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相关试卷

1、椭圆 $\frac{x^{2}}{m} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ 的焦距为2，则m的值等于（）.

A、5 B、8 C、5或3 D、5或8

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2、等比数列 $\{a_{n}\}$ 的各项均为正数，且 $a_{3} a_{8} = 3$ ，则 $\log_{3} a_{1} + \log_{3} a_{2} + \dots + \log_{3} a_{10} =$ （）

A、5 B、10 C、4 D、 $2 + \log_{3} 5$

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3、函数 $f (x) = x \cos x$ 的导函数 $f^{'} (x)$ 在区间 $[- π, π]$ 上的图象大致为 (　　)

A、 B、 C、 D、

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4、已知复数z满足： $(2 + i) \bar{z} = 3 + 4 i$ ，则 $|z| =$ （）

A、 $\frac{29}{25}$ B、 $\frac{\sqrt{29}}{5}$ C、5 D、 $\sqrt{5}$

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5、对于给定的正整数n，记集合 $R^{n} = \{\vec{α}| \vec{α} = (x_{1}, x_{2}, x_{3}, \cdot \cdot \cdot, x_{n}), x_{j} \in R, j = 1, 2, 3, \cdot \cdot \cdot, n\}$ ，其中元素 $\vec{α}$ 称为一个n维向量．特别地， $\vec{0} = (0, 0, \cdot \cdot \cdot, 0)$ 称为零向量．设 $k \in R$ ， $\vec{α} = (a_{1}, a_{2}, \cdot \cdot \cdot, a_{n})$ ， $\vec{β} = (b_{1}, b_{2}, \cdot \cdot \cdot, b_{n}) \in R^{n}$ ，定义加法和数乘： $\vec{α} + \vec{β} = (a_{1} + b_{1}, a_{2} + b_{2}, \cdot \cdot \cdot, a_{n} + b_{n})$ ， $k \vec{α} = (k a_{1}, k a_{2}, \cdot \cdot \cdot, k a_{n})$ ．对一组向量 $\vec{α_{1}}$ ， $\vec{α_{2}}$ ， …， $\vec{α_{s}}$ （ $s \in N_{+}$ ， $s \geq 2$ ），若存在一组不全为零的实数 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ， …， $k_{s}$ ，使得 $k_{1} \vec{α_{1}} + k_{2} \vec{α_{2}} + \cdot \cdot \cdot + k_{s} \vec{α_{s}} = \vec{0}$ ，则称这组向量线性相关．否则，称为线性无关．

(1)、对 $n = 3$ ，判断下列各组向量是线性相关还是线性无关，并说明理由．
① $\vec{α} = (1, 1, 1)$ ， $\vec{β} = (2, 2, 2)$ ；② $\vec{α} = (1, 1, 1)$ ， $\vec{β} = (2, 2, 2)$ ， $\vec{γ} = (5, 1, 4)$ ；③ $\vec{α} = (1, 1, 0)$ ， $\vec{β} = (1, 0, 1)$ ， $\vec{γ} = (0, 1, 1)$ ， $\vec{δ} = (1, 1, 1)$ ．

(2)、已知向量 $\vec{α}$ ， $\vec{β}$ ， $\vec{γ}$ 线性无关，判断向量 $\vec{α} + \vec{β}$ ， $\vec{β} + \vec{γ}$ ， $\vec{α} + \vec{γ}$ 是线性相关还是线性无关，并说明理由．

(3)、已知 $m (m \geq 2)$ 个向量 $\vec{α_{1}}$ ， $\vec{α_{2}}$ ， …， $\vec{α_{m}}$ 线性相关，但其中任意 $m - 1$ 个都线性无关，证明下列结论：
①如果存在等式 $k_{1} \vec{α_{1}} + k_{2} \vec{α_{2}} + \cdot \cdot \cdot + k_{m} \vec{α_{m}} = \vec{0}$ （ $k_{i} \in R$ ， $i = 1, 2, 3, \cdot \cdot \cdot, m$ ），则这些系数 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ， …， $k_{m}$ 或者全为零，或者全不为零；
②如果两个等式 $k_{1} \vec{α_{1}} + k_{2} \vec{α_{2}} + \cdot \cdot \cdot + k_{m} \vec{α_{m}} = \vec{0}$ ， $l_{1} \vec{α_{1}} + l_{2} \vec{α_{2}} + \cdot \cdot \cdot + l_{m} \vec{α_{m}} = \vec{0}$ （ $k_{i} \in R$ ， $l_{1} \in R$ ， $i = 1, 2, 3, \cdot \cdot \cdot, m$ ）同时成立，其中 $l_{1} \neq 0$ ，则 $\frac{k_{1}}{l_{1}} = \frac{k_{2}}{l_{2}} = \cdot \cdot \cdot = \frac{k_{m}}{l_{m}}$ ．

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6、设抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为F，点 $P (a, 4)$ 在抛物线C上， $△ P O F$ （其中O为坐标原点）的面积为4．

(1)、求a；

(2)、若直线l与抛物线C交于异于点P的A，B两点，且直线PA，PB的斜率之和为 $\frac{4}{3}$ ，证明：直线l过定点，并求出此定点坐标．

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7、如图，在圆锥 $S O$ 中， $A B$ 是圆 $O$ 的直径，且 $△ S A B$ 是边长为4的等边三角形， $C, D$ 为圆弧 $A B$ 的两个三等分点， $E$ 是 $S B$ 的中点.

(1)、证明： $D E$ $/ /$ 平面 $S A C$ ；

(2)、求平面 $S A C$ 与平面 $S B D$ 所成锐二面角的余弦值.

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8、某服装公司对1-5月份的服装销量进行了统计，结果如下：
月份编号x
1
2
3
4
5
销量y（万件）
50
96
142
185
227
若 $y$ 与 $x$ 线性相关，其线性回归方程为 $\hat{y} = \hat{b} x + 7.1$ ，则下列说法正确的是（）

A、线性回归方程必过 $(3, 140)$ B、 $\hat{b} = 44.3$ C、相关系数 $r < 0$ D、6月份的服装销量一定为272.9万件

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9、在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝3，b＝5，c＝2acosA，则cosA＝（　　）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$

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10、若存在实数对 $(a, b)$ ，使等式 $f (x) \cdot f (a - x) = b$ 对定义域中每一个实数 $x$ 都成立，则称函数 $f (x)$ 为 $H (a, b)$ 型函数.

(1)、若函数 $f (x) = e^{x}$ 是 $H (a, e)$ 型函数，求 $a$ 的值；

(2)、若函数 $g (x) = e^{\frac{1}{x}}$ 是 $H (a, b)$ 型函数，求 $a$ 和 $b$ 的值；

(3)、已知函数 $h (x)$ 定义在 $[- 7, 9]$ 上， $h (x)$ 恒大于0，且为 $H (2, 4)$ 型函数，当 $x \in (1, 9]$ 时， $h (x) = - {({log}_{3} x)}^{2} + m \cdot {log}_{3} x + 2$ .若 $h (x) \geq 1$ 在 $[- 7, 9]$ 上恒成立，求实数 $m$ 的取值范围.

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11、已知函数 $f (x)$ 对于任意的 $x, y \in R$ ，都有 $f (x + y) = f (x) + f (y)$ ，当 $x > 0$ 时， $f (x) < 0$ ，且 $f (1) = - 2$ .

(1)、判断并证明函数 $f (x)$ 的奇偶性；

(2)、当 $- 6 \leq x \leq 8$ 时，求函数 $f (x)$ 的最大值和最小值；

(3)、设函数 $g (x) = f (x^{2} - m) - 4 f (|x|)$ ，若方程 $g (x) = 0$ 有4个不同的解，求 $m$ 的取值范围.

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12、摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，许多地方的摩天轮已成为当地的地标性建筑，如天津永乐桥摩天轮号称天津之眼，深圳快乐港湾摩天轮是亚洲最大的摩天轮.游客坐在摩天轮的座舱里慢慢往上转，可以从高处俯瞰四周景色.某摩天轮最高点距离地面高度为 $110 m$ ，转盘直径为 $100 m$ ，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，进舱后开始计时，若开始转动 $t min$ 后距离地面的高度为 $H m$ ，转一周大约需要 $30 min$ .

(1)、已知 $H$ 关于 $t$ 的函数关系式满足 $H (t) = A sin (ω t + φ) + B$ （其中 $A > 0$ ， $ω > 0$ ， $|φ| \leq \frac{π}{2}$ ），求摩天轮转动一周的解析式 $H (t)$ ；

(2)、若游客在距离地面至少 $85 m$ 的高度能够获得最佳视觉效果，请问摩天轮在运行一周的过程中，游客能有多长时间有最佳视觉效果？

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13、已知二次函数 $f (x) = a x^{2} + 2 x + 4 (a \neq 0)$ .

(1)、当 $a = - 1$ 时，解不等式 $f (x) < 1$ ；

(2)、若 $f (x)$ 在区间 $(2, 4)$ 上单调递增，求实数 $a$ 的取值范围.

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14、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知角 $θ$ 的终边经过点 $P (3, - 4)$ .

(1)、求 $\frac{sin θ + 2 cos θ}{2 sin θ - cos θ}$ 的值；

(2)、求 $cos θ \sqrt{\frac{1 + sin θ}{1 - sin θ}} + sin θ \sqrt{\frac{1 + cos θ}{1 - cos θ}}$ 的值.

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15、已知函数 $f (x) = {log}_{2} x + 2 x - 6$ 的零点为 $x_{1}$ .若 $x_{1} \in (k, k + 1) (k \in Z)$ ，则 $k$ 的值是；若函数 $g (x) = 4^{x} + x - 3$ 的零点为 $x_{2}$ ，则 $x_{1} + x_{2}$ 的值是.

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16、已知 $x > 0$ ， $y > 0$ ，且 $x + 2 y - x y = 0$ ，若 $x + 2 y > m$ 恒成立，则实数 $m$ 的取值范围为.

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17、命题“ $\forall x > 0$ ， $ln x - x + 1 \geq 0$ ”的否定是.

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18、已知函数 $h (x) = 3 {sin}^{2} x - a sin x - 1 (a \geq 2)$ ，若 $h (x)$ 在区间 $(0, n π) (n \in N_{+})$ 内恰好有198个零点，则 $n$ 的取值可以为（）

A、132 B、133 C、198 D、199

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19、已知函数 $f (x) = A sin (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, 0 < φ < π)$ 的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）

A、 $φ = \frac{π}{3}$ B、 $f (x)$ 的最小正周期为 $2 π$ C、点 $(- \frac{π}{6}, 0)$ 是函数 $f (x)$ 图象的对称中心 D、函数 $f (x)$ 在 $(\frac{π}{6}, \frac{π}{2})$ 上单调递减

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20、已知 $a > b > c > 0$ ，则下列不等关系正确的是（）

A、 $a - c > b - c$ B、 $\frac{c}{a} > \frac{c}{b}$ C、 $\frac{b + c}{a + c} > \frac{b}{a}$ D、 $c^{a} > c^{b}$

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月份编号x	1	2	3	4	5
销量y（万件）	50	96	142	185	227