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相关试卷

1、在复平面内，i为虚数单位， $\vec{A B}$ 对应的复数是 $4 + 5 i$ ， $\vec{B C}$ 对应的复数是 $3 + i$ ，则 $\vec{A C}$ 对应的复数是.

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2、我国古代典籍《管子·地员篇》最早记载的“三分损益法”是用来算音阶的方法，它是把古琴的一根弦平均分成三截，截短一截就是“三分损一”，加长一截就是“三分益一”.我们取第一个音“黄钟”的弦长81，记为 $a_{1}$ ，用“三分损一”得到第二个音“林钟”的弦长 $81 \times (1 - \frac{1}{3})$ ，记为 $a_{2}$ ，再用“三分益一”得到第三个音“太簇”的弦长 $54 \times (1 + \frac{1}{3})$ ，记为 $a_{3}, \dots$ ，按此规律依次交替损益就能得到“十二律吕”的弦长.把上述依次得到的弦长组成的数列记为 $\{a_{n}\}$ （ $n \in N^{*}$ ）.则下列说法正确的是（）

A、 $a_{5} = 64$ B、 $2 a_{7} = 3 a_{8}$ C、 $\exists k \in N^{*}$ ，使得 $a_{2 k - 1} + a_{2 k + 3} = 2 a_{2 k + 1}$ D、 $\forall k \in N^{*}$ ，都有 $a_{2 k - 1} a_{2 k + 3} = {(a_{2 k + 1})}^{2}$

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3、如图，在正三棱台 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $D$ 为 $B_{1} C_{1}$ 的中点， $P$ 是 $A_{1} D$ 上的动点（不含端点），记直线 $P B$ 与直线 $B C$ 所成角为 $α$ ，直线 $P B$ 与平面 $A B C$ 所成角为 $β$ ，二面角 $P - B C - A$ 的平面角为 $γ$ ，则下列关于 $α, β, γ$ 的大小，一定正确的是（）

A、 $β < α$ B、 $α < γ$ C、 $α > γ$ D、 $β < γ$

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4、已知抛物线 $y^{2} = 4 x$ 与圆 $x^{2} + y^{2} - 2 x - 3 = 0$ 交于 $M ， N$ 两点，则下列说法正确的是（）

A、圆心坐标为 $(- 1, 0)$ B、 $|M N| = 4$ C、抛物线的准线与圆相切 D、过抛物线焦点的直线与圆相交

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5、如果一条双曲线的实轴与虚轴分别为另一条双曲线的虚轴与实轴，则这两条双曲线互为共轭双曲线，已知 $C_{1}$ ， $C_{2}$ 互为共轭双曲线，且 $C_{1}$ ， $C_{2}$ 的离心率分别为 $e_{1}$ ， $e_{2}$ ，则 $\frac{1}{e_{1}} (\frac{1}{e_{1}} + \frac{1}{e_{2}})$ 的最大值是（）

A、1 B、 $\frac{1 + \sqrt{2}}{2}$ C、 $\sqrt{2}$ D、 $\frac{3}{2}$

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6、已知 $O$ 为 $△ A B C$ 的外心，且满足 $\vec{A O} = \vec{A B} + 2 \vec{A C}$ ，则 $\frac{|\vec{A B}|}{|\vec{A C}|}$ 的值为（）

A、2 B、 $\sqrt{5}$ C、 $\sqrt{6}$ D、 $\sqrt{7}$

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7、在二项展开式 ${(m + x)}^{8} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{8} x^{8} (m \neq 0)$ 中，前三项的系数 $a_{0}, a_{1}, a_{2}$ 成等差数列，则实数 $m$ 的值是（）

A、 $- 2$ 或7 B、2或7 C、 $- 2$ 或14 D、2或14

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8、已知 $l$ 为直线， $α$ 为平面，则下列条件是“ $l ⊥ α$ ”的充要条件的是（）

A、 $l$ 垂直平面 $α$ 内的两条直线 B、 $l$ 垂直平面 $α$ 内的无数条直线 C、 $l$ 的方向向量垂直于平面 $α$ 的法向量 D、 $l$ 的方向向量平行于平面 $α$ 的法向量

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9、下列函数所表示的曲线中，存在切线与 $x$ 轴平行的是（）

A、 $f (x) = sin x + x$ B、 $f (x) = e^{x} + x$ C、 $f (x) = ln x + x$ D、 $f (x) = x^{3} + x$

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10、下列函数中，最小正周期为 $π$ 且为偶函数的是（）

A、 $y = sin x$ B、 $y = |sin x|$ C、 $y = sin |x|$ D、 $y = cos x$

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11、数据1，2，4，5，7，9的第60百分位数为（）

A、4 B、5 C、6 D、7

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12、设集合 $M = \{x |- 1 < x < 3\}, N = \{1, 2, 3\}$ ，则 $M \cap N =$ （）

A、 $\{2, 3\}$ B、 $\{1, 2, 3\}$ C、 $\{1, 2\}$ D、 $\{0, 1, 2, 3\}$

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13、已知函数 $f (x) = e^{x} - a x^{2} - x - 1$ （ $e$ 为自然对数的底数）

(1)、若 $a = \frac{1}{2}$ ，求函数 $f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程；

(2)、若 $f (x)$ 恰有一个正零点，求实数a的取值范围；

(3)、对于任意的正整数k，且 $a = \frac{1}{2} + \frac{1}{k^{2} + k}$ 时，设 $f (x)$ 的正零点为 $x_{k}$ ，求证：对于任意的正整数n，都有 $\frac{2 n}{n + 2} < \sum_{k = 1}^{n} x_{k} < \frac{6 n}{n + 1}$ .

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14、已知数列 $\{a_{n}\}$ 是公差不为0的等差数列，且 $a_{1} = 1$ ， $a_{2}$ 是 $a_{1}$ 和 $a_{4}$ 的等比中项，等比数列 $\{b_{n}\}$ 的通项公式为 $b_{n} = q^{n}$ （其中 $q > 0$ ，且 $q \neq 1$ ）.

(1)、求 $\{a_{n} \cdot b_{n}\}$ 的前n项和 $S_{n}$ ；

(2)、设集合 $U_{n} = \{1, 2, 3, \dots, n\}$ ，对于 $U_{n}$ 的每一个非空子集X，设其最小元素为x，最大元素为y.
（ⅰ）设 $T_{n}$ 为 $U_{n}$ 所有非空子集对应的 $a_{x}$ 之和，求证： $T_{n} = 2^{n + 1} - n - 2$ ；
（ⅱ）设 $c_{n}$ 为 $U_{n}$ 所有非空子集对应的 $a_{x} \cdot b_{y}$ 之和，且 $q \neq \frac{1}{2}$ ，求数列 $\{c_{n}\}$ 的通项公式.

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15、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ）的焦距为4，且经过点 $(2, \frac{5}{3})$ .

(1)、求椭圆的标准方程；

(2)、设A为椭圆C的右顶点，不过点A的直线l与椭圆C相交于不同的两点P、Q，直线AP、AQ分别交y轴于M、N，若 $\vec{O M} \cdot \vec{O N} = - 1$ ， $△ O P Q$ 的面积为 $\frac{15 \sqrt{2}}{7}$ ，求直线l的方程.

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16、如图，在四棱锥P-ABCD中，已知 $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ，底面 $A B C D$ 为直角梯形， $A D // B C$ ， $A B ⊥ A D$ .已知 $P A = A B = B C = 2$ ， $A D = 1$ .

(1)、若 $M$ 为棱 $P C$ 的中点，求证： $D M //$ 平面PAB；

(2)、求平面 $P C D$ 与平面 $P B D$ 夹角的余弦值；

(3)、求点A到平面 $P C D$ 的距离.

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17、在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知 $\cos B = \frac{1}{3}$ ， $b = 6$ ， $\frac{a}{c} = \frac{2}{3}$ .

(1)、求a和c的值；

(2)、求 $\sin A$ 的值；

(3)、求 $\sin (2 A - B)$ 的值.

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18、已知菱形 $A B C D$ 的边长为2， $∠ B A D = 60 °$ ，设点P为平面内一动点，满足 $\vec{P A} \cdot \vec{P B} + \vec{P C} \cdot \vec{P D} = \frac{3}{2}$ ，则 $\vec{P A} \cdot \vec{P C} =$ ； $\vec{P A} \cdot \vec{P D}$ 的取值范围为.

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19、天津的“海河游船”是领略津城魅力的经典项目.为回馈游客，游船码头推出了“幸运抽票”活动，规则如下：第一步：游客先从装有3个红球和2个白球（球除颜色外完全相同）的抽奖箱中，随机抽取2个球.若抽出的2个球颜色相同，则获得“A组票箱”；若抽出的2个球颜色不同，则获得“B组票箱”.第二步：“A组票箱”内装有2张“夜游票”和3张“日游票”；“B组票箱”内装有4张“夜游票”和1张“日游票”.游客从获得的票箱中，随机抽取2张票.若某游客在第一步获得“A组票箱”的概率为；某游客完整参与该活动，最终恰好抽到1张“夜游票”的概率为.

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20、已知圆心为C的圆经过 $A (1, 1)$ ， $B (2, - 2)$ ，且圆心C在直线 $l : x - y + 1 = 0$ 上，过点 $P (3, 6)$ 作圆C的一条切线，则切线长为.

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