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相关试卷

1、若 ${(x + 3 i)}^{2}$ 是纯虚数（其中i为虚数单位），则实数 $x =$ （）

A、±3 B、±1 C、-1 D、3

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2、如图①，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 2 A D = 4 \sqrt{2}$ ， $E$ 为 $C D$ 的中点，如图②，将 $△ A E D$ 沿 $A E$ 折起，点 $M$ 在线段 $C D$ 上．

(1)、若 $D M = 2 M C$ ，求证 $A D ∥$ 平面 $M E B$ ；

(2)、若平面 $A E D ⊥$ 平面 $B C E A$ ，是否存在点 $M$ ，使得平面 $D E B$ 与平面 $M E B$ 垂直？若存在，求此时三棱锥 $B - D E M$ 的体积，若不存在，说明理由．

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3、三棱台 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，若 $A_{1} A ⊥$ 面 $A B C$ ， $A B ⊥ A C$ ， $A B = A C = A A_{1} = 2$ ， $A_{1} C_{1} = 1$ ， $M$ ， $N$ 分别是 $B C$ ， $B A$ 中点.

(1)、求 $A_{1} N$ 与 $C C_{1}$ 所成角的余弦值；

(2)、求平面 $C_{1} M A$ 与平面 $A C C_{1} A_{1}$ 所成成角的余弦值；

(3)、求 $C C_{1}$ 与平面 $C_{1} M A$ 所成角的正弦值.

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4、在① $(a + c) (\sin A - \sin C) = b (\sin A - \sin B)$ ；② $\frac{2 b - a}{c} - \frac{\cos A}{\cos C} = 0$ ；③向量 $\vec{m} = (c, \sqrt{3} b)$ 与 $\vec{n} = (\cos C, \sin B)$ 平行，这三个条件中任选一个，补充在下面题干中，然后解答问题.已知 $△ A B C$ 内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，且满足______.

(1)、求角 $C$ ；

(2)、若 $△ A B C$ 为锐角三角形，且 $c = 2$ ，求 $△ A B C$ 周长的取值范围；

(3)、在（2）条件下，若 $A B$ 边中点为 $D$ ，求中线 $C D$ 的取值范围.
（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）

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5、某校为了提高学生对数学学习的兴趣，举办了一场数学趣味知识答题比赛活动，共有1000名学生参加了此次答题活动．为了解本次比赛的成绩，从中抽取100名学生的得分（得分均为整数，满分为100分）进行统计．所有学生的得分都不低于60分，将这100名学生的得分进行分组，第一组 $[60, 70)$ ，第二组 $[70, 80)$ ，第三组 $[80, 90)$ ，第四组 $[90, 100]$ （单位：分），得到如下的频率分布直方图．

(1)、求图中m的值，并估计此次答题活动学生得分的中位数；

(2)、根据频率分布直方图，估计此次答题活动得分的平均值．若对得分不低于平均值的同学进行奖励，请估计参赛的学生中有多少名学生获奖．（以每组中点作为该组数据的代表）

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6、已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为3，动点 $P$ 在 $△ A B_{1} C$ 内，满足 $D_{1} P = \sqrt{14}$ ，则点 $P$ 的轨迹长度为.

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7、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = \frac{π}{3}$ ， $\vec{A D} = 2 \vec{D B}$ ， $P$ 为 $C D$ 上一点，且满足 $\vec{A P} = m \vec{A C} + \frac{1}{2} \vec{A B} (m \in R)$ ，若 $A C = 2$ ， $A B = 4$ ，则 $\vec{A P} \cdot \vec{C D}$ 的值为.

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8、为培养学生“爱读书、读好书、普读书”的良好习惯，某校创建了人文社科类、文学类、自然科学类三个读书社团.甲、乙、丙三位同学各自参加其中一个社团，每位同学参加各个社团的可能性相同，则三人恰好参加同一个社团的概率为.

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9、在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 所对的边分别 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ， $a^{2} = 2 b c \sin A$ ，下列说法正确的是（）

A、若 $a = 1$ ，则 $S_{△ A B C} = \frac{1}{4}$ B、 $△ A B C$ 外接圆的半径为 $\frac{b c}{a}$ C、 $\frac{c}{b} + \frac{b}{c}$ 取得最小值时， $A = \frac{π}{3}$ D、 $A = \frac{π}{4}$ 时， $\frac{c}{b} + \frac{b}{c}$ 值为 $2 \sqrt{2}$

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10、在 $△ A B C$ 中， $A = \frac{π}{6}$ ， $B = \frac{π}{2}$ ， $B C = 1$ ， $D$ 为 $A C$ 中点，若将 $△ B C D$ 沿着直线 $B D$ 翻折至 $△ B C^{'} D$ ，使得四面体 $C^{'} - A B D$ 的外接球半径为 $1$ ，则直线 $B C^{'}$ 与平面 $A B D$ 所成角的正弦值是（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$

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11、秦九韶是我国南宋时期的著名数学家，他在著作《数书九章》中提出，已知三角形三边长计算三角形面积的一种方法“三斜求积术”，即在 $△ A B C$ 中， $a, b, c$ 分别为内角 $A, B, C$ 所对应的边，其公式为： $S_{△ A B C} = \frac{1}{2} \sqrt{{(a b)}^{2} - {(\frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2})}^{2}} = \frac{1}{2} \sqrt{{(b c)}^{2} - {(\frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2})}^{2}}$ $= \frac{1}{2} \sqrt{{(a c)}^{2} - {(\frac{a^{2} + c^{2} - b^{2}}{2})}^{2}}$ 若 $c^{2} = \frac{2 \sin C}{\sin A}$ ， $\cos B = \frac{3}{5}$ ， $a > b > c$ ，则利用“三斜求积术”求 $△ A B C$ 的面积为（）

A、 $\frac{5}{4}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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12、已知点 $A (1, 1)$ ， $B (0, 2)$ ， $C (- 1, - 1)$ ．则 $\vec{A B}$ 在 $\vec{B C}$ 上的投影向量为（）

A、 $(\frac{\sqrt{10}}{5}, \frac{3 \sqrt{10}}{5})$ B、 $(- \frac{\sqrt{10}}{5}, - \frac{3 \sqrt{10}}{5})$ C、 $(\frac{1}{5}, \frac{3}{5})$ D、 $(- \frac{1}{5}, - \frac{3}{5})$

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13、某小组有2名男生和3名女生，从中任选2名学生去参加唱歌比赛，在下列各组事件中，是互斥事件的是（）

A、恰有1名女生和恰有2名女生 B、至少有1名男生和至少有1名女生 C、至少有1名女生和全是女生 D、至少有1名女生和至多有1名男生

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14、某超市为了调查顾客单次购物金额与年龄的关系，从年龄在 $[20, 70]$ 内的顾客中，随机抽取了100人，调查结果如表：
年龄段
类型
$[20, 30)$
$[30, 40)$
$[40, 50)$
$[50, 60)$
$[60, 70]$
单次购物金额满188元
8
15
23
15
9
单次购物金额不满188元
2
3
5
9
11

(1)、为了回馈顾客，超市准备开展对单次购物金额满188元的每位顾客赠送1个环保购物袋的活动.若活动当日该超市预计有5000人购物，由频率估计概率，预计活动当日该超市应准备多少个环保购物袋？

(2)、在上面抽取的100人中，随机依次抽取2人，已知第1次抽到的顾客单次购物金额不满188元，求第2次抽到的顾客单次购物金额满188元的概率.

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15、下列求导不正确的是（）

A、 ${(sin x - sin \frac{π}{6})}^{'} = cos x - sin \frac{π}{6}$ B、 ${[{(2 x + 1)}^{2}]}^{'} = 2 (2 x + 1)$ C、 ${({log}_{2} x)}^{'} = \frac{1}{x ln 2}$ D、 ${(2^{x} + x^{2})}^{'} = 2^{x} + 2 x$

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16、如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A C = A B = A A_{1} = \sqrt{2}$ ， $B C = 2 A E = 2$ ，则向量 $\vec{A E}$ 与 $\vec{A_{1} C}$ 的夹角是（　　）

A、30° B、45° C、60° D、90°

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17、1941年中国共产党在严重的困难面前，号召根据地军民，自力更生，艰苦奋斗，尤其是通过开展大生产运动，最终走出了困境．如图就是当时缠线用的线拐子，在结构简图中线段 $A B$ 与 $C D$ 所在直线异面垂直， $E ､ F$ 分别为 $A B ､ C D$ 的中点，且 $E F ⊥ A B, E F ⊥ C D$ ，线拐子使用时将丝线从点 $A$ 出发，依次经过 $D ､ B ､ C$ 又回到点 $A$ ，这样一直循环，丝线缠好后从线拐子上脱下，称为“束丝”．图中 $A B = E F = C D = 30 cm$ ，则丝线缠一圈长度为（）

A、 $90 \sqrt{2} cm$ B、 $90 \sqrt{3} cm$ C、 $60 \sqrt{6} cm$ D、 $80 \sqrt{3} cm$

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18、已知函数 $y = f (x)$ 的导函数 $f^{'} (x)$ 的图象如下，则下面判断正确的是（）

A、在区间 $(- 2, 1)$ 上 $f (x)$ 是增函数 B、在 $(1, 2)$ 上 $f (x)$ 是减函数 C、当 $x = 4$ 时， $f (x)$ 取极大值 D、在 $(4, 5)$ 上 $f (x)$ 是增函数

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19、已知 $\vec{a} = (2, - 1, 4) ， \vec{b} = (- 1, 5, - 2) ， \vec{c} = (1, 4, λ)$ ，若 $\vec{a} 、 \vec{b} 、 \vec{c}$ 三向量共面，则实数 $λ$ 等于（）

A、4 B、3 C、2 D、1

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20、已知函数 $f (x) = x e^{x}$ ，则 $f^{'} (1) =$ （）

A、 $- 1$ B、 $e$ C、 $2 e$ D、 $e^{0}$

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