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相关试卷

1、已知直三棱柱 $A B C - A^{'} B^{'} C^{'}$ 满足 $∠ B A C = 90 °$ ， $A B = A C = \frac{1}{2} A A^{'} = 2$ ，点 $M$ ， $N$ 分别为 $A^{'} B$ ， $B^{'} C^{'}$ 的中点.

(1)、求证： $M N$ $∥$ 平面 $A^{'} A C C^{'}$ ；

(2)、求证： $A^{'} N ⊥$ 平面 $B C N$ .

(3)、求三棱锥 $C - M N B$ 的体积.

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2、在海岸A处，发现北偏东45°方向，距离A处 $(\sqrt{3} - 1) nmile$ 的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°的方向，距离A处 $2 nmile$ 的C处的缉私船奉命以 $10 \sqrt{3} nmile/h$ 的速度追截走私船.此时，走私船正以 $10 nmile/h$ 的速度从B处向北偏东30°方向逃窜.

(1)、求线段 $B C$ 的长度；

(2)、求 $∠ A C B$ 的大小；

(3)、问缉私船沿北偏东多少度的方向能最快追上走私船?最快需要多长时间?参考数值： $\sin 15 ° = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ ， $\cos 15 ° = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

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3、已知如图正四棱柱和正四棱锥的高相等，且底面边长均为2，若该几何体的所有顶点都在同一个球的表面上，则这个球的表面积为．

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4、已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ， $a + b - \frac{1}{2 a} - \frac{2}{b} = \frac{3}{2}$ ，则以下正确的是（）

A、若 $a < b$ ，则 $a < 1$ B、若 $a < 1$ ，则 $b > 2$ C、 $a + b$ 最小值为3 D、 $a b$ 最大值为2

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5、若 ${log}_{a} b > 1$ ，则下列不等式一定成立的是（）

A、 $a > b$ B、 $a b < a + b - 1$ C、 $a + \frac{1}{b} > b + \frac{1}{a}$ D、 $a - \frac{1}{b} < b - \frac{1}{a}$

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6、设 $z$ 是复数且 $|z - 1 + 2 i| = 1$ ，则 $|z|$ 的最小值为（）

A、1 B、 $\sqrt{3} - 1$ C、 $\sqrt{5} - 1$ D、 $\sqrt{5}$

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7、已知函数 $f (x) = m \cdot 4^{x} - 2^{x}$ ，若存在非零实数 $x_{0}$ ，使得 $f (- x_{0}) = f (x_{0})$ 成立，则实数 $m$ 的取值范围是.

A、 $(0, \frac{1}{2})$ B、 $(0, 2)$ C、 $[\frac{1}{2}, + \infty)$ D、 $[2, + \infty)$

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8、已知向量 $\vec{a} = (1, 2), \vec{b} = (3, 1)$ ，向量 $\vec{c}$ 满足 $\vec{c} ⊥ \vec{a}$ ， $\vec{a} / / (\vec{c} + \vec{b})$ ，则 $\vec{c} =$ （　　）

A、 $(- 2, - 1)$ B、 $(2, - 1)$ C、 $(- 2, 1)$ D、 $(2, 1)$

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9、 $α \neq β$ 是 $\sin α \neq \sin β$ 的（）

A、充分非必要条件 B、必要非充分条件 C、充分必要条件 D、既非充分又非必要条件

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10、如图，长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = m$ ， $A D = A A_{1} = 1$ ，点 $M$ 是棱 $C D$ 的中点．

(1)、求异面直线 $B_{1} C$ 与 $A C_{1}$ 所成的角的大小；

(2)、当实数 $m = \sqrt{2}$ ，证明：直线 $A C_{1}$ 与平面 $B M D_{1}$ 垂直；

(3)、若 $m = 2$ ．设 $P$ 是线段 $A C_{1}$ 上的一点（不含端点），满足 $\frac{A P}{A C_{1}} = λ$ ，求 $λ$ 的值，使得三棱锥 $B_{1} - C D_{1} C_{1}$ 与三棱锥 $B_{1} - C D_{1} P$ 的体积相等．

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11、如图所示正四棱锥 $S - A B C D$ ， $S A = S B = S C = S D = 2$ ， $A B = \sqrt{2}$ ， $P$ 为侧棱 $S D$ 上的点，且 $S P = 3 P D$ ，求：

(1)、若 $M$ 为 $S A$ 的中点，求证： $S C / /$ 平面 $B M D$ ；

(2)、侧棱 $S C$ 上是否存在一点 $E$ ，使得 $B E / /$ 平面 $P A C$ ．若存在，求 $\frac{S E}{E C}$ 的值；若不存在，试说明理由．

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12、已知向量 $\overset{⃑}{a} + \overset{⃑}{b} + \overset{⃑}{c} = \overset{⃑}{0}$ ， $|\overset{⃑}{a}| = 1$ ， $|\overset{⃑}{b}| = |\overset{⃑}{c}| = 2$ ， $\overset{⃑}{a} \cdot \overset{⃑}{b} + \overset{⃑}{b} \cdot \overset{⃑}{c} + \overset{⃑}{c} \cdot \overset{⃑}{a} =$ ．

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13、如图，已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为 $2 ， P$ 为正方形底面 $A B C D$ 内的一动点，则下列结论正确的有（）

A、三棱锥 $B_{1} - A_{1} D_{1} P$ 的体积为定值 B、存在点 $P$ ，使得 $D_{1} P ⊥ A D_{1}$ C、若 $D_{1} P ⊥ B_{1} D$ ，则 $P$ 点在正方形底面 $A B C D$ 内的运动轨迹长度为 $2 \sqrt{2}$ D、若点 $P$ 是 $A D$ 的中点，点 $Q$ 是 $B B_{1}$ 的中点，过 $P, Q$ 作平面 $α ⊥$ 平面 $A C C_{1} A_{1}$ ，则平面 $α$ 截正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 所得截面的面积为 $3 \sqrt{3}$

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14、在 $△ A B C$ 中，已知 $\sqrt{3} a \cos \frac{A + C}{2} = b \sin A, b = \sqrt{3}$ ，则下列说法正确的是（）

A、当 $\sqrt{3} < c < 2$ 时，此三角形有两解 B、 $△ A B C$ 面积最大值为 $\frac{3 \sqrt{3}}{4}$ C、 $△ A B C$ 的外接圆半径为2 D、若 $c = 1$ ，则此三角形一定是直角三角形

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15、已知复数 $z = (m^{2} + 2 m - 3) + (m - 1) i$ ，其中 $m$ 为实数， $i$ 为虚数单位，则（）

A、若 $z$ 为纯虚数，则 $m = 1$ 或 $- 3$ B、若复平面内表示复数 $z$ 的点位于第四象限，则 $m < - 3$ C、若 $m = 2$ ，则 $\bar{z}$ 的虚部为 $- i$ D、若 $z = a - 2 i (a \in R)$ ，则 $| z | = 2 \sqrt{5}$

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16、在 $△ A B C$ 中， $A B = 1$ ， $A C = 2$ ， $∠ B A C = 60 °$ ， $P$ 是 $△ A B C$ 的外接圆上的一点，若 $\overset{⃑}{A P} = m \overset{⃑}{A B} +$ $n \overset{⃑}{A C}$ ，则 $m + n$ 的最小值是（）

A、 $- 1$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $- \frac{1}{3}$ D、 $- \frac{1}{6}$

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17、“中国天眼”射电望远镜的反射面的形状为球冠（球冠是球面被平面所截后剩下的曲面，截得的圆面为底，垂直于圆面的直径被截得的部分为高，球冠面积 $S = 2 π R h$ ，其中R为球的半径， $h$ 为球冠的高），设球冠底的半径为r，周长为C，球冠的面积为S，则当 $C = 2 \sqrt{10} π$ ， $S = 14 π$ 时， $\frac{r}{R} =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{10}}{7}$ B、 $\frac{2 \sqrt{10}}{7}$ C、 $\frac{\sqrt{10}}{8}$ D、 $\frac{\sqrt{10}}{4}$

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18、如图的平面图形由16个全部是边长为2且有一个内角为 $60^{\circ}$ 的菱形组成，那么图形中的向量 $\vec{A B}, \vec{C D}$ 的数量积 $\vec{A B} \cdot \vec{C D} =$ （）

A、34 B、 $20 + 14 \sqrt{3}$ C、6 D、15

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19、如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为自豪的发现，我们来重温这个伟大发现，圆柱的表面积与球的表面积之比为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、2 C、 $\frac{3}{2}$ D、 $\frac{4}{3}$

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20、已知向量 $\vec{e_{1}}$ ， $\vec{e_{2}}$ 是平面上两个不共线的单位向量，且 $\vec{A B} = \vec{e_{1}} + 2 \vec{e_{2}}$ ， $\vec{B C} = - 3 \vec{e_{1}} + 2 \vec{e_{2}}$ ， $\vec{D A} = 3 \vec{e_{1}} - 6 \vec{e_{2}}$ ，则（）

A、 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 三点共线 B、 $A$ 、 $B$ 、 $D$ 三点共线 C、 $A$ 、 $C$ 、 $D$ 三点共线 D、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 三点共线

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