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相关试卷

1、某智力问答游戏的规则如下：游戏共有 $A, B$ 两类问题（每类问题的数量无限多，且不重复）．参加游戏的选手解答任意一道问题正确，则游戏结束；若解答错误，则按以下规则抽取一道问题进行解答：若解答的是A类问题，则抽取一道B类问题进行解答，若解答的是B类问题，则等可能地抽取一道A类或B类问题进行解答．如此循环，直到解答正确为止．已知甲解答 $A, B$ 两类问题的正确率分别是 $\frac{1}{4}, \frac{1}{3}$ ，且解答每道问题是相互独立的．若甲最先解答一道A类问题，则他通过解答B类问题结束游戏的概率是．

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2、已知直线 $l_{1} : x + y + 3 = 0$ 和直线 $l_{2} : y = - 1$ ，则抛物线 $y = \frac{1}{4} x^{2}$ 上一动点P到直线 $l_{1}, l_{2}$ 的距离之和的最小值为．

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3、已知 $\tan (α + \frac{5π}{4}) = 2$ ，则 $\tan 2 α =$ ．

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4、如图，已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，两条渐近线 $l_{1} : a y = b x, l_{2} : a y = - b x$ 互相垂直，点P是双曲线C右支上任意一点，则下列说法正确的是（）

A、双曲线C的离心率为 $\sqrt{2}$ B、存在点P，使得 $△ P F_{1} F_{2}$ 为等腰直角三角形 C、当 $k \in (- 1, 1)$ 时，直线 $l : y = k x + 1$ 与双曲线C一定有两个交点 D、 $\frac{|P F_{1}|}{|P F_{2}|}$ 的最大值为 $2 \sqrt{2} + 3$

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5、已知 $g (x)$ 为 $f (x)$ 的导函数，两个函数的定义域均为 $R$ ， $f (x)$ 为偶函数，且 $f (2 x - 1)$ 为奇函数，则下列选项一定正确的有（）

A、 $f (1) = 0$ B、 $f (4) = 0$ C、 $g (0) = 0$ D、 $g (1) = 0$

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6、一组互不相等的数据从小到大排列为 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{6}$ ，去掉 $x_{1}$ 后，则下列选项正确的有（）

A、极差变大 B、平均数变大 C、中位数变小 D、 $80 %$ 分位数变大

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7、已知不等式 $2 x - m \ln x + 1 \geq 2 \ln x + n$ （ $m, n \in R$ ，且 $m \neq - 2$ ）对任意正实数x恒成立，则 $\frac{n - 5}{m + 2}$ 的最大值为（）

A、 $\ln 2$ B、1 C、 $- 1$ D、 $- \ln 2$

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8、如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为4，其中 $\vec{A_{1} E} = 3 \vec{E D_{1}}$ ，点F为 $B_{1} C_{1}$ 的中点，则点C到平面 $B E F$ 的距离为（）

A、 $\frac{4 \sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{8 \sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{16 \sqrt{21}}{21}$ D、 $\frac{4 \sqrt{17}}{17}$

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9、在数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} = 1, a_{n + 1} = \sqrt{a_{n}^{2} + 1}$ ，令 $b_{n} = \frac{1}{a_{n + 1} + a_{n}}$ ，则数列 $\{b_{n}\}$ 的前15项的和为（）

A、2 B、3 C、 $\sqrt{15}$ D、4

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10、某次展览会有4个核心主题，已知每个主题下有2个案例，现需从8个案例中随机抽取4个案例进行重点演示，则抽出的4个案例中，恰好包含某一个主题下的2个案例，而另外2个案例来自两个不同主题的抽取方案的种数为（）

A、120 B、96 C、48 D、24

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11、若 $x_{1} = \frac{π}{3}, x_{2} = \frac{2 π}{3}$ 是函数 $f (x) = \sin (ω x + φ) (ω > 0)$ 的两个相邻的零点，则 $ω =$ （）

A、3 B、4 C、5 D、6

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12、设 $\vec{a}, \vec{b}$ 为单位向量，且 $|\vec{a} - \vec{b}| = \sqrt{2}$ ，则 $|\vec{a} + \vec{b}| =$ （）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2

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13、设复数 $z_{1}, z_{2}$ 在复平面内的点关于实轴对称， $z_{1} = 1 + i$ ，则 $\frac{z_{1}}{z_{2}} =$ （）

A、 $- i$ B、 $i$ C、 $- 1$ D、 $1$

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14、已知集合 $A = \{x |\lg x < 1\}, B = \{x |x > 2\}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 $(2, + \infty)$ B、 $(2, 10)$ C、 $(0, 10)$ D、 $(0, + \infty)$

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15、如图，在四面体 $A B C D$ 中， $△ A B C$ 是边长为2的等边三角形， $△ D B C$ 为直角三角形，其中D为直角顶点， $∠ D C B = 60 °$ ． $E, F, G, H$ 分别是线段 $A B$ 、 $A C$ 、 $C D$ 、 $D B$ 上的动点，且四边形 $E F G H$ 为平行四边形，设二面角 $A - B C - D$ 的平面角的大小为 $α$ $(0^{\circ} < α \leq 90^{\circ})$ .

(1)、当 $α = 90^{°}$ 时，求四面体 $A B C D$ 的外接球的表面积；

(2)、当线段 $A D = \sqrt{3}$ 时，求直线 $A D$ 与平面 $B C D$ 所成角的正切值；

(3)、当点 $E$ 满足 $A E = 2 E B$ ，且 $△ A C D$ 是以 $C D$ 为底的等腰三角形时，求多面体 $A D E F G H$ 的体积.

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16、已知在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ， $b = 2 \sqrt{3}$ ， $a^{2} + c^{2} = \frac{2 \sqrt{3}}{3} a c sin B + 12$ ， D为边 $A C$ 的中点.

(1)、若 $c = 2$ ，证明： $sin ∠ A B D = 2 sin ∠ C B D$ ；

(2)、求BD的最大值.

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17、已知函数 $f (x) = \sin^{2} x + 4 \sqrt{3} \sin x \cos x - 3 \cos^{2} x + 1$

(1)、若 $f (x_{0}) = 2 \sqrt{3}, x_{0} \in (0, \frac{π}{2})$ ，求 $x_{\circ}$ 的值；

(2)、令 $g (x) = \frac{1}{4} f (\frac{x}{2} + \frac{π}{12})$ ，若 $g (α) = \frac{3 \sqrt{10}}{10}, g (α + β + \frac{π}{2}) = - \frac{\sqrt{5}}{5},$ $α \in (0, \frac{π}{2}), β \in (0, \frac{π}{2})$ ，求 $g (2 α + β)$ 的值.

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18、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是正方形， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $E, F$ 分别是棱 $C D, A P$ 的中点．

(1)、证明： $P C ⊥ B D$ ；

(2)、证明： $E F //$ 平面 $P B C$ ．

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19、直角 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = \frac{π}{2}$ ， $E$ 是线段 $A B$ 上一点， $C B = C E$ ， $A C = \sqrt{6} A E$ ，设 $∠ A B C = α, ∠ A C E = β$ ，则 $\sin β =$ .

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20、在 $△ A B C$ 中，满足 $\frac{a}{\cos B} = \frac{b}{\cos A}$ ，则 $△ A B C$ 的形状为.

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