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相关试卷

1、已知圆 $C : x^{2} + y^{2} + a x - 6 y + 12 = 0$ 关于直线 $x - y + 1 = 0$ 对称.

(1)、求圆 $C$ 的标准方程；

(2)、若直线 $3 x + y - 8 = 0$ 与圆 $C$ 相交于 $A$ 、 $B$ 两点，求 $|A B|$ ；

(3)、在（2）的前提下，若点 $Q$ 是圆 ${(x + 4)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 10$ 上的点，求 $△ Q A B$ 面积的最大值.

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2、在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，已知 $a sin B - b cos (A - \frac{π}{6}) = 0.$

(1)、求角 $A$ ；

(2)、若 $D$ 为边 $B C$ 上一点(不包含端点)，且满足 $∠ A D B = 2 ∠ A C B$ ，
(i) 若 $A D ⊥ B C$ ， $c = 3$ 求 $C D$ 的长；
(ii) 求 $\frac{B D}{C D}$ 的取值范围.

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3、在数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} = 1$ ， $a_{n} = 3 a_{n - 1} + 1 (n \geq 2)$ ．

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、求 $\{a_{n}\}$ 的前n项和 $S_{n}$ ．

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4、如图，是一个由正整数组成的三角形数阵，该三角形数阵的“两腰”分别是一个公差为 $1$ 的等差数列和一个公差为 $2$ 的等差数列，每一行是一个公差为 $1$ 的等差数列.我们把这个数阵的所有数从上到下，从左到右依次构成一个数列 $\{a_{n}\}$ ： $1$ ， $2$ ， $3$ ， $3$ ， $4$ ， $5$ ， $4$ ， $5$ ， $6$ ， $7$ ， $\dots$ ，则 $a_{50} =$ .

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5、若双曲线 $C$ 与双曲线 $\frac{x^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{9} = 1$ 有相同的渐近线，且双曲线 $C$ 的右焦点在直线 $y = x - 10$ 上，则双曲线 $C$ 的标准方程为．

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6、某学校围棋社团组织高一与高二的同学比赛，双方各挑选业余一段、业余二段、业余三段三位选手，段位越高水平越高．已知高二每个段位的选手都比高一相应段位的选手强一些.比赛胜负仅由段位决定，段位高者获胜；若段位相同，则高二选手获胜.比赛共三局，每局双方各派一名选手出场，且每名选手只赛一局，胜两局或三局的一方获得比赛胜利．在比赛之前，双方都不知道对方选手的出场顺序，则第一局比赛高一获胜的概率为，在一场比赛中高二获胜的概率为．

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7、如图，直线 $l_{1}, l_{2}, l_{3}$ 的斜率分别为 $k_{1}, k_{2}, k_{3}$ ，倾斜角分别为 $α_{1}, α_{2}, α_{3}$ ，则下列选项正确的是（）

A、 $k_{1} < k_{3} < k_{2}$ B、 $k_{3} < k_{2} < k_{1}$ C、 $α_{1} < α_{3} < α_{2}$ D、 $α_{3} < α_{2} < α_{1}$

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8、已知向量 $\vec{a} = (x, - 2), \vec{b} = (1, 2)$ ，则下列结论正确的有（）

A、若 $\vec{a} - \vec{b} = (5, - 4)$ ，则 $x = 6$ B、若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $x = 4$ C、若 $|\vec{a}| = \sqrt{13}$ ，则 $x = \pm 3$ D、若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则 $x = 1$

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9、已知直线 $l : y = k (x - 1)$ ， “ $k = \frac{2}{3}$ 或 $k = - \frac{2}{3}$ ”是“直线 $l$ 与双曲线 $\frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ 有且仅有一个公共点”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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10、如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C$ ， $∠ A B C = \frac{π}{6}$ ， $A C = \sqrt{3}$ ， $P A = 2$ ，则三棱锥 $P - A B C$ 外接球的体积为（）

A、 $\frac{8 \sqrt{2}}{3} π$ B、 $4 \sqrt{3} π$ C、 $\frac{20}{3} \sqrt{5} π$ D、 $\frac{32}{3} π$

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11、在平面直角坐标系中，由点 $P (- 2, 5)$ 发出的一条光线射向 $y$ 轴上的点 $Q (0, 1)$ 后，经 $y$ 轴反射，则反射光线所在的直线方程为（）

A、 $2 x - y + 1 = 0$ B、 $2 x + y - 1 = 0$ C、 $x - 2 y + 2 = 0$ D、 $x + 2 y - 2 = 0$

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12、已知样本数据为 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}$ ，该样本平均数为2025，方差为1，现加入一个数2025，得到新样本的平均数为 $\bar{x}$ ，方差为 $s^{2}$ ，则（）

A、 $\bar{x} > 2025, s^{2} > 1$ B、 $\bar{x} = 2025, s^{2} < 1$ C、 $\bar{x} < 2025, s^{2} < 1$ D、 $\bar{x} = 2025, s^{2} > 1$

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13、设数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n + 1} = \frac{2 - 3 a_{n}}{3 + 2 a_{n}}$ ，且 $a_{1} = 1$ ，则 $a_{2026}$ 的值为（）

A、 $- \frac{1}{5}$ B、 $\frac{1}{5}$ C、 $- 1$ D、1

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14、在 $Δ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $2 (b \cos A + a \cos B) = c^{2}$ ， $b = 3$ ， $3 \cos A = 1$ ，则 $a =$

A、 $\sqrt{5}$ B、3 C、 $\sqrt{10}$ D、4

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15、已知i为虚数单位，复数z满足 $z + 1 = i (z - 2)$ ，则z的模为（）

A、 $\frac{\sqrt{10}}{2}$ B、 $\sqrt{5}$ C、 $\frac{\sqrt{10}}{5}$ D、 $\sqrt{2}$

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16、已知角 $α$ 的终边经过点 $(- 1, - 3)$ ，则 $\frac{\sin (\frac{3 π}{2} + α) + \sin (π + α)}{\cos (3 π - α) + \sin (\frac{3 π}{2} - α)} =$ ．

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17、已知函数 $f (x) = \sqrt{3} \sin x \cos x + \cos^{2} x - \frac{1}{2}$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期；

(2)、求函数 $f (x)$ 的单调递增区间；

(3)、若函数 $g (x) = {[f (x)]}^{2} - 2 f (x) + a$ 在 $[0, \frac{5 π}{12}]$ 上有唯一零点，求 $a$ 的取值范围.

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18、已知函数 $f (x) = \log_{2} (4^{x} - a \cdot 2^{x} + 1)$ 的定义域为 $R$ .

(1)、求 $a$ 的取值范围；

(2)、设 $g (x) = f (x) - x$ .
（ⅰ）求证：函数 $g (x)$ 是偶函数；
（ⅱ）解关于 $x$ 的不等式 $g (x) < g (1 - x)$ .

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19、为响应温州市“打造数字乡村，助力共同富裕”的号召，某县农产品电商服务平台自2023年正式上线运营，致力于通过直播带货推广当地猕猴桃、茶叶等农产品，该平台会员人数（主要为本地农户及采购商）增长迅速，下表记录了平台成立初期的会员人数情况：
平台成立年数 $x$ （2023年为第1年）
1
2
3
会员人数 $y$ （单位：百人）
16
24
36
为了更好地规划物流和供应链，平台拟从以下三种函数模型中选择最合适的一种来预测未来会员的增长趋势：
① $y = \frac{k}{x} + a (k > 0)$ ；② $y = k \log_{a} x (k > 0, a > 1)$ ；③ $y = k a^{x} (k > 0, a > 1)$ .

(1)、求此函数模型的解析式；

(2)、若平台计划在会员人数突破1万人时举办“温州农特产年度促销会”，问平台成立的第几年就能实现该目标？
（参考数据： $\ln 2 \approx 0.7$ ， $\ln 3 \approx 1.1$ ， $\ln 5 \approx 1.6$ ）

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20、已知 $\tan α = \frac{3}{4}$ .

(1)、求 $\frac{\sin α + \cos α}{2 \sin α - \cos α}$ 的值；

(2)、若 $α$ ， $β \in (0, \frac{π}{2})$ ， $\cos (α + β) = \frac{1}{2}$ ，求 $\sin β$ 的值.

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平台成立年数 $x$ （2023年为第1年）	1	2	3
会员人数 $y$ （单位：百人）	16	24	36