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相关试卷

1、若复数 $- 1 + (1 - a^{2}) i$ 在复平面内对应的点位于第二象限，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $a > - 1$ B、 $a < - 1$ 或 $a > 1$ C、 $- 1 < a < 1$ D、 $a < 1$

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2、已知四边形 $M B E A$ 为矩形，四边形 $A E C D$ 为直角梯形， $A E ⊥ A D, A D$ $∥$ $E C, M A = A D = 3, E C = 6$ ，二面角 $B - A E - C$ 的大小为 $θ$ ．

(1)、若 $θ = \frac{π}{3}, P$ 为 $C D$ 的中点．
①求点 $P$ 到平面 $M B E A$ 的距离；
②若 $A E = 3$ ，求平面 $B E P$ 与平面 $B A D$ 夹角的余弦值．

(2)、若 $θ = \frac{π}{2}, A E = 3$ ，点 $N$ 为线段 $E C$ 的中点，将 $△ D C N$ 沿 $D N$ 折起，使得 $△ D C N$ 与四边形 $M B E A$ 在平面 $A E N D$ 的同侧，且平面 $D C N$ $∥$ 平面 $M B E A$ ，点 $F$ 为四面体 $M E C D$ 的内切球球面上的一动点，求 $F D + \frac{1}{3} F C$ 的最小值．

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3、已知椭圆 $G : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$ ，且过点 $(- \sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{2})$ ．

(1)、求椭圆 $G$ 的标准方程．

(2)、若 $A, B$ 分别为椭圆 $G$ 的上､下顶点，直线 $l$ 与椭圆 $G$ 相交于 $C, D$ 两点，且 $A C ⊥ A D$ ．
①证明：直线 $l$ 过定点．
②过点 $B$ 作 $l$ 的垂线，垂足为 $E$ ，求 $△ A B E$ 面积的最大值．

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4、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且满足 $a_{4} + a_{8} = 6, S_{17} = \frac{153}{2}$ ．

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式．

(2)、设数列 $\{\frac{1}{S_{n}}\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ．
①求 $T_{n}$ ；
②是否存在实数 $t$ ，使得数列 $\{t T_{n} + \frac{n^{2} + 1}{n + 1}\}$ 为等差数列？若存在，求出 $t$ 的值；若不存在，请说明理由．

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5、已知函数 $f (x) = a e^{x} - x + 2, a \in R$ ．

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $f (x) \geq e^{x}$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围．

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6、某材料实验室研究了某种金属材料在不同冷却速率下的凝固点温度，以及冷却环境对材料热物性的影响．下表为某金属材料凝固点温度 $y$ （单位： $^{\circ} C$ ）随冷却速率 $x$ （单位： $^{\circ} C / min$ ）变化的统计数据．
$x$
10
20
30
40
50
$y$
650
640
600
590
580

(1)、一般认为当 $|r| \geq 0.9$ 时，经验回归方程的拟合效果非常好；当 $0.75 \leq |r| < 0.9$ 时，经验回归方程的拟合效果良好．试问该经验回归方程的拟合效果是非常好还是良好？说明你的理由．

(2)、请利用所给数据求该金属凝固点温度 $y$ 与冷却速率 $x$ 之间的经验回归方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ ，并预测冷却速率为 $80^{\circ} C / min$ 时，该金属的凝固点温度．
参考公式： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \cdot \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n \cdot {\bar{x}}^{2}} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}, \hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ；
相关系数 $r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \cdot \bar{y}}{\sqrt{(\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n \cdot {\bar{x}}^{2}) (\sum_{i = 1}^{n} y_{i}^{2} - n \cdot {\bar{y}}^{2})}} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2} \sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}}$ ．
参考数据： $\sum_{i = 1}^{5} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y}) = - 1900, \sum_{i = 1}^{5} {(y_{i} - \bar{y})}^{2} = 3880$ ．

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7、已知直线 $a x + b y + a = 0$ 与曲线 $y = e^{x}$ 相切，则 $\frac{a}{b} =$ ．

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8、如图所示，在三棱锥 $S - A B C$ 中，平面 $S A C ⊥$ 平面 $A B C, S A = S C = A B = B C = 2 \sqrt{2}, A C = 4$ ，若 $E$ 为线段 $A B$ 上一动点，则 $S E + C E$ 的最小值为．

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9、若随机变量 $X \sim N (3, σ^{2})$ ，且 $P (X < a) = P (X > b)$ ，则 $a + b =$ ．

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10、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，动点 $P (x, y)$ 到定点 $(1, 1)$ 与 $x$ 轴的距离之积为常数 $\frac{1}{a}$ ，记点 $P$ 的轨迹为曲线 $C$ ，曲线 $C$ 的图象如图所示，下列结论正确的是（）

A、 $a = 4$ B、曲线 $C$ 的方程为 ${(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} \begin{array}{r} - \frac{1}{4 y^{2}} = 0 \end{array}$ C、曲线 $C$ 关于直线 $x = 1$ 对称 D、曲线 $C$ 上的点到 $x$ 轴的距离的最大值为 $\frac{1 + \sqrt{2}}{2}$

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11、已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $f (- x) + f (x + 2) = 6$ ，且 $\forall t \neq 0, t f (x + t) - t f (x) < 0$ ，则下列说法正确的是（）

A、函数 $y = f (x + 1) - 3$ 为偶函数 B、函数 $f (x)$ 为减函数 C、函数 $f (x)$ 的图象关于点 $(1, 3)$ 中心对称 D、 $f (3 x - 2) - 3 > 0$ 的解集为 $(1, + \infty)$

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12、若复数 $z = \frac{2 + 4 i}{1 + i}$ ，则（）

A、 $z = 3 + i$ B、 $z - 3$ 为纯虚数 C、复数 $z$ 在复平面内对应的点位于第四象限 D、 $|z - 2| = 2$

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13、若 $P (A) = \frac{4}{5}, P (B ∣ \bar{A}) = \frac{2}{3}, P (B ∣ A) = \frac{3}{4}$ ，则 $P (A ∣ B) =$ （）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $\frac{7}{11}$ C、 $\frac{9}{11}$ D、 $\frac{11}{15}$

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14、若 $a = {log}_{5} 3, b = {log}_{50} 18, c = lg 6$ ，则（）

A、 $b < c < a$ B、 $a < c < b$ C、 $c < a < b$ D、 $a < b < c$

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15、定义：二阶行列式 $|\begin{array}{l} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array}| = a_{11} a_{22} - a_{12} a_{21}$ ，三阶行列式 $E = |\begin{array}{l} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array}|$ ， $E$ 的某一元素 $a_{i j}$ 的余子式 $M_{i j}$ 指的是在 $E$ 中划去 $a_{i j}$ 所在的行和列后所余下的元素按原来的顺序组成的二阶行列式，称 ${(- 1)}^{i + j} M_{i j}$ 为元素 $a_{i j}$ 的代数余子式，三阶行列式 $E$ 等于它的任一行（或列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和． $|\begin{array}{l} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array}| =$ （）

A、0 B、 $- 24$ C、6 D、 $- 18$

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16、已知圆柱的高为4，它的表面积与体积的数值之比为2，则该圆柱的体积为（）

A、 $\frac{16 π}{9}$ B、 $\frac{64 π}{9}$ C、 $\frac{32 π}{9}$ D、 $\frac{16 π}{3}$

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17、函数 $f (x) = {cos}^{2} 4 x - 3 {sin}^{2} 4 x$ 的最小值和最小正周期分别为（）

A、 $- 3, \frac{π}{8}$ B、 $- 1, \frac{π}{4}$ C、 $- 3, \frac{π}{4}$ D、 $- 1, \frac{π}{8}$

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18、若抛物线 $y^{2} = 8 x$ 的焦点也是双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - y^{2} = 1 (a > 0)$ 的一个焦点，则双曲线的渐近线方程为（）

A、 $y = \pm \sqrt{3} x$ B、 $y = \pm \frac{\sqrt{3}}{3} x$ C、 $y = \pm 3 x$ D、 $y = \pm \frac{1}{3} x$

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19、若向量 $\vec{a} = (m, 5), \vec{b} = (1, 2)$ ，且 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 8$ ，则实数 $m =$ （）

A、2 B、 $- 2$ C、18 D、 $- 18$

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20、若集合 $A = {x ∣ x < 0}, B = \{x ∣ x > 1\}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 $(0, 1)$ B、 $[0, 1]$ C、 $(- \infty, 0]\cup[1, + \infty)$ D、 $(- \infty, 0) \cup (1, + \infty)$

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$x$	10	20	30	40	50
$y$	650	640	600	590	580