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相关试卷

1、将正整数 $n$ 分解成两个正整数 $k_{1} ､ k_{2}$ 的积，即 $n = k_{1} \cdot k_{2}$ ，当 $k_{1} ､ k_{2}$ 两数差的绝对值最小时，我们称其为最优分解.如 $20 = 1 \times 20 = 2 \times 10 = 4 \times 5$ ，其中 $4 \times 5$ 即为20的最优分解，当 $k_{1}, k_{2}$ 是 $n$ 的最优分解时，定义 $f (n) = |k_{1} - k_{2}|$ ，则数列 $\{f (5^{n})\}$ 的前2023项和为.

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2、数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 2, a_{n + 1} = \frac{2 (n + 2)}{n + 1} a_{n} (n \in N^{*})$ ，则 $\frac{a_{2017}}{a_{1} + a_{2} + \dots + a_{2016}} =$ ．

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3、已知函数 $f (x) = \sin (ω x + \frac{π}{6}) + \frac{1}{2} (ω > 0)$ 在区间 $(0, \frac{π}{2})$ 上有且仅有两个零点，则 $ω$ 的取值范围是.

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4、如图 $P_{1}$ 是一块半径为1的半圆形纸板，在 $P_{1}$ 的左下端剪去一个半径为 $\frac{1}{2}$ 的半圆后得到图形 $P_{2}$ ，然后依次剪去一个更小半圆（其直径为前一个被剪掉半圆的半径）得圆形 $P_{3}$ 、 $P_{4}$ 、……、 $P_{n}$ …，记纸板 $P_{n}$ 的面积为 $S_{n}$ ，则 $\lim_{n \to \infty} S_{n} =$ .

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5、若将函数 $y = \sin 2 x$ 的图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，则平移后得到的函数图象的解析式为．

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6、方程 ${log}_{9} x = sin 2 x$ 的实数解的个数为个.

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7、已知等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n} = 2 \times 3^{n} + k$ ，则 $S_{4} =$ .

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8、等差数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} = 1, S_{10} = 100$ ，若 $a_{n} = {log}_{2} b_{n}$ ，则 $b_{1} + b_{2} + b_{3} + b_{4} + b_{5} =$ .

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9、已知数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 3$ ， $a_{n + 1} - 2 = \frac{1}{2} (a_{n} - 2)$ ，则通项公式 $a_{n} =$ ．

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10、若 $\sqrt{2}$ ， $x$ ， $2 \sqrt{2}$ 成等比数列，则 $x =$ .

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11、函数 $y = \tan (2 x - \frac{π}{6})$ 的最小正周期为．

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12、解决问题

(1)、如图1，正四棱锥 $P - A B C D$ ， $A B = P A = 4$ ．
（ⅰ）求此四棱锥的外接球的体积；
（ⅱ） $M$ 为 $P C$ 上一点，求 $M A + M B$ 的最小值；

(2)、将边长为4a的正方形铁皮用剪刀剪切后，焊接成一个正四棱锥（含底面），并保持正四棱锥的表面与正方形的面积相等，在图2中用虚线画出剪刀剪切的轨迹，并求焊接后的正四棱锥的体积．

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13、如图，在 $△ A B C$ 中， $D$ 是 $A B$ 的中点， $\vec{E B} = \frac{1}{3} \vec{C B}$ ．

(1)、若 $A C = 2 B C = 2$ ， $∠ A C B = 60^{\circ}$ ，求 $|\vec{C D}|$ ；

(2)、若 $\vec{C O} = λ \vec{C D}$ ，求 $λ$ 的值．

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14、某种“笼具”由内、外两层组成，无下底面，内层和外层分别是一个圆锥和一个圆柱，其中圆柱与圆锥的底面周长相等，圆柱有上底面，已知圆柱的底面周长为 $24 πcm$ ，高为 $30 cm$ ，圆锥的母线长为 $20 cm$ ．

(1)、求这种“笼具”的体积（结果精确到 $0.1 {cm}^{3}$ ）；

(2)、现要使用一种纱网材料制作50个“笼具”，该材料的造价为每平方米8元，共需多少元？（结果精确到1元）

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15、已知复数 $z_{1} = - 1 + 3 i, z_{2} = 1 + 2 i, \frac{1}{z} = \frac{1}{z_{1}} + \frac{1}{z_{2}}$ .

(1)、求 $z$ ；

(2)、在复平面内，复数 $z_{1}, z_{2}$ 对应的向量分别是 $\vec{O A}, \vec{O B}$ ，其中 $O$ 是原点，求 $∠ A O B$ 的大小.

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16、已知圆锥的侧面积为 $8 π$ ，且圆锥的侧面展开图恰好为半圆，则该圆锥外接球的表面积为．

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17、在 $△ A B C$ 中， $A B = 2, A C = 4, ∠ B A C = 60 °$ ， $M$ 为边 $B C$ 的中点， $N$ 为 $A C$ 的中点. $A M, B N$ 相交于点 $P$ .则 $∠ M P N$ 的余弦值为.

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18、在复平面内， $O$ 是原点，向量 $\overset{⇀}{O A}$ 对应的复数是 $2 + i$ ，若点 $A$ 关于实轴的对称点为 $B$ ，则向量 $\overset{⇀}{O B}$ 对应的复数是.

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19、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的边分别为 $a, b, c$ ，知 $B = 60^{°}$ ， $b = 4$ ，则下列判断中正确的是（）

A、若 $A = \frac{π}{4}$ ，则 $a = \frac{4 \sqrt{6}}{3}$ B、若 $a = \frac{9}{2}$ ，该三角形只有一解 C、 $△ A B C$ 周长的最小值为12 D、 $△ A B C$ 面积的最大值 $4 \sqrt{3}$

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20、下列说法正确的是（）

A、复数 $- 2 - i$ 的虚部为 $- i$ B、 $z_{1}, z_{2} \in C$ ，若 $z_{1} z_{2} = 0$ ，则 $z_{1} = 0$ 或 $z_{2} = 0$ C、若 $|z| = 1, z \in C$ ，则 $|z - 2|$ 的最小值为1 D、若 $- 4 + 3 i$ 是关于 $x$ 的方程 $x^{2} + p x + q = 0 (p, q \in R)$ 的根，则 $p = 8$

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