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相关试卷

1、若复数 $z = (1 - i) (1 + 2 i)$ （其中 $i$ 为虚数单位），则 $|z| =$ （）

A、2 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{10}$ D、10

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2、无穷数列 $\{a_{n}\}$ 的各项按如下规律排列： $\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{2}{3}, \frac{1}{4}, \frac{2}{4}, \frac{3}{4}, \frac{1}{5}, \frac{2}{5}, \frac{3}{5}, \frac{4}{5}, \cdot \cdot \cdot, \frac{1}{k}, \frac{2}{k}, \cdot \cdot \cdot, \frac{k - 1}{k}, \cdot \cdot \cdot, k \geq 2, k \in N_{+}$ ，数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ．

(1)、求 $a_{16}$ ．

(2)、若数列 $\{b_{n}\}$ 的各项为 $a_{1}, a_{2} + a_{3}, a_{4} + a_{5} + a_{6}, a_{7} + a_{8} + a_{9} + a_{10}, \cdot \cdot \cdot$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

(3)、是否存在正整数 $n$ ，使得 $S_{n} < 10$ ， $S_{n + 1} \geq 10$ 成立？若存在，求 $a_{n}$ 的值；若不存在，请说明理由．

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3、已知数列 $\{a_{n}\}$ 是等差数列，其前 $n$ 项和 $S_{n}$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 是等比数列，且 $a_{1} = b_{1} = 3$ ， $a_{4} = b_{2}$ ， $S_{3} = 15$ ．

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ ， $\{b_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、设 $c_{n} = \{\begin{array}{l} a_{n} \cdot b_{n} ， n 为奇数 \\ \frac{(3 - 4 n) b_{n}}{a_{n - 1} \cdot a_{n + 1}} ， n 为偶数 \end{array}$ ，求数列 $\{c_{n}\}$ 的前 $2 n$ 项和 $T_{2 n}$ ．

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4、已知 $S_{n}$ 为数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，若 $a_{1} = 3, a_{n + 1} = S_{n}$ ，则 $S_{n} =$ ．

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5、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的首项 $a_{1} = 4$ ， $a_{n + 1} = 2 a_{n} - 3$ （ $n$ 为正整数），则数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式 $a_{n} =$ ．

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6、已知 $S_{n}$ 为数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和， $a_{1} = \frac{1}{2}$ ，若数列 $\{a_{n} + S_{n}\}$ 既是等差数列，又是等比数列，则下列说法正确的有（）

A、 $\{a_{n}\}$ 是等差数列 B、 $\{\frac{ln a_{n}}{n}\}$ 是等比数列 C、 $\{S_{n}\}$ 为递增数列 D、数列 $\{n (n - 1) a_{n}\}$ 的最大项是第3项

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7、在等差数列 $\{a_{n}\}$ 中，公差 $d \neq 0$ ， $S_{n}$ 为其前 $n$ 项和．若 $a_{3} = S_{5}, a_{2} a_{4} = S_{4}$ ，则下列说法正确的有（）

A、 $d = 2$ B、 $a_{1} = 4$ C、 $a_{n} = 2 n - 6$ D、若 $S_{n} > 0$ ，则 $n$ 的最小值为6

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8、记数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n} = n^{2} + n (n \in N^{*})$ ，则下列选项错误的是（）

A、 $a_{2} = 4$ B、数列 ${\frac{S_{n}}{a_{n}}}$ 是公差为1的等差数列 C、数列 ${2^{a_{n}}}$ 是公比为4的等比数列 D、数列 ${{(- 1)}^{n} a_{n}}$ 的前2025项和为 $- 2026$

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9、已知各项均为整数的数列 $\{a_{n}\}$ 满足：对任意的 $n \in N^{*}$ ， $a_{n + 2} + a_{n} > 2 a_{n + 1}$ ．若 $a_{1} = 1$ ， $a_{2} = 2$ ， $a_{m} = 2025$ ，则正整数m的最大值为（）

A、63 B、64 C、65 D、66

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10、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足： $a_{1} = 1, a_{2} = 3, a_{n + 2} + a_{n} = 2 a_{n + 1} + 1$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 满足 $2 a_{n} \cdot b_{n} = 1$ ，则数列 $\{b_{n}\}$ 的前50项的和为（）

A、 $\frac{50}{51}$ B、 $\frac{1}{50}$ C、 $\frac{50}{101}$ D、50

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11、 $S_{n} = - n^{2} + 8 n$ ，则数列 $\{|a_{n}|\}$ 的前 $12$ 项和为（）

A、112 B、48 C、80 D、64

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12、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式是 $a_{n} = n + \frac{64}{n}$ ，则下列各数是 $\{a_{n}\}$ 的项的是（）

A、18 B、20 C、32 D、66

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13、数列 $\frac{2}{3}$ ， $\frac{4}{15}$ ， $\frac{6}{35}$ ， $\frac{8}{63}$ ， $\frac{10}{99}$ ， $\dots$ 的第8项是（）．

A、 $\frac{14}{195}$ B、 $\frac{16}{255}$ C、 $\frac{18}{323}$ D、 $\frac{20}{399}$

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14、数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和 $S_{n} = 3 n^{2} + n$ ，则 $a_{9} =$ （）

A、140 B、120 C、40 D、52

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15、如图，在棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E, F$ 分别为 $D D_{1}, B D$ 的中点，点 $G$ 在 $C D$ 上，且 $C G = \frac{1}{4} C D$ ．

(1)、求证： $E F ⊥ B_{1} C$ ；

(2)、求 $E F$ 与 $C_{1} G$ 所成角的余弦值．

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16、如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A C = 3, B C = 4, A B = 5, A A_{1} = 4$ ．

(1)、求证：平面 $A C B_{1} ⊥$ 平面 $C_{1} C B B_{1}$ ；

(2)、求直线 $A B$ 与平面 $A C B_{1}$ 所成角的余弦值．

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17、如图所示，在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，E、F分别在 $B_{1} B$ 和 $D_{1} D$ 上，且 $B E = \frac{1}{4} B B_{1}$ ， $D F = \frac{3}{4} D D_{1}$ ．

(1)、证明 $A 、 E 、 C_{1} 、 F$ 四点共面；

(2)、若 $\vec{E F} = x \vec{A B} + y \vec{A D} + z \vec{A A_{1}}$ ，求 $x + y + z$ 的值．

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18、如图，在空间平移 $△ A B C$ 到 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ ，连接对应顶点，设 $\vec{A A^{'}} = \vec{a}$ ， $\vec{A B} = \vec{b}$ ， $\vec{A C} = \vec{c}$ ， M是 $B C^{'}$ 的中点，N是 $B^{'} C^{'}$ 的中点，用基底 $\{\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\}$ 表示向量 $\vec{A M}$ ， $\vec{A N}$ .

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19、平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的底面 $A B C D$ 是菱形，且 $∠ C_{1} C B = ∠ C_{1} C D = ∠ B C D = 60 °$ .当 $\frac{C D}{C C_{1}}$ 的值为时，能使 $A_{1} C ⊥$ 平面 $C_{1} B D$

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20、如图，二面角 $α - l - β$ 等于 $120 °$ ， $A$ 、 $B$ 是棱 $l$ 上两点， $A C$ 、 $B D$ 分别在半平面 $α$ 、 $β$ 内， $A C ⊥ l$ ， $B D ⊥ l$ ，且 $A B = A C = B D = 1$ ，则 $C D$ 的长等于．

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