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相关试卷

1、已知函数 $f_{n} (x) = {sin}^{n} x + {cos}^{n} x$ ，其中 $n = 2 k, k \in N^{*}$ ，记函数 $f_{2 k} (x)$ 的最小值为 $a_{k}$ ，若 $\forall λ > 0, \forall k \in N^{*}$ ，都有 $2 λ^{2} - t λ + 2 > \frac{a_{k}}{(2 k - 1)}$ ，则 $t$ 的取值范围为．

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2、已知正四面体 $P - A B C$ 中， $A B = 2 \sqrt{3}$ ，则该四面体内半径最大的球的表面积为.

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3、已知 $\vec{a} = (1, 2), \vec{b} = (3, - 2)$ ，则 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 上的投影向量为（用坐标表示）.

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4、已知抛物线 $E : x = \frac{1}{4} y^{2}$ 的焦点为 $F$ ，准线为 $l, l$ 与 $x$ 轴的交点为 $M$ ，过 $F$ 的直线与 $E$ 分别交于 $A, B$ 两点，则以下选项正确的是（）

A、 $F$ 坐标为 $(1, 0)$ B、当 $M A ⊥ M B$ 时， $|A B| = 4$ C、若 $|A F| \cdot |B F| = 16$ ，则 $S_{△ M A B} = 8 \sqrt{2}$ D、过点 $F$ 作与 $A B$ 垂直的直线与 $E$ 交于 $C, D$ 两点，则四边形 $A C B D$ 面积的最小值为32

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5、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = \frac{1}{2}, a_{n + 1} = \frac{a_{n}}{2 a_{n} + 3}, n \in N^{*}$ ，则（）

A、 $a_{3} = \frac{1}{26}$ B、若 $\frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} + \frac{1}{a_{3}} + \dots + \frac{1}{a_{n}} = 36$ ，则 $n = 3$ C、 $a_{n} = 3^{n} - 1$ D、若数列 $\{b_{n}\}$ 满足 $\frac{b_{n}}{3^{n}} = a_{n} a_{n + 1}$ ，记 $S_{n}$ 为 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，则 $S_{n} = \frac{1}{4} - \frac{1}{2 \cdot 3^{n + 1} - 2}$

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6、已知 ${(2 x - \frac{1}{x})}^{n}$ 的二项式系数和为64，则（）

A、 $n = 6$ B、常数项是第3项 C、二项式系数最大值为20 D、所有项系数之和等于1

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7、函数 $f (x) = \ln | 1 - x | + e^{(x^{2} - 2 x)}$ .若 $a = f (\frac{2}{3}), b = f (\frac{3}{2}), c = f ({log}_{2} 3)$ ，则 $a, b, c$ 的大小关系是（）

A、 $c > b > a$ B、 $b > c > a$ C、 $a > b > c$ D、 $b > a > c$

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8、已知双曲线 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，直线 $l$ 与 $E$ 的两条渐近线分别交于 $A, B$ 两点， $O$ 为坐标原点，若 $2 \vec{F_{2} A} = \vec{A B}, O A ⊥ A B$ ，则 $E$ 的离心率为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\sqrt{5}$ D、 $\frac{\sqrt{10}}{2}$

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9、“ $\exists x \in R$ ，使 $a x^{2} - 4 x - 3 > 0$ ”的一个充分不必要条件是（）

A、 $a \leq 0$ B、 $a < - \frac{4}{3}$ C、 $a \geq 1$ D、 $a < - \frac{4}{3}$ 或 $a \geq 0$

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10、在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = A D = 1, A A_{1} = 2, ∠ B A D = ∠ B A A_{1} = ∠ D A A_{1} = 60^{\circ}$ ，则直线 $D C_{1}, B_{1} C$ 所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{21}}{6}$ B、 $\frac{\sqrt{7}}{6}$ C、 $\frac{3}{14}$ D、 $\frac{3 \sqrt{21}}{14}$

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11、已知直线 $l$ 的一个方向向量为 $\vec{a} = (2, 1)$ ，则过点 $A (1, - 1)$ 且与 $l$ 垂直的直线方程为（）

A、 $x - 2 y - 3 = 0$ B、 $x - 2 y + 1 = 0$ C、 $2 x + y - 3 = 0$ D、 $2 x + y - 1 = 0$

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12、巴黎奥运会在2024年7月27日至8月12日举行，在这期间，中国视听大数据（CVB）显示，直播总观看户次超46亿，分天观看户次（亿）分别为：1.88，2.25，2.21，2.35，2.74，2.24，2.59，5.53，4.39，4.22，3.55，2.74，3.64，2.88，2.03，1.62，0.08．则这组数据的第25百分位数为（）

A、2.03 B、2.21 C、2.12 D、3.55

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13、已知各项均为正数的等比数列 $\{a_{n}\}, a_{7} = 4$ ，则 ${log}_{2} a_{3} + {log}_{2} a_{11} =$ （）

A、2 B、3 C、4 D、5

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14、已知 ${|1 + i|}^{2} z = 3 + 4 i$ ，则 $z$ 的虚部为（）

A、 $- \frac{3}{2} i$ B、 $- \frac{3}{2}$ C、 $2 i$ D、2

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15、在等差数列 $\{a_{n}\}$ 和等比数列 $\{b_{n}\}$ 中， $a_{i}$ 和 $b_{i}$ 是下表第i行中的数（ $i = 1, 2, 3$ ），且 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， $a_{3}$ 中的任何两个数不在同一列， $b_{1}$ ， $b_{2}$ ， $b_{3}$ 中的任何两个数也不在同一列.

第一列
第二列
第三列
第四列
第一行
1
2
3
4
第二行
5
6
7
8
第三行
9
10
11
12

(1)、请问满足题意的数列 $\{a_{n}\}$ 和 $\{b_{n}\}$ 各有多少个？写出它们的通项公式（无需说明理由）；

(2)、若 $\{b_{n}\}$ 的公比为整数，且 $a_{1} + b_{1} = 6$ .数列 $\{c_{n}\}$ 满足 $a_{n} a_{n + 1} c_{n} + (a_{n} - 3) b_{n + 1} = 0$ ，求 $\{c_{n}\}$ 的前n项和 $S_{n}$ .

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16、因部分乘客可能误机，航空公司为减少座位空置损失，会对热门航班售卖超过实际座位数的机票，简称“超售”.已知某次热门航班的信息如下：①票价1000元，有195个座位，航空公司超售了5张票；②每一位乘客准时乘机的概率为 $0.95$ ，航空公司对误机乘客不予以退费；③对于在超售情况下，如出现满座导致个别旅客不能按原定航班成行，航空公司会让受到影响的乘客乘坐下一趟非热门航班，并赔偿每人500元.

(1)、求该次航班不会发生赔偿事件的概率；

(2)、航空公司在该次航班的收入记为Y，求 $E (Y)$ .
参考数据：若 $X ~ B (200, 0.05)$ ，则X的分布列部分数据的近似值如下：
X
0
1
2
3
4
5
6
…
P
0
0
0.002
0.007
0.017
0.036
0.061
…

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17、如图，将一个棱长为2的正方体沿相邻三个面的对角线截出多面体 $A B C D A_{1} C_{1} D_{1}$ ， E是 $B C_{1}$ 的中点.过点C，E， $D_{1}$ 的平面 $α$ 与该多面体的面相交，交线围成一个多边形.

(1)、在图中画出该多边形（说明作法和理由），并求其面积；

(2)、求平面 $α$ 与平面 $A_{1} B C_{1}$ 的夹角的余弦值.

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18、已知函数 $f (x) = \ln x$ ， $g (x) = 1 - \frac{a}{x} (x > 0, a \in R)$ .

(1)、若曲线 $y = f (x)$ 在点 $P (1, 0)$ 处的切线与曲线 $y = g (x)$ 也相切，求a；

(2)、若 $f (x)$ 图象恒在 $g (x)$ 图象的上方，求a的取值范围.

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19、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} e^{x + 1}, x \leq 0, \\ \sqrt{2} \sin x, 0 < x \leq π \end{array}$ ，若 $y = f (x) - a (a \in R)$ 有三个零点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ，则实数a的取值范围为；若 $x_{1} < x_{2} < x_{3}$ ，则 $x_{1} + 2 x_{2} + 3 x_{3}$ 的最大值为.

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20、已知 $△ A B C$ 的面积为 $\sqrt{3}$ ， $A = \frac{2 π}{3}$ ， $\vec{B A} \cdot \vec{B C} = 6$ ，则 $A C =$ .

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	第一列	第二列	第三列	第四列
第一行	1	2	3	4
第二行	5	6	7	8
第三行	9	10	11	12

X	0	1	2	3	4	5	6	…
P	0	0	0.002	0.007	0.017	0.036	0.061	…