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相关试卷

1、为了保护学生视力，课桌和椅子的高度是按照一定关系配套设计的。某品牌课桌的高度y cm 与椅子的高度x cm之间满足y=1.6x+m的关系，若38 cm高的椅子配套的桌子高度为71.8cm 。则与一张高度75 cm的桌子配套的椅子高度为cm。

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2、水果店里西瓜的单价是5元/千克，视频讲解桃子的单价是8元/千克，买了a千克西瓜和b千克桃子，一共要用元；当a=4.6，b=3.5时，一共用去元。

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3、如图，在△ABC中，AB=AC=5，D为BC中点，AD=4，P为AD上任意一点，E为AC上任意一点，求PC+PE的最小值。

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4、如图，一只蚂蚁想从圆柱形水桶外侧的A 点爬到内侧的B 点寻找食物，已知A 点到桶口的距离AC=20厘米，B点到桶口的距离BD=16厘米，圆弧CD长15厘米，蚂蚁爬行的最短路程是厘米。

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5、有甲、乙、丙三种大小不同的正方体木块，其中甲的棱长是乙的棱长的 $\frac{1}{2}$ ，乙的棱长是丙的棱长的 $\frac{2}{3}$ 。如果用甲、乙、丙三种木块拼成一个体积尽可能小的大正方体(每种至少用一块)，那么最少需要这三种木块一共块。

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6、在矩形纸片ABCD 中，AB=4，BC=6，将该矩形纸片剪去3个等腰直角三角形，所有剪法中剩余部分面积的最小值是。

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7、一个圆形的草地中央有一个与之同心的圆形花坛，在花坛圆周和视频讲解草地圆周上各有3个不同的点，安放了洒水的喷头，现用直管将这些喷头连上，要求任意两个喷头都能被一根直管连通，至少需要（）根直管。(一根直管上可以连接多个喷头)

A、3 B、4 C、5 D、6 E、7 F、8 G、20 H、30

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8、平面内有五条直线两两相交，最多有x个交点，最少有y个交点，则x+y=。

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9、阅读下列材料，并解决后面的问题。
【阅读材料】我国是历史上较早发现并运用“勾股定理”的国家之一。我国古代把直角三角形中较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”，“勾股定理”因此而得名。
勾股定理：如果直角三角形两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么 $a^{2} + b^{2} = c^{2},$ 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。请运用“勾股定理”解决以下问题：

(1)、如图①，分别以直角三角形的边为边长作正方形，其中 $S_{1} = 144, S_{2} = 25,$ 则 $S_{3} =$ 。

(2)、如图②，△ABC是直角三角形， $∠ A B C$ 为直角，以三角形的三条边为直径分别画甲、乙、丙三个半圆，求甲、乙、丙三个半圆之间的面积关系。

(3)、如图③，直角三角形ABC 的两条直角边，AC=4cm，BC=3cm，以AC、BC为边作两个正方形AC-DE和BCFG，再以AB为边作正方形ABMN。若N点刚好落在DE上，BD交MN于P，AF交BM于T，则图中阴影部分的总面积为多少?

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10、勾股定理是一个有关直角三角形三边关系的结论：“直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。”如果用a，b，c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么 $a^{2} + b^{2} = c^{2} 。$
例如：如图①，在直角 $△ A B C$ 中，两直角边AC和BC的长分别为3和4，则斜边 $A B^{2} = A C^{2} + B C^{2} = 3^{2} + 4^{2} = 25,$ 所以AB=5；
反过来，“如果一个三角形三条边满足其中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形。”
例如：在 $△ A B C$ 中，若.AB=5，AC=3，BC=4，因为 $A C^{2} + B C^{2} = 3^{2} + 4^{2} = 25, A B^{2} = 5^{2} = 25,$ 所以. $A C^{2} +$ $B C^{2} = A B^{2},$ 那么 $△ A B C$ 就是直角三角形。
阅读以上材料，解答下面的问题：

(1)、如图②，在正方形ABCD中，AB=4，DE=2，CF=3，求 $B E^{2} 、 E F^{2} 、 B F^{2}$ 的值，并判断三角形BEF 是不是直角三角形；

(2)、如图③，在四边形ABCD中， $∠ B = 9 0^{\circ}, A B = 3, B C = 4, C D = 12, A D = 13$ ，求四边形ABCD 的面积。

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11、在数学尤其是数论领域中，有时需要略去一个实数的小数部分只研究它的整数部分，或需要略去整数部分只研究它的小数部分，因而引入高斯记号。用[x]表示不超过x的最大整数，用{x}表示x的非负纯小数，即 $\{x\} = x - [x] 。$
例如：| $[3.14] = 3, \{3.14\} = 3.14 - 3 = 0.14 。$

(1)、解方程：5x+2[x]=31；

(2)、满足 $7 \{x\} + [x] = 20$ 的所有x的和是多少?

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12、数学期望是描述概率事件的一种重要工具，比如一个标准的骰子六个面，每个面写1到6这六个数之一，扔一次骰子每个面出现的概率都是 $\frac{1}{6},$ 它的数学期望为 $E = \frac{1}{6} \times 1 + \frac{1}{6} \times 2 + \frac{1}{6} \times 3 + \frac{1}{6} \times 4 + \frac{1}{6} \times 5 + \frac{1}{6} \times 6 = \frac{7}{2} 。$

(1)、一个运动员打靶，他命中10环的概率为0.1，9环的概率为0.2，8环的概率为0.4，7环的概率为0.3，问他打靶的期望为多少?

(2)、在A 中学和B中学两所中学中选取一名男生和一名女生参加比赛，A中学候选人为3男2女，B中学候选人为2男4女，问：A中学入选人数的期望是多少?

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13、邻边互不相等的长方形纸片，剪去一个正方形，余下一个四边形，称为第一次操作；在余下的四边形纸片中再剪去一个正方形，又余下一个四边形，称为第二次操作；……；依此类推，若第n次操作后余下的四边形是正方形，则称原长方形为n阶准正方形。(例如，若第3次操作后余下的四边形是正方形，则称原长方形为3阶准正方形)如图①，长方形ABCD中，若AB=1，BC=2，则长方形ABCD为1阶准正方形。

(1)、判断与推理：①小明为了剪去一个正方形，进行如下操作：如图②，把长方形ABCD 沿BE 折叠，使点A 与点 F 重合，则四边形ABFE一定是形；
②如图③，邻边长分别为2和3的长方形是阶准正方形。

(2)、操作、探究与计算：若长方形ABCD的邻边长分别为2，(a(a>2)，且是3阶准正方形，请画出长方形ABCD及裁剪线的示意图，并在图形下方写出a的值。(画出一种即可)

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14、
【阅读理解】如图①， $△ A B C$ 中，沿 $∠ B A C$ 的平分线 $A B_{1}$ 折叠，剪掉重叠部分，将余下部分沿 $∠ B_{1} A_{1} C$ 的平分线 $A_{1} B_{2}$ 折叠，剪掉重叠部分；……；将余下部分沿 $∠ B_{n} A_{n} C$ 的平分线 $A_{n} B_{n + 1}$ 折叠，点Bn与点C 重合。无论折叠多少次，只要最后一次恰好重合，我们就称 $∠ B A C$ 是 $△ A B C$ 的“好角”。
小明展示了确定 $∠ B A C$ 是 $△ A B C$ 的好角的两种情形，
情形一：如图②，沿等腰 $△ A B C$ 顶角 $∠ B A C$ 的平分线 $A B_{1}$ 折叠，点B 与点 C 重合；
情形二：如图③，沿 $△ A B C$ 顶角 $∠ B A C$ 的平分线 $A B_{1}$ 折叠，剪掉重叠部分；将余下部分沿 $∠ B_{1} A_{1} C$ 的平分线 $A_{1} B_{2}$ 折叠，此时点 $B_{1}$ 与点C重合。

(1)、△ABC中， $∠ B = 2 ∠ C,$ ，经过两次折叠，问. $∠ B A C$ △ABC的好角；(填写“是’或“不是”)

(2)、①小明经过三次折叠发现了. $∠ B A C$ 是 $△ A B C$ 的好角，请探究 $∠ B$ 与 $∠ C$ (假设 $∠ B > ∠ C)$ 之间的等量关系为；
②根据以上内容猜想：若经过n次折叠 $∠ B A C$ 是 $△ A B C$ 的好角，则. $∠ B$ 与 $∠ C$ (假设 $∠ B > ∠ C)$ 之间的等量关系为。

(3)、如果一个三角形的最小角是 $1 0^{\circ}$ ，且满足该三角形的三个角均是此三角形的好角，求此三角形另外两个角的度数。

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15、如图①，射线 OC 是 $∠ A O B$ 内部的一条射线，若 $∠ C O A = \frac{1}{2} ∠ B O C,$ 则我们称射线 OC 是射线 OA 的伴随线。例如，如图②， $∠ A O B = 6 0^{\circ}, ∠ A O C = ∠ C O D = ∠ B O D = 2 0^{\circ},$ ，则 $∠ A O C = \frac{1}{2} ∠ B O C,$ 称射线 OC 是射线 OA 的伴随线，同时，由于 $∠ B O D = \frac{1}{2} ∠ A O D,$ 则称射线 OD 是射线OB 的伴随线。

(1)、如图③，若 $∠ A O B = 12 0^{\circ},$ ，射线 OM 是射线 OA 的伴随线，则 $∠ A O M =$ 。

(2)、如图④， $∠ A O B = 18 0^{\circ},$ ，射线OC与射线OA 重合，并绕点O 以每秒： $3^{\circ}$ 的速度逆时针旋转，射线OD 与射线OB重合，并绕点O以每秒； $5^{\circ}$ 的速度顺时针旋转，当射线OD 与射线OA 重合时，运动停止。
①是否存在某个时刻t(秒)，使得 $∠ C O D$ 的度数是 $2 0^{\circ},$ 若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
②若射线OD在 $∠ A O B$ 内部，当 $t =$ ▲ 秒时，射线OC、OD、OA 中恰好有一条射线是其余两条射线的伴随线。(请直接写出答案)

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16、已知点 M 是锐角三角形内部的一个点，如果以M 点为端点，可以画15 条射线，恰好把△ABC 分割为15个面积相等的小三角形，则称点M是“好点”。

(1)、如图，若点O 是△ABC的一个“好点”，在经过△ABC三个顶点的射线OA、OB、OC 将三角形分成的△OAB、△OBC、△OAC中，若△OAB和△OBC的面积相等，且△ABC的面积为1，则 $△ O A C$ 的面积可能是多少?

(2)、请探索△ABC 内部共有多少个“好点”?

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17、如图①，点Z将线段AB分成AZ和BZ两部分。若AZ=πBZ或BZ=πAZ，则称点Z 是线段AB 的祖冲之点。

(1)、若线段AB=4，Z是线段AB 的祖冲之点，且AZ>BZ，则AZ=；

(2)、若点 M、N均为线段OD 的祖冲之点，求线段MN的长度；

(3)、在图②中，点P从点O出发，以3个单位长度/秒的速度沿数轴向右运动；同时，点Q从点D 出发，以1个单位长度/秒的速度沿数轴向右运动，运动时间为t秒。在点P、D、Q三个点中，当点D和P 分别为其余两点所构成线段的祖冲之点时，直接写出t的值。

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18、数学中，由m×n个数排成的m行n列的数表称为m行n列的矩阵，简称m×n矩阵。记作：
$[\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 n} \\ \dots & \dots & \dots \\ a_{m 1} & a_{m 2} & \dots & a_{m n} \end{array}]$
其中，这m×n个数称为矩阵A的m×n个元素，数 aij位于矩阵A的第i行第j $a_{i j}$ 列，m×n的矩阵A 也记作. $A_{m n} 。$
例如：2×2的矩阵 $A = [\begin{array}{rr} 1 & - 2 \\ 3 & 1 \end{array}]$ 其中 $a_{11} = 1, a_{12} = - 2, a_{21} = 3, a_{22} = 1 。$
矩阵运算在科学计算中非常重要，矩阵的基本运算包括矩阵的加法，乘法，转置等。
加法：行数和列数分别相等的两个矩阵可以进行加法运算，将两个矩阵各个位置对应元素之和作为和矩阵的元素。如： $[\begin{array}{lll} 1 & 4 & 2 \\ 2 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{lll} 0 & 0 & 5 \\ 7 & 5 & 0 \end{array}] = [\begin{array}{ccc} 1 + 0 & 4 + 0 & 2 + 5 \\ 2 + 7 & 0 + 5 & 1 + 0 \end{array}] = [\begin{array}{ccc} 1 & 4 & 7 \\ 9 & 5 & 1 \end{array}] 。$
乘法：当第一个矩阵的列数和第二个矩阵的行数相等时，两个矩阵可以进行乘法运算，将第一个矩阵的第i行的各个元素与第二个矩阵的第j列的对应元素的乘积之和作为乘积矩阵的第i行第j列的元素。
如： $[\begin{array}{ll} 3 & 1 \end{array}] [\begin{array}{l} 2 \\ 4 \end{array}] = [3 \times 2 + 1 \times 4] = [10]$
$[\begin{array}{rrr} 1 & 0 & 2 \\ - 1 & 3 & 1 \end{array}] [\begin{array}{ll} 3 & 1 \\ 2 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}]$ = $[\begin{array}{rr} 1 \times 3 + 0 \times 2 + 2 \times 1 & 1 \times 1 + 0 \times 1 + 2 \times 0 \\ - 1 \times 3 + 3 \times 2 + 1 \times 1 & - 1 \times 1 + 3 \times 1 + 1 \times 0 \end{array}]$ = $[\begin{array}{ll} 5 & 1 \\ 4 & 2 \end{array}]$ 。
转置：把矩阵A的行和列互相交换位置所产生的矩阵称为A 的转置矩阵 $A^{T},$ 如：
${[\begin{matrix} 1 & - 4 & 2 \\ 2 & 0 & 1 \end{matrix}]}^{T} = [\begin{matrix} 1 & 2 \\ - 4 & 0 \\ 2 & 1 \end{matrix}] 。$
请根据以上材料回答下列问题：

(1)、已知矩阵 $M = [\begin{array}{rrr} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 3 & 0 & - 1 \end{array}]$ 求 $M^{T};$

(2)、已知矩阵 $A = [\begin{array}{rr} 2 & - 2 \\ - 3 & 4 \end{array}], B = [\begin{array}{rr} 2 & 0 \\ 1 & - 1 \end{array}]$ 分别求A+B，AB；

(3)、若实数x，y满足： ${[\begin{matrix} 1 & 1 \\ - 1 & 2 \end{matrix}]}^{T} [\begin{matrix} x & 2 \\ y & 0 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 1 & 2 \\ 7 & 2 \end{matrix}],$ 求x，y的值。

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19、若数p，q满足p+q= pq，则称“p，q”为“等效数对”，如：“2，2”，因为2+2=2×2，所以“2，2”是“等效数对”。

(1)、通过计算判断“3， $\frac{3}{2} ”$ 是不是“等效数对”；

(2)、若“x+1，4”是“等效数对”，求x的值；

(3)、已知“p，q”是“等效数对”，求代数式2023-2022pq+2022p+2022q的值。

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20、已知：如果a的x次方等于N(a>0，且a不等于1)，那么数x叫做以a为底N的对数(logarithm)，记作x=log_aN。其中，a 叫做对数的底数，N叫做真数，x叫做“以a为底N的对数”。例如：2 $2^{3} = 8,$ 那么 $3 = {l o g}_{2} 8; 5^{4} = 625,$ 那么 $4 = {l o g}_{5} 625 。$
对数的性质： ${l o g}_{a} M N = {l o g}_{a} M + {l o g}_{a} N; {l o g}_{a} \frac{M}{N} = {l o g}_{a} M - {l o g}_{a} N; {l o g}_{a} M^{n} = n {l o g}_{a} M; {l o g}_{a} b = \frac{{l o g}_{c} b}{{l o g}_{c} a}$
根据以上材料回答下列问题：

(1)、请计算：
${l o g}_{4} 64 =$ ； ${l o g}_{2014} 2014 =$ 。

(2)、如果 ${l o g}_{3} M = 4,$ 那么M=。

(3)、计算： $\frac{{l o g}_{2} 36}{{l o g}_{2} 6} =$ 。

(4)、已知a=log₃2，那么 ${l o g}_{3} 8 - 2 {l o g}_{3} 6$ 的结果用a 表示为（）。

A、a-2 B、5a-2 C、 $3 a - {(1 + a)}^{2}$ D、 $3 a - a^{2} - 1$

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