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相关试卷

1、已知数列 $\{a_{n}\}$ 是等差数列，且 $a_{2} = 3, a_{11} = 3 a_{4}$ ，设数列 $\{a_{n}\}$ 前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，数列 $\{c_{n}\}$ 满足 $c_{n} = \frac{2}{a_{n} \cdot a_{n + 1}} + S_{2^{n}}$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式及前 $n$ 项和 $S_{n}$ ；

(2)、求数列 $\{c_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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2、如图所示，过双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的一个焦点 $F$ 作平行于渐近线的两直线，两直线与双曲线分别交于 $A, B$ 两点，若 $|A B| = 2 a$ ，双曲线的离心率为 $e, [x_{0}]$ 表示不超过 $x_{0}$ 的最大整数，则 $[e^{2}]$ 的值为.

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3、四棱锥 $P - A B C D$ 各顶点都在球心 $O$ 为的球面上，且 $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ，底面 $A B C D$ 为矩形， $P A = A D = 2, A B = 2 \sqrt{2}$ ，设 $M, N$ 分别是 $P D, C D$ 的中点，则平面 $A M N$ 截球 $O$ 所得截面的面积为.

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4、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} = \{\begin{matrix} \frac{1}{2} a_{n} + n, n 为奇数 \\ a_{n} - 2 n, n 为偶数 \end{matrix}$ ，设 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，下列结论正确的（）

A、数列 $\{a_{2 n} - 2\}$ 是等比数列 B、 $a_{2 n - 1} = 6 - {(\frac{1}{2})}^{n - 1} - 4 n$ C、 $S_{8} < - 11$ D、当 $n \geq 2$ 时，数列 $\{S_{2 n}\}$ 是单调递减数列

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5、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ 的左､右顶点分别为 $A, B$ ，左焦点为 $F, M$ 为 $C$ 上异于 $A, B$ 的一点，过点 $M$ 且垂直于 $x$ 轴的直线与 $C$ 的另一个交点为 $N$ ，交 $x$ 轴于点 $T$ ，则（）

A、存在点 $M$ ，使 $∠ A M B = 120^{\circ}$ B、 $\vec{T A} \cdot \vec{T B} = 2 \vec{T M} \cdot \vec{T N}$ C、 $\vec{F M} \cdot \vec{F N}$ 的最小值为 $- \frac{4}{3}$ D、 $△ F M N$ 周长的最大值为8

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6、已知函数 $f (x) = \frac{e^{x} - e^{- x}}{2}, g (x) = \frac{e^{x} + e^{- x}}{2}$ ，则（）

A、函数 $f (x)$ 在 $R$ 上单调递增 B、函数 $f (x) g (x)$ 是奇函数 C、函数 $f (x)$ 与 $g (x)$ 的图象关于原点对称 D、 $g (2 x) = {[f (x)]}^{2} + {[g (x)]}^{2}$

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7、已知函数 $f (x) = ln (x + 1) - x + 1$ ，函数 $g (x) = a e^{x} - x + ln a$ ，若函数 $F (x) = f (x) - g (x)$ 有两个零点，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(0, e)$ B、 $(0, 2)$ C、 $(0, 1)$ D、 $(0, \frac{1}{e})$

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8、在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 4$ ， $A D = 3$ ， $M$ ， $N$ 分别是 $A B$ ， $A D$ 上的动点，且满足 $2 A M + A N = 1$ ，设 $\overset{⃑}{A C} = x \overset{⃑}{A M} + y \overset{⃑}{A N}$ ，则 $2 x + 3 y$ 的最小值为（）

A、48 B、49 C、50 D、51

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9、已知 $α, β$ 均为锐角，且 $cos α = \frac{4}{5}, tan (α - β) = - \frac{1}{3}$ .则 $cos β =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{10}}{50}$ C、 $\frac{3 \sqrt{10}}{10}$ D、 $\frac{9 \sqrt{10}}{50}$

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10、已知事件 $A$ 发生的概率为0.4，事件 $B$ 发生的概率为0.5，若在事件 $B$ 发生的条件下，事件 $A$ 发生的概率为0.6，则在事件 $A$ 发生的条件下，事件 $B$ 发生的概率为（）

A、0.85 B、0.8 C、0.75 D、0.7

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11、已知 $f (x) = cos (sin x)$ ，则下列选项中正确的是（）

A、 $f (x) = f (x + \frac{π}{2})$ B、 $f (x)$ 关于 $(\frac{π}{2}, 0)$ 中心对称 C、 $f (x)$ 关于直线 $x = π$ 对称 D、 $f (x)$ 的值域为 $[- 1, 1]$

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12、如图， $O$ 为坐标原点， $F$ 为抛物线 $C : y^{2} = 8 x$ 的焦点， $P$ 为 $C$ 上一点，若 $|P F| = 8$ ，则 $△ P O F$ 的面积为（）

A、 $4 \sqrt{2}$ B、 $4 \sqrt{3}$ C、8 D、12

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13、已知复数 $z = \frac{1}{1 + i}$ （其中 $i$ 为虚数单位），则 $z$ 的虚部是（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{2} i$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{2} i$

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14、如图，圆 $C$ 的半径为3，其中 $A ､ B$ 为圆 $C$ 上的两点.

(1)、若 $cos ∠ C A B = \frac{1}{3}$ ，当 $k$ 为何值时， $\vec{A C} + 2 \vec{A B}$ 与 $k \vec{A C} - \vec{A B}$ 垂直？

(2)、若 $G$ 为 $△ A B C$ 的重心，直线 $l$ 过点 $G$ 交边 $A B$ 于点 $P$ ，交边 $A C$ 于点 $Q$ ，且 $\vec{A P} = λ \vec{A B}, \vec{A Q} = μ \vec{A C}$ .证明： $\frac{1}{λ} + \frac{1}{μ}$ 为定值；

(3)、若 $|\vec{A C} + t \vec{A B}|$ 的最小值为1，求 $|\vec{A B}|$ 的值.

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15、已知函数 $f (x) = 2 \cos x \sin (x + \frac{π}{3}) - 2 \sqrt{3} \cos^{2} x + \frac{\sqrt{3}}{2}$ ， $x \in R$ .

(1)、求函数的对称中心与对称轴；

(2)、当 $x \in [0, \frac{π}{2}]$ 时，求函数 $f (x)$ 的最值；

(3)、当 $x \in [0, π]$ 时，求函数 $f (x)$ 的单调递增区间.

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16、已知 $α$ ， $β \in (0 ， \frac{π}{2})$ ， $sin (α - \frac{π}{4}) = \frac{3}{5}$ ， $t a n β = \frac{1}{2} ．$
（1）求 $s i n α$ 的值；
（2）求 $tan (α + β)$ 的值．

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17、已知复平面内表示复数 $z = (2 m - 1) + (m + 1) i$ （ $m \in R$ ）的点为 $Z$ .

(1)、若点 $Z$ 在函数 $y = 2 x - 6$ 图像上，求实数 $m$ 的值；

(2)、若 $O$ 为坐标原点，点 $A (2, - 1)$ ，且 $\vec{O Z}$ 与 $\vec{O A}$ 的夹角为钝角，求实数 $m$ 的取值范围.

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18、平面内给定三个向量 $\vec{a} = (3, 2)$ ， $\vec{b} = (- 1, 2)$ ， $\vec{c} = (4, 1)$ ．

(1)、求满足 $\vec{a} = m \vec{b} + n \vec{c}$ 的实数m，n．

(2)、若 $\vec{d}$ 满足 $\vec{d} ∥ (\vec{a} + \vec{b})$ ，且 $|\vec{d}| = 5$ ，求 $\vec{d}$ 的坐标．

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19、在 $△ A B C$ 中， $∠ A B C = 60^{\circ}$ ， O是 $△ A B C$ 的外心， $O A = 2$ ，则 $\vec{A B} \cdot \vec{C B}$ 的取值范围为．

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20、已知 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 是不共线的向量，且 $\vec{A B} = \vec{a} + 5 \vec{b}$ ， $\vec{B C} = - 2 \vec{a} + 8 \vec{b}$ ， $\vec{C D} = 3 \vec{a} + k \vec{b}$ ，若 $A$ 、 $B$ 、 $D$ 三点共线，则 $k =$ .

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