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相关试卷

1、1679年，德国数理哲学大师莱布尼茨发明了二进制，即在数学和数字电路中以2为基数的记数系统，这一系统中，通常用两个不同的符号0和1来表示．现代的计算机和依赖计算机的设备里都使用二进制．设正整数 $n = a_{0} \cdot 2^{0} + a_{1} \cdot 2^{1} + a_{2} \cdot 2^{2} + \dots + a_{k} \cdot 2^{k}$ ， $k \in N$ ，其中 $a_{i} \in \{0, 1\}$ ， $i = 0, 1, 2, \dots, k$ ，那么，十进制数 $n$ 可以用二进制表示为 $a_{k} \dots a_{2} a_{1} a_{0}$ ，记作 ${(n)}_{10} = {(a_{k} \dots a_{2} a_{1} a_{0})}_{2}$ ，此时，令 $S_{n} = a_{k} + \dots + a_{2} + a_{1} + a_{0}$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 满足 $b_{n} = \{\begin{array}{l} 0, S_{n} = 2 m \\ 1, S_{n} = 2 m + 1 \end{array}, m \in N$ ．

(1)、二进制思想在中国古代也有所体现，如《周易》中的阴阳思想．若记阳爻“-”为1，阴爻“--”为0，如震卦“”对应的二进制数为100．请写出巽卦“”和兑卦“”对应的十进制数．

(2)、证明： $S_{n} - S_{2 n + 1} + S_{2^{n} - 1} = n - 1$ ， $n \in N^{*}$ ．

(3)、是否存在正偶数 $p$ ，使得对任意 $i \in \{0, 1, 2, \dots, 2014\}$ ，满足 $b_{p + i} = b_{p + 2025 + i} = b_{p + 4050 + i}$ ．若存在，请写出符合要求的 $p$ ；若不存在，请说明理由．

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2、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率是 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，且经过点 $(\sqrt{3}, \frac{1}{2})$ ．

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、记圆 $O$ 的方程是 $x^{2} + y^{2} = b^{2}$ ．
①若与圆 $O$ 相切的直线 $l_{1}$ 经过 $C$ 的右焦点 $F$ ，且 $l_{1}$ 与 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，求 $|A B|$ ；
②斜率为 $k_{1} (k_{1} \neq 0)$ 的直线 $l_{2}$ 经过坐标原点，与 $C$ 交于 $M$ ， $N$ 两点，若 $P$ 是 $C$ 的上顶点，直线 $P M$ 交圆 $O$ 于点 $G$ ，直线 $P N$ 交圆 $O$ 于点 $H$ ，记直线 $G H$ 的斜率为 $k_{2}$ ，求值： $\frac{k_{1}}{k_{2}}$ ．

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3、已知函数 $f (x) = x {(x - a)}^{2}$ 在 $x = 1$ 处有极大值，且函数 $g (x) = f (x) + b ln \frac{x}{4 - x}$ 在定义域内单调递增．

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、求 $b$ 的取值范围．

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4、如图，在三棱锥 $A - B C D$ 中， $B C = B D = \sqrt{2}$ ， $B C ⊥ B D$ ，平面 $A C D ⊥$ 平面 $B C D$ ， $A C = A D = \sqrt{3}$ ．

(1)、证明： $A B ⊥ C D$ ；

(2)、若 $H$ 为 $△ A B C$ 的垂心，求 $D H$ 与平面 $A C D$ 所成角的正弦值．

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5、中国春节档电影《哪吒之魔童闹海》票房突破百亿，是中国第一部冲入全球影史票房前5的作品．同学小华在某影院用简单随机抽样的方法调查了200位观影人观看该电影的次数，并对他们的观影次数作出统计，具体如下：
年龄（岁）
少年组（18及以下）
青年组（19-35）
中年组（36-60）
老年组（61及以上）
调查人数
70
80
30
20
少年组、青年组、中年组、老年组分别有 $\frac{2}{7}$ ， $\frac{1}{2}$ ， $\frac{4}{15}$ ， $\frac{1}{5}$ 的人看了2次该电影，其余的人都只看了1次．

(1)、求这200位观众观看该电影的平均次数；

(2)、小华记少年组与青年组为“ $A$ 组”，记中年组和老年组为“ $B$ 组”．请完成以下列联表，依据小概率值 $α = 0.05$ 的独立性检验，能否认为观影次数与年龄层次有关联？
观影次数
年龄层次
合计
$A$ 组
$B$ 组
1次

2次

合计

附表：
$α$
0.1
0.05
0.01
$x_{α}$
2.706
3.841
6.635
参考公式： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ， $n = a + b + c + d$ ．

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6、已知曲线方程 $C : \frac{x^{2}}{5} - \frac{y^{2}}{5} = 1 (x > 0)$ ， $A_{1} (- \sqrt{5}, 0)$ ， $A_{2} (\sqrt{5}, 0)$ ，点 $P$ 为曲线 $C$ 右支上一点，且 $P$ 与 $A_{2}$ 不重合，直线 $P A_{1}$ ， $P A_{2}$ 分别与直线 $x = 2$ 交于 $S_{1}$ ， $S_{2}$ 两点，则以 $S_{1}$ ， $S_{2}$ 为直径的圆面积的最小值是．

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7、已知直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $∠ B A C = 90^{\circ}$ ， $A B = 2 A C = 2$ ，侧棱 $A A_{1} = 2$ ，若点 $M$ ， $N$ 分别是线段 $A_{1} B$ ， $A_{1} C_{1}$ 的中点，则点 $N$ 到直线 $C M$ 的距离是．

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8、若 ${(x - 2)}^{6} = a_{0} x^{6} + a_{1} x^{5} + \dots + a_{5} x + a_{6}$ ，则 $|a_{0}| + |a_{1}| + |a_{2}| + |a_{3}| + |a_{4}| + |a_{5}| + |a_{6}| =$ ．（用数字作答）

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9、设函数 $f (x)$ 满足 $f (x + y) - f (x - y) = - 2 f (x - 1) f (y - 1)$ ， $x, y \in R$ ，且 $f (0) \neq 0$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $f (- 1) = 0$ B、 $f (x)$ 的图象关于 $(0, 0)$ 中心对称 C、 $x = 2025$ 是函数 $f (x)$ 的图象的一条对称轴 D、 $f (1) + f (2) + \dots + f (2025) = 0$

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10、已知抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点 $F$ 到准线的距离是4，经过 $F$ 的直线 $l$ 与 $C$ 交于 $A (x_{1}, y_{1})$ ， $B (x_{2}, y_{2})$ 两点，分别记 $C$ 在点 $A$ 、 $B$ 处的切线为 $l_{1}$ 、 $l_{2}$ ， $P = l_{1} \cap l_{2}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $C$ 准线方程为 $x = - 1$ B、 $x_{1} x_{2} = 4$ C、 ${|P F|}_{min} = 4$ D、若 $x_{1} + x_{2} = 6$ ，则 $|A B| = 10$

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11、已知随机事件 $A$ ， $B$ 满足 $P (A) = \frac{1}{2}$ ， $P (B) = \frac{2}{3}$ ， $P (B | A) = \frac{3}{4}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $P (\bar{B}) = \frac{1}{3}$ B、 $P (A B) = \frac{1}{3}$ C、 $P (A + B) = \frac{19}{24}$ D、 $P (A | \bar{B}) = \frac{5}{8}$

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12、对于任意的 $x \in R$ ，不等式 $(e^{x} + x - a - ln a) (x^{2} - e^{x} - a x + a) \leq 0$ 恒成立，则实数 $a =$ （）

A、 $\frac{1}{e}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、1 D、 $e$

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13、在锐角 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $M$ 是 $A B$ 的中点， $C M = \frac{\sqrt{5}}{4}$ ，过点 $C$ 做 $A B$ 的垂线，垂足是 $H$ ， $C H = \frac{1}{2}$ ，则 $A B =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{10}}{6}$ B、 $\frac{5}{6}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、1

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14、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和是 $S_{n}$ ，若 $S_{n} = {(- 1)}^{n + 1} a_{n} + n$ ， $n \in N^{*}$ ，则 $a_{2025} =$ （）

A、 $- 1$ B、1 C、2 D、3

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15、已知某圆台的侧面展开图是如图所示的扇环 $A B - A_{1} B_{1}$ ，且 $\overset{⌢}{A_{1} B_{1}}$ ， $\overset{⌢}{A B}$ 的弧长分别为 $2 π$ ， $4 π$ ．若 $A_{1} A = 3$ ，则该圆台的体积是（）

A、 $\frac{7 \sqrt{2}}{3} π$ B、 $\frac{7 \sqrt{3}}{3} π$ C、 $\frac{14 \sqrt{2}}{3} π$ D、 $\frac{14 \sqrt{3}}{3} π$

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16、若直线 $x + y - 1 = 0$ 是圆 ${(x - a)}^{2} + {(y - b)}^{2} = 1$ 的一条对称轴，则 $a^{2} + b^{2}$ 的最小值是（）

A、 $\frac{1}{8}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、1

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17、若单位向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $|\vec{a} - \vec{b}| = \sqrt{3}$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} =$ （）

A、 $- 1$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、1 D、 $\frac{1}{2}$

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18、在复平面内，若复数 $z$ 满足 $z i = 2 i + 3$ ，则 $\bar{z} =$ （）

A、 $- 2 - i$ B、 $- 2 + i$ C、 $2 - 3 i$ D、 $2 + 3 i$

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19、已知集合 $A = \{0, 1, 2, 3\}$ ， $B = \{x | e^{x} < 8\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{0, 1, 2\}$ B、 $\{1, 2\}$ C、 $\{0, 1\}$ D、 $\{1\}$

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20、对于有穷数列 $A_{0}$ ： $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， …， $a_{n}$ ，若存在 $i, j \in {1, 2, 3, \dots, n}$ ，使得 $a_{i} - a_{j} \geq 2$ ，则将数列 $A_{0}$ 进行操作变换T：将 $a_{i}$ 减1， $a_{j}$ 加1，其余项不变，得到数列 $A_{1}$ ，记为 $A_{1} = T (A_{0})$ ．从 $A_{0}$ 开始进行 $m$ 次操作变换 $T$ ，依次得到数列 $A_{1}$ ， $A_{2}$ ， …， $A_{m}$ ，即 $A_{i} = T (A_{i - 1})$ ， $i = 1, 2, \dots, m$ ．

(1)、已知数列 $A_{0}$ ： $- 2$ ， $0$ ， $1$ ， $3$ ，是否可以通过 $m$ 次操作变换 $T$ 得到如下数列？
① $- 4$ ， $2$ ， $1$ ， $2$ ；② $0$ ， $0$ ， $0$ ， $2$ ，
若可以，请写出一种满足题意的 $A_{1}$ ， $A_{2}$ ， …， $A_{m}$ ；若不可以，请说明理由；

(2)、已知数列 $A_{0}$ ： $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， …， $a_{n}$ 是公差为 $1$ 的等差数列，若从 $A_{0}$ 开始进行 $m$ 次操作变换 $T$ 后得到数列 $A_{m}$ ： $3$ ， $3$ ， $3$ ， $3$ ， $3$ ，求 $m$ 的所有可能值．

(3)、已知数列 $A_{0}$ ： $1$ ， $2$ ， $\dots$ ， $20$ ，将数列 $A_{0}$ 进行 $m$ 次操作变换 $T$ ，直到这种操作不能再进行时为止，求 $m$ 的最大值．

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年龄（岁）	少年组（18及以下）	青年组（19-35）	中年组（36-60）	老年组（61及以上）
调查人数	70	80	30	20

观影次数	年龄层次		合计
观影次数	$A$ 组	$B$ 组	合计
1次
2次
合计

$α$	0.1	0.05	0.01
$x_{α}$	2.706	3.841	6.635