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相关试卷

1、设复数 $z = 1 + \sqrt{2} i$ ，则 $z^{2} - 2 z =$ ；

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2、已知曲线 $C : y^{2} = x^{3} + x + 2$ ，则（）

A、曲线 $C$ 的图象关于 $y$ 轴对称 B、曲线 $C$ 上任意一点横坐标的最小值为 $- 1$ C、曲线 $C$ 与 $y$ 轴围成封闭图形的面积大于 $\frac{π}{2}$ D、直线 $y = \sqrt{2} x$ 与曲线 $C$ 有三个交点

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3、已知点 $A, B$ 在抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 上，设 $C$ 的焦点为 $F$ ，线段 $A B$ 的中点 $M$ 在 $C$ 的准线 $l$ 上的射影为 $M^{'}$ ，且 $|A B| = \sqrt{3} |M M^{'}|$ ，则向量 $\vec{F B}, \vec{F A}$ 的夹角的最大值为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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4、已知等比数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $\frac{a_{5} - a_{1}}{a_{3} - a_{1}} = 3$ ，则 $\frac{a_{10} - a_{2}}{a_{6} + a_{2}} =$ （）

A、1 B、3 C、4 D、15

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5、已知函数 $f (x) = 2 \sin (ω x - \frac{π}{6}) (ω > 0)$ 在 $(0, \frac{π}{3})$ 上存在最值，且在 $(\frac{2 π}{3}, π)$ 上单调，则 $ω$ 的取值范围是（）

A、 $(0, \frac{2}{3})$ B、 $[\frac{11}{4}, \frac{17}{3}]$ C、 $[1, \frac{5}{3}]$ D、 $[\frac{5}{2}, \frac{8}{3}]$

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6、已知命题 $p$ ： $\forall x \in (0, \frac{π}{2})$ ， $\sin x < x$ ，则 $\neg p$ 为（）

A、 $\exists x \in (0, \frac{π}{2})$ ， $\sin x > x$ B、 $\exists x \in (0, \frac{π}{2})$ ， $\sin x < x$ C、 $\exists x \in (- \infty, 0) \cup (\frac{π}{2}, + \infty)$ ， $\sin x \geq x$ D、 $\exists x \in (0, \frac{π}{2})$ ， $\sin x \geq x$

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7、设 $F_{1} 、 F_{2}$ 是椭圆 $Γ : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点，点 $P$ 是第一象限内 $Γ$ 上的动点，直线 $P F_{2}$ 交 $Γ$ 于点 $Q_{2}$ .已知存在点 $P$ ，使得 $|P F_{2}| = 2 |F_{2} Q_{2}|, \tan ∠ P F_{1} Q_{2} = \frac{3}{4}, △ Q_{2} F_{1} F_{2}$ 的面积为2.

(1)、求椭圆 $Γ$ 的方程；

(2)、设直线 $P F_{1}$ 交 $Γ$ 于点 $Q_{1}$ ，记 $r_{1} 、 r_{2}$ 分别为 $△ P F_{1} Q_{2} 、 △ P F_{2} Q_{1}$ 的内切圆半径，求 $r_{1} - r_{2}$ 的最大值.

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8、函数 $f (x) = \cos (ω x + \frac{π}{6}) (ω > 0)$ 在 $[- π, π]$ 的大致图象如图所示，将曲线 $y = f (x)$ 向右平移 $\frac{π}{9}$ 个单位，再把所得曲线上各点的横坐标伸长为原来的 $\frac{3}{2}$ 倍（纵坐标不变），得到函数 $g (x)$ 的图象.

(1)、求函数 $g (x)$ 的解析式；

(2)、设 $x \in [- π, π]$ ，解不等式 $\sin^{3} x - g^{3} (x) > 2 g (x + \frac{π}{4})$ ；

(3)、设 $t \in [0, π]$ ，若关于 $x$ 的方程 $g (x + t) = 1 - g (x)$ 有解，求 $t$ 的取值范围.

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9、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面ABCD为直角梯形，其中 $A D / / B C, P B ⊥ A D, A D =$ $2 B C = 6,$ $A B = P A = P B = 4$ ， $C D = 5$ ，点E、F分别为棱PD、AD的中点.

(1)、求证：平面 $P A B ⊥$ 平面ABCD；

(2)、请作出四棱锥 $P - A B C D$ 过B、E、F三点的截面，并求出截面图形周长；

(3)、过B、E、F三点的平面上是否存在动点 $M$ ，使其到点 $C$ 的距离为3？若存在，求点 $M$ 在运动过程中所围成的图形的面积；若不存在，请说明理由.

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10、已知函数 $f (x) = a {(x - 4)}^{2} + 6 ln x$ .

(1)、若曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线过点 $(0, 9)$ ，求 $a$ 的值；

(2)、求 $f (x)$ 的极值点.

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11、数列 $\{a_{n}\}$ 的前三项均为 $1$ ， $\{b_{n}\}$ 是公比为3的等比数列，且 $b_{n} = a_{n} + a_{n + 1} + a_{n + 2} (n \in N^{*})$ .

(1)、求 $\{\log_{3} (b_{n + 1} - b_{n})\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ；

(2)、求 $a_{100}$ .

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12、 $4$ 个球随机装进 $3$ 个盒子，则装有球的盒子个数的期望为.

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13、如图是正四面体的平面展开图， $G, H, M, N$ 分别是 $D E, B E, E F, E C$ 的中点，则在该正四面体中，下列结论正确的是（）

A、 $D E$ 与 $M N$ 平行 B、 $B D$ 与 $M N$ 为异面直线 C、 $G H$ 与 $M N$ 成 $60^{°}$ 角 D、 $D E$ 与 $M N$ 垂直

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14、从甲口袋内摸出1个白球的概率是 $\frac{1}{3}$ ，从乙口袋内摸出1个白球的概率是 $\frac{1}{2}$ ，如果从两个口袋内各摸出一个球，那么下列说法正确的是（）

A、2个球都是白球的概率为 $\frac{1}{6}$ B、2个球都不是白球的概率为 $\frac{2}{3}$ C、2个球不都是白球的概率为 $\frac{5}{6}$ D、2个球恰好有一个球是白球的概率为 $\frac{1}{2}$

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15、集合 $M = \{x |\ln x - \frac{x}{e} + 1 = 0\}$ 中所有元素之和记作 $|M|$ ，则（）

A、 $| M | = 2$ B、 $| M | < 2$ C、 $| M | = 2 e$ D、 $| M | > 2 e$

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16、已知 ${(2 - x)}^{11} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{11} x^{11}$ ，则下列结论中正确的个数是（）
① $a_{0} = 2^{11}$ ；
② $a_{0} + a_{1} + a_{2} + \dots + a_{11} = 0$ ；
③ $a_{1} + a_{3} + a_{5} + a_{7} + a_{9} + a_{11} = \frac{1 - 3^{11}}{2}$ ；
④ $a_{1} + 2^{1} \times a_{2} + 2^{2} \times a_{3} + \dots + 2^{10} \times a_{11} = - 2^{10}$

A、1 B、2 C、3 D、4

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17、已知命题 $p$ ： $\forall α \in R$ ， $\sin (\frac{π}{4} - α) = \cos (\frac{π}{4} + α)$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $p$ 为真命题，且命题 $p$ 的否定为： $\forall α \in R$ ， $\sin (\frac{π}{4} - α) \neq \cos (\frac{π}{4} + α)$ B、 $p$ 为真命题，且命题 $p$ 的否定为： $\exists α \in R$ ， $\sin (\frac{π}{4} - α) \neq \cos (\frac{π}{4} + α)$ C、 $p$ 为假命题，且命题 $p$ 的否定为： $\forall α \in R$ ， $\sin (\frac{π}{4} - α) \neq \cos (\frac{π}{4} + α)$ D、 $p$ 为假命题，且命题 $p$ 的否定为： $\exists α \in R$ ， $\sin (\frac{π}{4} - α) \neq \cos (\frac{π}{4} + α)$

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18、已知非零向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = 2 |\vec{b}|$ ，且 $(\vec{a} - \vec{b}) ⊥ \vec{b}$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为（　　）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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19、 $\tan 19^{°} + \tan 11^{°} + \frac{\sqrt{3}}{3} \tan 19^{°} \tan 11^{°}$ 的值为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、1 D、 $\sqrt{3}$

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20、抛物线 $y = \frac{1}{4} x^{2}$ 的焦点到其准线的距离为（）

A、1 B、2 C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{8}$

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