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相关试卷

1、在三棱柱 $O A B - O_{1} A_{1} B_{1}$ 中， $P$ ， $Q$ 为 $A A_{1}$ 的三等分点，侧面 $O B B_{1} O_{1}$ 为正方形， $O A ⊥ O B$ ， $B P ⊥ O O_{1}$ .

(1)、证明：平面 $O B B_{1} O_{1} ⊥$ 平面 $O A A_{1} O_{1}$ ；

(2)、证明： $P O ⊥$ 平面 $O B B_{1} O_{1}$ ；

(3)、正方形 $O B B_{1} O_{1}$ 边长为 $3$ ， $O A = \sqrt{2}$ ，求直线 $O_{1} Q$ 与平面 $O A B$ 所成角的正弦值.

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2、已知平面向量 $\vec{a} = (3, 4)$ ， $\vec{b} = (9, x)$ ， $\vec{c} = (4, y)$ ，且 $\vec{a} / / \vec{b}$ ， $\vec{a} ⊥ \vec{c}$

(1)、求 $\vec{b}$ 在 $\vec{c}$ 方向上的投影向量；

(2)、求 $\vec{m} = 2 \vec{a} - \vec{b}$ 与 $\vec{n} = \vec{a} + \vec{c}$ 的夹角.

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3、已知 $f (x) = a x^{2} + b x + c (a, b, c \in R)$ ，且 $f (x) < 0$ 的解集为 $(0, 2)$ ．
（1）当 $f (1) = - 1$ ，求函数 $f (x)$ 的解析式；
（2）若关于 $x$ 的不等式 $2^{f (x)} - \frac{1}{4} > 0$ 对一切实数恒成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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4、已知函数 $f (x) = a ln x (a > 0)$ ，若函数 $g (x) = |f (|x|)| - 2025$ ，则 $g (x)$ 的所有零点之积为；方程 $|f (x)| = x$ 有三个不同的解，则实数 $a$ 的范围为.

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5、已知二面角 $α - l - β$ 为直二面角， $A \in α$ ， $B \in β$ ， $A \notin l$ ， $B \notin l$ ，则 $A B$ 与 $α$ ， $β$ 所成的角分别为 $\frac{π}{6}$ ， $\frac{π}{4}$ ， $A B$ 与 $l$ 所成的角为.

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6、已知函数 $f (x) = \sin (ω x + \frac{π}{3}) + \cos (ω x + \frac{π}{2})$ （ $ω > 0$ ），若 $y = f (x)$ 在 $x \in (0, 2 π)$ 部分的图象与直线 $y = - \frac{1}{2}$ 恰好产生了三个交点，则 $ω$ 的取值范围为（）

A、 $(\frac{13}{12}, \frac{7}{4}]$ B、 $(\frac{7}{6}, \frac{5}{3}]$ C、 $(\frac{5}{4}, \frac{19}{12}]$ D、 $(\frac{4}{3}, \frac{3}{2}]$

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7、数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式为 $a_{n} = 2^{n} - 11$ ， $S_{n}$ 为其前n项和，则 $S_{n}$ 的最小值为（）

A、 $- 9$ B、 $- 7$ C、 $- 3$ D、 $- 19$

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8、一组从小到大排列的数据： $1$ ， $2$ ， $3$ ， $4$ ， $6$ ， $8$ ， $x$ ， $18$ ， $22$ ， $23 .$ 若它们的 $70$ 百分位数是中位数的两倍，则 $x$ 的值为（）

A、 $10$ B、 $11$ C、 $12$ D、 $14$

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9、已知圆台上底面直径为2，下底面直径为4，母线长为3，则该圆台的体积为（）

A、 $\frac{14 \sqrt{2}}{3} π$ B、 $\frac{14 \sqrt{5}}{3} π$ C、 $\frac{28 \sqrt{2}}{3} π$ D、 $\frac{28 \sqrt{5}}{3} π$

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10、设 $a, b \in R$ ， $i$ 是虚数单位，则“复数 $z = a + \frac{b}{i}$ 为纯虚数”是“ $a b = 0$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、既不充分也不必要条件 D、充要条件

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11、已知全集为 $U$ ，若 $B \cap (∁_{U} A) = \emptyset$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 $A$ B、 $B$ C、 $∁_{U} A$ D、 $∁_{U} B$

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12、已知函数 $f (x) = \frac{e^{x}}{x} - a x + a ln x$ ．

(1)、当 $a = 0$ 时，求曲线在点 $(1, e)$ 处的切线方程；

(2)、当 $a \leq e$ 时，讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(3)、若 $f (x)$ 有两个极小值点 $x_{1}$ ， $x_{2} (x_{1} < x_{2})$ ，且对任意满足条件的 $x_{1}, x_{2}$ ，都有 $2 x_{1} + x_{2} \geq m$ 恒成立，求符合条件的整数m的最大值．

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13、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{4} = 1 (a > 2)$ ， $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 分别为它的左、右焦点，离心率为 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ ．

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、若点 $A$ 是椭圆 $C$ 上任意一点，求 $△ A F_{1} F_{2}$ 的内切圆半径 $r$ 的最大值；

(3)、过点 $F_{2}$ 分别作直线 $l_{1}$ 与椭圆交于 $M$ 、 $N$ 两点，作直线 $l_{2}$ 与椭圆交于 $P$ 、 $Q$ 两点，其中点 $M$ 、 $P$ 位于第一象限，直线 $l$ 过点 $F_{2}$ 且与 $x$ 轴垂直，直线 $M Q$ 、 $N P$ 与直线 $l$ 分别交于点 $C$ 、 $D$ ，证明：点 $F_{2}$ 为 $C D$ 中点．

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14、已知 $△ A B C$ 内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，且满足 $a = 2$ ， $b (\sqrt{3} - cos A) = 2 cos B$ ，面积 $S = \frac{\sqrt{3}}{8} (b^{2} + c^{2})$ ，动点 $D, E$ 在边 $B C$ 上， $D, E$ 不重合且 $∠ D A E = 60 °$ ．

(1)、求角 $B$ ；

(2)、求 $A D + A E$ 的最小值．

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15、已知三棱锥P-ABC中， $∠ A B C = 90 °$ ， $A B = B C = 2$ ， D为AC中点，M为BD中点，平面 $P B D ⊥$ 平面ABC，点P到平面ABC的距离为2．

(1)、证明： $A C ⊥ P M$ ；

(2)、若 $P M = 2$ ，求平面APB与平面CPB夹角的余弦值．

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16、2025年9月3日在天安门广场举行纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵式，这不仅是一场军事盛宴，更是一次民族精神的洗礼．某中学为了增强学生的爱国主义情怀，减轻学习压力，决定组织一次军事知识竞赛．为了了解学生喜欢军事是否与性别有关，随机抽取了100名学生进行调查，已知女生中有15名喜欢军事，男生中有 $\frac{3}{5}$ 的人喜欢军事，喜欢军事的学生中有 $\frac{2}{3}$ 是男生．参加竞赛的学生从喜欢军事的学生中选取，测试题型分为选择题与填空题两种，每次由电脑随机选出一道，选择题与填空题出现的频率之比为 $2 : 1$ ，已知学生答对选择题的概率为 $\frac{3}{4}$ ，答对填空题的概率为 $\frac{1}{2}$ ，每次答题互不影响．

喜欢军事
不喜欢军事
合计
男生

女生
15

合计

(1)、根据已知条件补充完整上表，并根据小概率值 $α = 0.001$ 的独立性检验，分析该校学生喜欢军事是否与性别有关；

(2)、若每位学生答3题，求该学生答对题数X的分布列和数学期望．
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ ．
$α$
$0.01$
$0.005$
$0.001$
$x_{α}$
$6.635$
$7.879$
$10.828$

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17、设数列 $\{a_{n}\}$ ， $\{b_{n}\}$ 满足 $a_{1} = b_{1} = 1$ ， $a_{n} + b_{n + 1} = 2 n$ ， $a_{n + 1} - b_{n} = n - 1$ ，设 $S_{n}$ 为数列 $\{a_{n} - b_{n}\}$ 的前n项和，则 $S_{30} =$ ．

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18、将标号为1，1，2，2，3，4的6张不同卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张标号不同的卡片，则不同的放法共有种．

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19、已知函数 $f (x) = ln x + a x + \frac{1}{2} x^{2}$ 是增函数，则实数a的取值范围是．

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20、已知在直角 $△ A B C$ 中， $∠ A = 3 ∠ B = 90 °$ ， $A C = 1$ ， AD为边BC上的中线，将 $△ A B D$ 沿边AD翻折至 $△ A B^{'} D$ ，则下列选项正确的是（）

A、 $sin ∠ B^{'} A D = \frac{1}{2}$ B、三棱锥 $B^{'} - A C D$ 的体积的最大值为 $\frac{1}{8}$ C、存在某个位置使得平面 $A B^{'} D ⊥$ 平面 $A B^{'} C$ D、三棱锥 $B^{'} - A C D$ 的外接球的体积最小值为 $\frac{13 \sqrt{39}}{54} π$

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	喜欢军事	不喜欢军事	合计
男生
女生	15
合计

$α$	$0.01$	$0.005$	$0.001$
$x_{α}$	$6.635$	$7.879$	$10.828$