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相关试卷

1、已知 $F_{1}, F_{2}$ 是椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的两个焦点， $P$ 为椭圆 $C$ 上的一点，且 $\vec{P F_{1}} ⊥ \vec{P F_{2}}$ ，若 $△ P F_{1} F_{2}$ 的面积为9，则 $b$ 的值为．

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2、多项式 ${(2 a - b)}^{2} {(a + b)}^{8}$ 的展开式中， $a^{3} b^{7}$ 的系数是.

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3、若 $f (x) = x^{3} - f^{'} (1) x^{2} + x + 5$ ，则 $f^{'} (1) =$ .

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4、若直线 $l : x - 2 cos θ \cdot y = 0$ 与圆 $E : x^{2} + y^{2} - 4 \sqrt{2} x - 1 = 0$ 交于两点 $A, B$ ，则（）

A、当 $cos θ = \frac{1}{2}$ 时，直线 $l$ 的倾斜角为 $\frac{π}{4}$ B、圆 $E$ 的圆心坐标为 $(- 2 \sqrt{2}, 0)$ C、圆 $E$ 的半径为3 D、 $|A B|$ 的取值范围是 $[2, \frac{2 \sqrt{185}}{5}]$

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5、如图，在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E, F$ 分别为 $B B_{1}, D D_{1}$ 的中点，则（）

A、 $O C ⊥ O F$ B、CE与OF所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{15}}{5}$ C、 $A, E, C_{1}, F$ 四点共面 D、 $△ A E F$ 的面积为 $2 \sqrt{6}$

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6、若“ $\exists x \in M, 0 < x < 3$ ”为真命题，“ $\forall x \in M, x < 2$ ”为假命题，则集合 $M$ 可以是（）

A、 $\{x |x < 0\}$ B、 $\{x |0 \leq x \leq 1\}$ C、 $\{x |1 < x < 3\}$ D、 $\{x |x \leq 1\}$

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7、已知 $m, n \in (0, + \infty)$ ， $\frac{1}{m} + n = 4$ ，则 $m + \frac{9}{n}$ 的最小值为（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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8、泊松分布是一种描述随机现象的概率分布，在经济生活、事故预测、生物学、物理学等领域有广泛的应用，泊松分布的概率分布列为 $P (x = k) = \frac{λ^{k}}{k!} e^{- λ} (k = 0, 1, 2, \dots)$ ，其中e为自然对数的底数， $λ$ 是泊松分布的均值．当n很大且p很小时，二项分布近似于泊松分布，其中 $λ = n p$ ．一般地，当 $n \geq 20$ 而 $p \leq 0.05$ 时，泊松分布可作为二项分布的近似．若随机变量 $X ~ B (1000, 0.001)$ ， $P (X \geq 2)$ 的近似值为（）

A、 $1 - \frac{1}{e}$ B、 $1 - \frac{2}{e}$ C、 $1 - \frac{e}{4}$ D、 $1 - \frac{1}{e^{2}}$

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9、若双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的右焦点为 $F (2, 0)$ ，且点 $F (2, 0)$ 到双曲线 $C$ 的一条渐近线的距离为 $1$ ，则双曲线 $C$ 的离心率为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ D、 $2 \sqrt{3}$

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10、下列说法正确的是（）

A、一组数据7，8，8，9，11，13，15，17，20，22的第80百分位数为17 B、根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到 $χ^{2} = 4.712$ ，根据小概率值 $α = 0.05$ 的独立性检验 $(x_{0.05} = 3.841)$ ，可判断X与Y有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05 C、“事件A，B互斥”是“事件A，B对立”的充分不必要条件 D、若随机变量 $ξ$ ， $η$ 满足 $η = 3 ξ - 2$ ，则 $D (η) = 3 D (ξ) - 2$

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11、某电动摩托车制造企业为了解其新研发的一款电动摩托车的续航里程（单位：公里）情况，随机抽查得到了10000个样本，根据统计这款新型电动摩托车的续航里程 $ξ \sim N (60, σ^{2})$ ，若 $P (ξ \leq 50) = 0.010$ ，则该样本中续航里程不小于70公里的电动摩托车大约有（）

A、10辆 B、100辆 C、180辆 D、900辆

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12、已知集合 $S_{n} = \{X | X = (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}), x_{i} \in {0, 1}, i = 1, 2, \dots, n\} (n \geq 2)$ ，对于 $A = (a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n})$ ， $B = (b_{1}, b_{2}, \dots, b_{n}) \in S_{n}$ ，定义 $A$ 与 $B$ 之间的距离为 $d (A, B) = \sum_{i = 1}^{n} |a_{i} - b_{i}|$ ．

(1)、已知 $A = (1, 1, 0, 0) \in S_{4}$ ，写出所有的 $B \in S_{4}$ ，使得 $d (A, B) = 1$ ；

(2)、已知 $I = (1, 1, \dots, 1) \in S_{n}$ ，若 $A, B \in S_{n}$ ，并且 $d (I, A) = d (I, B) = p \leq n$ ，求 $d (A, B)$ 的最大值；

(3)、设集合 $P \subseteq S_{n}, P$ 中有 $m (m \geq 2)$ 个元素，若 $P$ 中任意两个元素间的距离的最小值为 $t$ ，求证 $m \leq 2^{n - t + 1}$

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13、已知函数 $f (x) = e^{a x} - x, (a \in R)$ ．

(1)、求曲线 $y = f (x)$ 过点 $O (0, 0)$ 的切线方程；

(2)、当 $a \neq 1$ 时，求证：存在实数 $x_{0}$ ，使得 $f (x_{0}) < 1$ ．

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14、已知 $a$ 为实数，函数 $f (x) = | x^{2} - a x | - \ln x, (a \in R)$ ．

(1)、当 $a = - 1$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线的方程；

(2)、当 $a = 0$ 时，求函数 $f (x)$ 的极小值点；

(3)、当 $1 < a < 2$ 时，试判断函数 $f (x)$ 的零点个数，并说明理由．

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15、2022年2月4日晚，璀璨的烟花点亮“鸟巢”上空，国家体育场再次成为世界瞩目的焦点，北京成为奥运历史和人类历史上第一座举办过夏奥会和冬奥会的“双奥之城”，奥林匹克梦想再次在中华大地绽放．冰雪欢歌耀五环，北京冬奥会开幕式为第二十四届“简约、安全、精彩”的冬奥盛会拉开序幕．某中学课外实践活动小组在某区域内通过一定的有效调查方式对“开幕式”当晚的收看情况进行了随机抽样调查．统计发现，通过电视收看的占 $\frac{1}{3}$ ，通过手机收看的占 $\frac{1}{2}$ ，其他为未收看者．

(1)、从该地区被调查对象中随机选取4人，用 $X$ 表示这4人中通过电视收看的人数，求“4人中恰有3人是通过电视收看”的概率以及 $E (X)$ ；

(2)、采用分层随机抽样方法从该地区被调查对象中抽取6人，再从这6人中随机选出3人，用 $Y$ 表示这3人中通过手机收看的人数，求 $Y$ 的分布列和 $E (Y)$ ．

(3)、从该地区被调查对象中随机选取3人，若3人中恰有1人用手机收看，1人用电视收看，1人未收看的概率为 $P_{1}$ ；若3人全都是用电视收看的概率为 $P_{2}$ ．试比较 $P_{1}$ 与 $P_{2}$ 的大小．（直接写出结论）

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16、已知数列 ${a_{n}}$ 是公差为 $d$ 的等差数列，数列 $\{b_{n}\}$ 是公比为 $q$ 的等比数列，且 $a_{1} = b_{1} = - 8$ ， $a_{4}$ $+ a_{6} = 0$ ， $a_{3} b_{2} = - 16$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 和 $\{b_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、求数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ 的最值；

(3)、设 $c_{n} = b_{n}^{2}$ ，求数列 ${c_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

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17、已知二项式 ${(x - \frac{1}{2 x})}^{n}$ ，且 $n$ 满足 $C_{n}^{2} - 2 C_{n}^{1} = 12$ ．

(1)、求 $n$ 值，并求二项式系数最大的项；

(2)、求二项展开式中含 $x^{4}$ 项的系数；

(3)、请直接写出展开式中所有项的系数的和．（此题涉及的系数一律用数字作答）

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18、已知点列 $A_{n} (x_{n}, 0) (n = 1, 2, \dots)$ ，其中 $x_{1} = 0$ ， $x_{2} = 2$ ， $A_{3}$ 是线段 $A_{1} A_{2}$ 的中点， $A_{4}$ 是线段 $A_{2} A_{3}$ 的中点，…… $A_{n}$ 是线段 $A_{n - 2} A_{n - 1}$ 的中点，……．记 $a_{n} = x_{n + 1} - x_{n}$ ，则． $a_{3} =$ ； $x_{n}$ $=$ ．

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19、已知函数 $f (x) = \frac{x}{e^{x}}$ ， $g (x) = x^{2} - 4 x + a$ ，若对于任意的 $x_{1}, x_{2} \in$ $(0, + \infty)$ ，使得 $f (x_{1}) \leq g (x_{2})$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围是．

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20、将 $A, B, C$ 三个人随机安排到甲、乙、丙、丁这四个部门工作，已知甲部门一定有人，则不同的安排方法种数是．

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