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相关试卷

1、记双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的离心率为 $e$ ，若直线 $3 x - y = 0$ 与 $C$ 有公共点，则离心率 $e$ 的取值范围为（请用区间表示）.

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2、已知曲线 $C : \sqrt{|x|} + \sqrt{|y|} = 1$ ，一条不过原点的动直线 $l$ 与x，y轴分别交于 $A$ ， $B$ 两点，则下列结论正确的是（）

A、曲线 $C$ 有4条对称轴 B、曲线 $C$ 形成封闭图形的面积大于 $4 - π$ C、当 $|A B| = \frac{\sqrt{2}}{2}$ 时，线段 $A B$ 中点的轨迹与曲线 $C$ 相切 D、当 $|O A| + |O B| = 1$ 时，直线 $l$ 与曲线 $C$ 相切

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3、洛阳是我国著名的牡丹之乡，以“洛阳地脉花最宜，牡丹尤为天下奇”流传于世.某种植基地通过植株高度研究牡丹的生长情况，从同一批次牡丹中随机抽取100株的植株高度（单位： $cm$ ）作为样本，得到如图所示的频率分布直方图，则下列结论正确的是（）

A、基地牡丹植株高度的极差的估计值大于50 B、基地牡丹植株高度不高于70的频率估计值为30% C、基地牡丹植株高度的众数与中位数的估计值相等 D、基地牡丹植株高度的第75百分位数的估计值小于80

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4、已知定义在 $(0, + \infty)$ 上的函数 $f (x)$ ，对任意 $x, y > 0$ 满足 $f (x y) < f (x) + f (y) + 1$ ，且当 $x > 1$ 时， $f (x) < - 1$ .设 $m = f (e^{|x|})$ ， $n = f (|x| + 1)$ ，则（）

A、 $m > n$ B、 $m < n$ C、 $m \geq n$ D、 $m \leq n$

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5、 $P$ 是正四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 表面上的一个动点， $A A_{1} = 2 A D = 4$ ，当直线 $A P$ 与正四棱柱六个面所成角的大小相等时， $A P$ 与 $A C_{1}$ 所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{6}$

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6、已知 $α$ 为锐角，且 $cos (α + \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{5}}{5}$ ，则 $cos 2 α =$ （）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $\frac{4}{5}$ C、 $- \frac{3}{5}$ D、 $- \frac{4}{5}$

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7、若直线 $l : x + y - m = 0 (m > 0)$ 被圆 $C : {(x - 1)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 4$ 截得的弦长为 $\sqrt{2} m$ ，则 $m =$ （）

A、 $\frac{2 \sqrt{10}}{5}$ B、 $\sqrt{2}$ C、2 D、 $2 \sqrt{2}$

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8、正四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A_{1} B_{1} = A A_{1} = \frac{1}{2} A B = 2$ ，则四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的体积为（）

A、 $\frac{56}{3}$ B、 $\frac{28 \sqrt{2}}{3}$ C、56 D、 $28 \sqrt{2}$

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9、已知平面向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 均为单位向量， $|\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{3}$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{a} - 2 \vec{b}$ 的夹角为（）

A、 $\frac{π}{2}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{π}{4}$ D、 $\frac{π}{6}$

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10、复数 $\frac{2 + i}{1 + 3 i}$ 在复平面内对应的点在（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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11、记 $|M|$ 表示有穷集合 $M$ 的元素个数．已知 $m, n$ 是正整数，集合 $S = \{1, 2, \dots, n\}$ ．若集合序列 $Q : A_{1}, A_{2}, \dots, A_{m}$ 满足下列三个性质，则称 $Q$ 是“平衡序列”：
① $|A_{k}| \geq 2$ ，其中 $k = 1, 2, \dots, m$ ；
② $A_{k}$ ⫋ $S$ ，其中 $k = 1, 2, \dots, m$ ；
③对于 $S$ 中的任意两个不同元素 $i, j$ ，都存在唯一的 $k \in \{1, 2, \dots, m\}$ ，使得 $\{i, j\} \subseteq A_{k}$ ．

(1)、设 $m = n = 5$ ，判断下列两个集合序列是否是“平衡序列”？（结论不要求证明）
$Q_{1} : \{1, 2\}, (1, 3, 4, 5), \{2, 3\}, \{2, 4\}, \{2, 5\}$
$Q_{2} : \{1, 2, 3\}, \{1, 4, 5\}, \{2, 4\}, \{3, 4\}, \{3, 5\}$

(2)、已知 $n \geq 3$ 且集合序列 $Q : A_{1}, A_{2}, \dots, A_{m}$ 是“平衡序列”，对于 $i = 1, 2, \dots, n$ ，定义： $B_{i} = \{k ∣ i \in A_{k}, k = 1, 2, \dots, m\} .$ 证明：
（i）当 $1 \notin A_{1}$ 时， $|B_{1}| \geq |A_{1}|$ ；
（ii） $m \geq n$ ．

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12、已知函数 $f (x) = e^{- x} ln (x + 1) - a x$ ．

(1)、求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0, f (0))$ 处的切线方程；

(2)、求 $f (x)$ 在区间 $(- 1, 0)$ 上的极值点个数；

(3)、若 $s, t \in (- 1, + \infty)$ 且 $s + t \leq 0$ 时，都有 $f (s) + f (t) \leq 0$ 成立，直接写出 $a$ 的取值范围．

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13、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{6} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ ．设直线 $l : y = x + m$ 交椭圆 $C$ 于不同的两点 $A$ 、 $B$ ，与 $y$ 轴交于点 $P$ ．

(1)、当 $m = 0$ 时，求 $|A B|$ 的值；

(2)、若点 $Q$ 满足 $|P Q| = 3$ 且 $|Q A| = |Q B|$ ，求 $∠ A Q B$ 的大小．

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14、某运动品牌拟推出一款青少年新品跑鞋．在前期市场调研时，从某市随机调查了200名中小学生对黑、白两种颜色的新品跑鞋的购买意愿，统计数据如下（单位：人）：
颜色
小学生
初中生
高中生
愿意
不愿意
愿意
不愿意
愿意
不愿意
黑色
80
20
40
20
20
20
白色
60
40
30
30
30
10
假设所有中小学生的购买意愿相互独立，用频率估计概率．

(1)、从该市全体中小学生中随机抽取1人，估计其愿意购买黑色新品跑鞋的概率 $p$ ；

(2)、从该市的初中生、高中生两个不同群体中各自随机抽取1人，记 $X$ 为这2人中愿意购买白色新品跑鞋的人数，求 $X$ 的分布列和数学期望 $E (X)$ ；

(3)、假设该市 $A$ 学校内的小学生、初中生和高中生的人数之比为 $2 : 2 : 1$ ，从 $A$ 学校的全体中小学生中随机抽取1人，将其愿意购买黑色新品跑鞋的概率估计值记为 $p_{A}$ ，试比较 $p_{A}$ 与（1）中的 $p$ 的大小．（结论不要求证明）

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15、如图1，五边形 $A B C E F$ 中， $A C$ $/ /$ $E F, A C ⊥ C E, A B ⊥ B C, A C = 2 B C = 2 C E = 4$ ．将三角形 $A B C$ 沿 $A C$ 翻折，使得平面 $A B C ⊥$ 平面 $A C E F$ ，如图2．

(1)、求证： $A B ⊥$ 平面 $B C E$ ；

(2)、记直线 $A F$ 与平面 $B E F$ 所成角为 $θ$ ．若 $sin θ = \frac{\sqrt{21}}{7}$ ，求 $E F$ 的长．

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16、已知函数 $f (x) = cos (\frac{π}{3} - 2 ω x) + 2 {sin}^{2} ω x - 1 (ω > 0)$ ．

(1)、若 $ω = \frac{1}{2}$ ，求 $f (0)$ 及 $f (x)$ 的单调递增区间；

(2)、已知 $f (x)$ 在区间 $[0, \frac{π}{3}]$ 上单调递增，再从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数 $f (x)$ 存在且唯一确定，求 $f (x)$ 的最小正周期．
条件①： $f (0) + f (\frac{π}{6}) = 0$ ；
条件②： $x = \frac{π}{3}$ 是 $f (x)$ 的一个极值点；
条件③： $x = \frac{7 π}{12}$ 是 $f (x)$ 的一个零点．

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17、如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 2$ ， $P$ 、 $Q$ 为上底面 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ （包含边界）内的两个动点，且满足 $P Q = 1$ ， $P Q // A B$ ．给出下面四个结论：
①当 $P$ 与 $D_{1}$ 重合时，五面体 $P Q A B C D$ 的体积为 $\frac{10}{3}$ ；
②记直线 $A A_{1}$ 分别与平面 $P A D$ 和平面 $Q B C$ 所成角为 $α$ 、 $β$ ，则 $tan α + tan β$ 的值不变；
③存在 $P$ 、 $Q$ ，使得 $D P ⊥ B Q$ ；
④存在 $P$ 、 $Q$ ，使得五面体 $P Q A B C D$ 中， $A B C D$ 所在平面与其余四个面所在平面的四个夹角中，有三个彼此相等．
其中，所有正确结论的序号为．

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18、已知函数 $f (x) = \frac{2^{x}}{2^{x} + 4}$ ，则 $f (x)$ 的值域为，曲线 $y = f (x)$ 的对称中心为．

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19、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，若点 $A (2 cos θ, 2 sin θ)$ 绕原点 $O$ 逆时针旋转 $\frac{π}{3}$ 可得到点 $B$ ，则 $|A B| =$ ，点 $A, B$ 到直线 $l : x = 2$ 的距离之和的最大值为．

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20、若 $(x + 2 i) i = y - i$ （ $x, y \in R, i$ 为虚数单位），则 $x + y =$ ．

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颜色	小学生		初中生		高中生
颜色	愿意	不愿意	愿意	不愿意	愿意	不愿意
黑色	80	20	40	20	20	20
白色	60	40	30	30	30	10