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相关试卷

1、执行如图所示的程序框图，若输入的 $x$ 值为2023，则输出的 $y$ 值为（）

A、 $\frac{1}{16}$ B、 $\frac{1}{8}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{2}$

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2、甲、乙两人进行了10轮的投篮练习，每轮各投10个，现将两人每轮投中的个数制成如下折线图：
下列说法正确的是（）

A、甲投中个数的平均数比乙投中个数的平均数小 B、甲投中个数的中位数比乙投中个数的中位数小 C、甲投中个数的标准差比乙投中个数的标准差小 D、甲投中个数的极差比乙投中个数的极差大

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3、已知命题 $p : \exists x \in R, 2^{x} \geq 2 x + 1$ ，则 $\neg p$ 为（）

A、 $\exists x \notin R, 2^{x} < 2 x + 1$ B、 $\exists x \in R, 2^{x} < 2 x + 1$ C、 $\forall x \notin R, 2^{x} < 2 x + 1$ D、 $\forall x \in R, 2^{x} < 2 x + 1$

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4、已知向量 $\vec{a} = (1, 3), \vec{b} = (- 2, - 1)$ ，则 $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (2 \vec{a} - \vec{b}) =$ （）

A、10 B、18 C、 $(- 7, 8)$ D、 $(- 4, 14)$

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5、已知集合 $A = \{x |- 3 < x < 2\}, B = \{x |x^{2} + 4 x - 5 \leq 0\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\emptyset$ B、 $(- 3, 1]$ C、 $[- 1, 2)$ D、 $(- 3, 2)$

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6、南宋的数学家杨辉“善于把已知形状、大小的几何图形的求面积，体积的连续量问题转化为求离散变量的垛积问题”.在他的专著《详解九章算法·商功》中，杨辉将堆垛与相应立体图形作类比，推导出了三角垛、方垛、刍薨垛、刍童垛等的公式. 如图，“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球……第 $n + 1$ 层球数比第 $n$ 层球数多 $n + 1$ ，设各层球数构成一个数列 $\{a_{n}\}$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、求 $f (x) = l n (1 + x) - \frac{x}{1 + x}$ 的最小值；

(3)、若数列 $\{b_{n}\}$ 满足 $b_{n} = \frac{2^{n}}{l n (2 a_{n}) - 2 l n n}$ ，对于 $n \in N^{*}$ ，证明： $b_{1} + b_{2} + b_{3} + \dots + b_{n} < n \times 2^{n + 1}$ .

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7、已知直线 $x - 2 y + 1 = 0$ 与抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 交于 $A, B$ 两点，且 $| A B | = 4 \sqrt{15}$ ．

(1)、求 $p$ ；

(2)、设F为C的焦点，M，N为C上两点， $\vec{F M} \cdot \vec{F N} = 0$ ，求 $△ M F N$ 面积的最小值．

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8、如图所示，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A$ 与AC不垂直，平面 $P A C ⊥$ 平面 $A B C$ ， $P A ⊥ A B$ ．

(1)、证明： $A B ⊥ A C$ ；

(2)、若 $P A = P C = A B = A C = 2$ ，点M满足 $\vec{P B} = 3 \vec{P M}$ ，求直线 $A P$ 与平面 $A C M$ 所成角的正弦值．

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9、某机构为了了解某地区中学生的性别和喜爱游泳是否有关，随机抽取了100名中学生进行了问卷调查，得到如下列联表：
喜欢游泳
不喜欢游泳
合计
男生
25
女生
35
合计
已知在这100人中随机抽取1人，抽到喜欢游泳的学生的概率为 $\frac{3}{5}$ .

(1)、请将上述列联表补充完整；

(2)、依据小概率值 $α = 0.001$ 的独立性检验，能否认为喜欢游泳与性别有关联；

(3)、将样本频率视为总体概率，在该地区的所有中学生中随机抽取3人，计抽取的3人中喜欢游泳的人数为 $X$ ，求随机变量 $X$ 的分布列和期望．
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ .
$P (χ^{2} \geq k)$
0.100
0.050
0.010
0.001
$k$
2.706
3.841
6.635
10.828

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10、在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ， $∠ A$ 为钝角， $a = 7$ ， $\sin 2 B = \frac{\sqrt{3}}{7} b \cos B$ ．

(1)、求 $∠ A$ ；

(2)、从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得 $△ A B C$ 存在，求 $△ A B C$ 的面积．
条件①： $b = 7$ ；条件②： $\cos B = \frac{13}{14}$ ；条件③： $c \sin A = \frac{5}{2} \sqrt{3}$ ．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．

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11、已知椭圆： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + y^{2} = 1 (a > 1)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1} 、 F_{2}$ ，点 $P$ 是 $y$ 轴正半轴上一点， $P F_{1}$ 交椭圆于点A，若 $A F_{2} ⊥ P F_{1}$ ，且 $△ A P F_{2}$ 的内切圆半径为1，则该椭圆的离心率是．

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12、数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{1} = 1, a_{n + 1} = 3 S_{n} (n \in N^{*})$ ，则 $a_{n} =$ ．

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13、如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为1，P是线段 $B C_{1}$ 上的动点，则下列结论正确的是（）

A、三棱锥 $A_{1} - A P D$ 的体积为定值 B、 $A_{1} P ∥$ 平面 $A C D_{1}$ C、 $A P + B_{1} P$ 的最小值为 $2 \sqrt{2}$ D、当 $A_{1}$ ， C， $D_{1}$ ， P四点共面时，四面体 $B_{1} P A_{1} C_{1}$ 的外接球的体积为 $\frac{\sqrt{3}}{2} π$

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14、下列说法中，正确的命题有（）

A、已知随机变量 $ξ$ 服从正态分布 $N (2, δ^{2}), P (ξ < 4) = 0.84$ ，则 $P (2 < ξ < 4) = 0.34$ B、以模型 $y = c e^{k x}$ 去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设 $\hat{z} = \ln y$ ，求得线性回归方程为 $\hat{z} = 0.3 x + 4$ ，则c，k的值分别是 $e^{4}$ 和0.3 C、在做回归分析时，残差图中残差点分布的带状区域的宽度越窄表示回归效果越好 D、若样本数据 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{10}$ 的方差为2，则数据 $2 x_{1} - 1, 2 x_{2} - 1, \dots, 2 x_{10} - 1$ 的方差为16

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15、已知函数 $f (x) = \sqrt{3} sin ω x - cos ω x (ω > 0)$ 在 $(0, \frac{π}{3})$ 上存在最值，且在 $(\frac{2}{3} π, π)$ 上单调，则 $ω$ 的取值范围是（）

A、 $(0, \frac{2}{3}]$ B、 $[\frac{5}{2}, \frac{8}{3}]$ C、 $[1, \frac{5}{3}]$ D、 $[\frac{11}{4}, \frac{17}{6}]$

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16、如图，在 $△ O A B$ 中，C是 $A B$ 的中点，P在线段 $O C$ 上，且 $\overset{⃑}{O C} = 2 \overset{⃑}{O P}$ .过点P的直线交线段 $O A, O B$ 分别于点N，M，且 $\overset{⃑}{O M} = m \overset{⃑}{O B}, \overset{⃑}{O N} = n \overset{⃑}{O A}$ ，其中 $m, n \in [0, 1]$ ，则 $m + n$ 的最小值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、1 D、 $\frac{3}{4}$

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17、已知函数 $f (x) = 3 x - t \ln x$ 存在两个零点，则实数t的取值范围为（）

A、 $(\frac{e}{3}, + \infty)$ B、 $(- \infty, \frac{e}{3})$ C、 $(3 e, + \infty)$ D、 $(- \infty, 3 e)$

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18、已知函数 $f (x) = \ln (- x^{2} + a x - 1)$ 在 $[2, 3]$ 上单调递减，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, 4]$ B、 $[6, + \infty)$ C、 $(\frac{10}{3}, 4]$ D、 $[\frac{10}{3}, 4]$

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19、已知向量 $\vec{a} = (- 1, 2), \vec{b} = (- 3, 1)$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量为（）

A、 $(- \frac{3}{2}, \frac{1}{2})$ B、 $(- \frac{1}{2}, 1)$ C、 $(- \frac{\sqrt{5}}{5}, \frac{2 \sqrt{5}}{5})$ D、 $(- \frac{3 \sqrt{10}}{10}, \frac{\sqrt{10}}{10})$

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20、复数 $z = \frac{2 - 4 i}{1 + i}$ ，则z的虚部为（）．

A、3 B、 $- 3$ C、 $- 3$ i D、 $- 1$

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$P (χ^{2} \geq k)$	0.100	0.050	0.010	0.001
$k$	2.706	3.841	6.635	10.828

	喜欢游泳	不喜欢游泳	合计
男生		25
女生	35
合计