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相关试卷

1、在 $△ A B C$ 中，已知 $a = 2, b = \sqrt{2}, c = \sqrt{3} + 1$ ，角 $A =$ .

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2、在平行四边形 $A B C D$ 中，点 $E$ 在线段AC上，且 $A E = \frac{2}{3} A C$ .若 $\vec{E D} = λ \vec{A D} + μ \vec{A B}$ ，其中 $λ$ ， $μ \in R$ ，则 $λ + μ =$

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3、若正四面体的表面积为 $\sqrt{3}$ ，则（）

A、该正四面体的棱长为1 B、该正四面体的高为 $\sqrt{6}$ C、该正四面体的体积为 $\frac{\sqrt{2}}{12}$ D、该正四面体的外接球表面积为 $\frac{3π}{2}$

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4、已知向量 $\vec{a} = (- 3, 2)$ ， $\vec{b} = (2, 1)$ ， $\vec{c} = (λ, - 1)$ ， $λ \in R$ ，则（）

A、若 $(\vec{a} + 2 \vec{b}) ⊥ \vec{c}$ ，则 $λ = 4$ B、若 $\vec{a} = t \vec{b} + \vec{c}$ ，则 $λ + t = - 6$ C、向量 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影向量的坐标为 $(\frac{12}{13}, - \frac{8}{13})$ D、若 $\vec{a} + \vec{b}$ 与 $2 \vec{b} + \vec{c}$ 的夹角为锐角，则 $λ$ 的取值范围是 $(- \infty, - \frac{13}{3}) \cup (- \frac{13}{3}, - 1)$

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5、已知复数 $z = (m^{2} - m - 2) + (m^{2} - 1) i$ ，其中 $m \in R$ ， $i$ 是虚数单位，则（）

A、当 $m = - 1$ 时， $z$ 为纯虚数 B、当 $m = 1$ 时， $z \in R$ C、当 $m = 2$ 时， $\bar{z} = - 3 i$ D、当 $m = - 2$ 时， $|z| = 10$

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6、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，若 $b c = 4$ ， $b + 2 c cos A = 0$ ，则当角 $B$ 取得最大值时， $△ A B C$ 的周长为（）

A、6 B、 $4 + 2 \sqrt{3}$ C、 $4 + 2 \sqrt{2}$ D、 $6 + 2 \sqrt{2}$

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7、已知向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ ， $| \vec{a} | = 4, | \vec{b} | = 2$ ，向量 $\vec{a}$ 在向量 $\vec{b}$ 方向上的投影向量是 $- \frac{1}{2} \vec{b}$ ，则 $| \vec{a} + \vec{b} | =$ （）

A、4 B、16 C、1 D、3

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8、已知平面 $α$ ，两条不重合的直线 $l, m$ ，则“存在直线 $m \subset α$ ，使 $l ∥ m$ ”是“ $l ∥ α$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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9、一圆台的上底面半径为2，下底面半径为3，母线长为8，则该圆台的体积为（）

A、 $18 \sqrt{5} π$ B、 $19 \sqrt{7} π$ C、 $19 \sqrt{5} π$ D、 $18 \sqrt{3} π$

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10、设 $a, b$ 是两条不同的直线， $α, β, γ$ 是三个不同的平面则下列选项正确的为（）

A、若 $a / / b, a / / α$ ，则 $b / / α$ B、若 $α / / β, β / / γ$ ，则 $α / / γ$ C、若 $a \subset α, b \subset α, a / / β, b / / β$ ，则 $α / / β$ D、若 $α / / β, a \subset α, b \subset β$ ，则 $a / / b$

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11、已知 $\vec{a} = (2, 3)$ ， $\vec{b} = (x + 1, 3 x)$ ，若 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ，则 $|\vec{b}| =$ （）

A、 $\frac{3 \sqrt{13}}{11}$ B、 $\frac{3 \sqrt{13}}{7}$ C、 $\sqrt{7}$ D、 $\sqrt{13}$

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12、已知复数 $z$ 满足 $z i = \frac{3 - i}{1 + i}$ ，则 $z =$ （）

A、 $- 2 + 2 i$ B、 $- 2 - 2 i$ C、 $- 2 + i$ D、 $- 2 - i$

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13、已知函数 $f (x) = a (x - 1) e^{x}$ ， $g (x) = \frac{x^{2}}{2} + x ln x$ ，

(1)、当 $a = 1$ 时，求函数 $f (x)$ 的单调区间．

(2)、求证： $g (x) > - \frac{1}{2 e^{2}} - \frac{1}{e}$ ．

(3)、令 $h (x) = f (x) - g (x)$ ，若对任意不同的 $x_{1}$ ， $x_{2} \in [1, e]$ ，都有 $|h (x_{1}) - h (x_{2})| < 3 |x_{1} - x_{2}|$ ，求实数 $a$ 的取值范围．

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14、甲、乙两条生产线生产同一种电子产品，甲生产线的产品合格率为 $90 %$ ，乙生产线的产品合格率为 $95 %$ ．现将两条生产线的产品混合在一起，则合格品率为 $94 %$ ．

(1)、求甲、乙两条生产线的产量之比．

(2)、从混合产品中随机抽取3件，记其中甲生产线生产的件数为 $X$ ，以频率估计概率，求 $X$ 的分布列及数学期望．

(3)、从混合产品中随机抽取 $n (n \geq 2)$ 件，若发现恰有2件甲生产线生产的不合格品，记这一事件发生的概率为 $p_{n}$ ，求 $p_{n}$ 取得最大值时 $n$ 的值．

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15、已知函数 $f (x) = {log}_{2} (4^{x} + a) - x$ 是偶函数，

(1)、求 $a$ 的值．

(2)、令 $g (x) = 2^{f (x)}$ ， $x \in [0, 2]$ ，
（ⅰ）求 $g (x)$ 的值域．
（ⅱ）若不等式 $m (4^{x} + \frac{1}{4^{x}}) - 2 m g (x) + 3 \geq 0$ 对任意 $x \in [0, 2]$ 恒成立，求 $m$ 的取值范围．

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16、如图，在正三棱台 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = 6$ ， $A A_{1} = A_{1} B_{1} = 3$ ，点 $O$ 为 $△ A B C$ 的重心．

(1)、求证： $A_{1} O ⊥ B C$ ．

(2)、求直线 $A B$ 与平面 $B C C_{1} B_{1}$ 所成角的正弦值．

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17、已知 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且满足 $b cos C + c cos B = 2 a cos A$ ．

(1)、求角 $A$ 的值．

(2)、若 $a = 1$ ，求 $b + c$ 的最大值．

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18、已知四面体 $A B C D$ 满足 $B C = 2 \sqrt{2}$ ，其余五条棱长均为2，该四面体的外接球球心为点 $O_{1}$ ，内切球球心为点 $O_{2}$ ，过直线 $O_{1} O_{2}$ 的平面截四面体 $A B C D$ 所得的截面的周长为 $L$ ，则 $L$ 的最小值为．

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19、已知函数 $f (x) = sin (ω x - \frac{π}{6}) (ω > 0)$ 在 $[0, \frac{π}{3}]$ 上的值域为 $[- \frac{1}{2}, 1]$ ，则 $ω$ 的取值范围是．

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20、在 ${(x + \frac{2}{\sqrt{x}})}^{5}$ 的展开式中，含 $x^{2}$ 项的系数是．

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