C$ 能构成一个三角形；

(3)、探究第（2）小题中的三角形的外接圆面积是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．

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6、已知向量 $\overset{⃑}{a} = 3 \overset{⃑}{e_{1}} - 2 \overset{⃑}{e_{2}}$ ， $\overset{⃑}{b} = 4 \overset{⃑}{e_{1}} + \overset{⃑}{e_{2}}$ ，其中 $\overset{⃑}{e_{1}} = (1, 0)$ ， $\overset{⃑}{e_{2}} = (0, 1)$ ．

(1)、求 $\overset{⃑}{a} \cdot \overset{⃑}{b}$ ， $|\overset{⃑}{a} + \overset{⃑}{b}|$ ；

(2)、求 $\overset{⃑}{a}$ 与 $\overset{⃑}{b}$ 的夹角的余弦值．

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7、南宋数学家秦九韶在《数书九章》中提出“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上：以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实：一为从隅，开平方得积，可用公式 $S = \sqrt{\frac{1}{4} [c^{2} a^{2} - {(\frac{c^{2} + a^{2} - b^{2}}{2})}^{2}]}$ （其中a、b、c、S为三角形的三边和面积）表示.在 $△ A B C$ 中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，若 $b = 3$ ，且 $\frac{1 - \sqrt{3} \cos B}{\sqrt{3} \sin B} = \frac{\cos C}{\sin C}$ ，则 $△ A B C$ 面积的最大值是.

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8、已知点M是边长为2的正 $△ A B C$ 内一点，且 $\vec{A M} = λ \vec{A B} + μ \vec{A C}$ ，若 $λ + μ = \frac{1}{2}$ ，则 $\vec{M B} \cdot \vec{M C}$ 的最小值为.

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9、已知 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 均为单位向量，且满足 $3 \vec{a} + 4 \vec{b} + 5 \vec{c} = \vec{0}$ ，则 $\cos ⟨\vec{a} - \vec{b}, \vec{c}⟩ =$ .

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10、重庆荣昌折扇是中国四大名扇之一，荣昌折扇平面图为下图的扇形 $C O D$ ，其中 $∠ C O D = \frac{2 π}{3}$ ， $O C = 4 O A = 4$ ，动点 $P$ 在 $\overset{⌢}{C D}$ 上（含端点），连结 $O P$ 交扇形 $O A B$ 的弧 $\overset{⌢}{A B}$ 于点Q，且 $\vec{O Q} = x \vec{O C} + y \vec{O D}$ ，则下列说法正确的是（）

A、若 $y = x$ ，则 $x + y = 1$ B、若 $y = 2 x$ ，则 $\vec{O A} \cdot \vec{O P} = 0$ C、 $\vec{A B} \cdot \vec{O P} \geq - 2$ D、 $\vec{P A} \cdot \vec{P B} \geq \frac{23}{2}$

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11、已知 $z$ 是复数， $\bar{z}$ 是其共轭复数，则下列命题中正确的是（）

A、 $z^{2} = | z |^{2}$ B、若 $|z| = 1$ ，则 $|z - 1 - i|$ 的最大值为 $\sqrt{2} + 1$ C、若 $z = {(1 - 2 i)}^{2}$ ，则复平面内 $\bar{z}$ 对应的点位于第二象限 D、若 $1 - 3 i$ 是关于 $x$ 的方程 $x^{2} + p x + q = 0 (p, q \in R)$ 的一个根，则 $q = - 9$

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12、若将 $f (x) = 2 \sin (2 x + φ) (| φ | < \frac{π}{2})$ 的图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位后得到的图象关于y轴对称，则 $f (x)$ 在 $[0, \frac{π}{2}]$ 上的最小值为（）

A、 $- 2$ B、 $- \sqrt{3}$ C、 $- 1$ D、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$

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13、平面向量 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = \sqrt{3}$ ， $\vec{b} = (1, \sqrt{3})$ ， $|2 \vec{a} + \vec{b}| = 2 \sqrt{6}$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量为（）

A、 $(1, \sqrt{3})$ B、 $(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$ C、 $(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$ D、 $(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})$

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14、在正六边形 $A B C D E F$ 中， $\vec{A B} - \vec{C D} + \vec{C E} =$ （）

A、 $\vec{0}$ B、 $\vec{F C}$ C、 $2 \vec{B F}$ D、 $\vec{B E}$

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15、记 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 $\frac{1 - \sin A}{\cos A} = \frac{\sin B}{\cos B}$ ．

(1)、求 $A + 2 B$ 的值；

(2)、若 $a^{2} + 2 c^{2} \geq λ b^{2}$ ，求 $λ$ 的最大值．

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16、已知 $f (x) = \sqrt{3} \cos 2 x + 2 \sin (\frac{3 π}{2} + x) \sin (π - x)$ ， $x \in R$ ，
（1）求 $f (x)$ 的最小正周期及单调递减区间；
（2）已知锐角 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，且 $f (A) = - \sqrt{3}$ ， $a = 4$ ，求 $B C$ 边上的高的最大值．

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17、某企业要设计一款由同底等高的圆柱和圆锥组成的油罐（如图），设计要求：圆锥和圆柱的总高度与圆柱的底面半径相等，均为10m.

(1)、已知制作这种油罐的材料单价为1.5万元/m² ，则制作一个油罐所需费用为多少万元？

(2)、已知该油罐的储油量为0.95吨/m³ ，则一个油罐可储存多少吨油？

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18、如图，长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的体积是120，E为 $C C_{1}$ 的中点，则三棱锥E-BCD的体积是.

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19、已知 $\vec{e}$ 为单位向量， $|\vec{a}| = 6$ ，向量 $\vec{a}$ ， $\vec{e}$ 的夹角为 $\frac{3 π}{4}$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{e}$ 上的投影向量是.

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20、在 $△ A B C$ 中，内角 $A 、 B 、 C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $a = b \cos C + c cos B$ B、若 $(a + b + c) (a + b - c) = 3 a b$ ，且 $2 \cos A \sin B = \sin C$ ，则 $△ A B C$ 为等边三角形 C、若 $\sin 2 A = \sin 2 B$ ，则 $△ A B C$ 是等腰三角形 D、在 $△ A B C$ 中， $a = 1, b = x, ∠ A = 30^{\circ}$ ，则使 $△ A B C$ 有两解的 $x$ 的范围是 $(1, 2)$

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