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相关试卷

1、已知定点 $A (- 2, 0)$ ， $B (1, 0)$ ，动点 $M$ 满足 $|M A| = 2 |M B|$ .

(1)、求动点 $M$ 的轨迹 $C$ 的方程；

(2)、过点 $B$ 作两条互相垂直的直线 $l$ 与 $m$ ，直线 $l$ 交曲线 $C$ 于 $E$ ， $F$ 两点，直线 $m$ 交曲线 $C$ 于 $G$ ， $H$ 两点，求四边形 $E G F H$ 面积的最大值.

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2、如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，底面ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，侧面 $A C C_{1} A_{1}$ 为菱形，点 $A_{1}$ 在平面ABC上的投影为AC的中点D，且 $A B = 2$ ．

(1)、求点C到侧面 $A B B_{1} A_{1}$ 的距离；

(2)、在线段 $A_{1} B_{1}$ 上是否存在点E，使得直线DE与侧面 $A B B_{1} A_{1}$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{6}}{7}$ ？若存在，请求出 $A_{1} E$ 的长；若不存在，请说明理由．

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3、已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标为 $A (- 1, 4)$ ， $B (- 3, - 1)$ ， $C (3, 2)$ .

(1)、求平行四边形ABCD的顶点D的坐标.

(2)、求四边形ABCD的面积.

(3)、求 $△ A B C$ 边AB上的高所在直线方程.

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4、如图，在正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，底面边长为2，侧棱长为 $\sqrt{3}$ ， D是 $B C$ 的中点．

(1)、证明： $A_{1} B / /$ 平面 $A D C_{1}$ ；

(2)、求直线 $A_{1} B_{1}$ 与平面 $A D C_{1}$ 所成角的正弦值；

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5、下列说法中，正确的有（）

A、直线 $3 x - y - 2 = 0$ 在y轴上的截距为-2 B、直线 $\sqrt{3} x - y + 1 = 0$ 的倾斜角为120° C、直线 $m x + y + 3 = 0$ (m∈R)必过定点(0，-3) D、点(5，-3)到直线y+2=0的距离为7

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6、如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $M$ 在线段 $A B$ 上，点 $N$ 在线段 $C C_{1}$ 上，且 $A M = M B, C_{1} N = 2 N C$ ，则 $D B_{1}$ 与 $M N$ 所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{7}}{21}$ B、 $\frac{\sqrt{6}}{21}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{21}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{21}$

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7、已知集合 $U = R$ ，集合 $A = \{x| - 2 \leq x \leq 3\}$ ， $B = \{x| x < - 1$ 或 $x > 4\}$

(1)、求 $A \cup B$ ；

(2)、求 $A \cap (∁_{U} B)$

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8、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} 2 x + 1, x \leq 1 \\ x^{2} - 3, x > 1 \end{array}$

(1)、求 $f (- 1)$ ， $f (f (\frac{1}{2}))$ ；

(2)、作出函数 $y = f (x)$ 在 $[- 2, 2)$ 区间内的图象.

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9、已知函数 $f (x) = x^{2} - 2 x$ ，则 $f (\sqrt{2}) =$ ．

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10、集合 $\{x |x > 5$ 或 $x < - 1}$ 用区间表示为

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11、下列命题正确的是（）

A、若 $a > b > 0$ ，则 $a c^{2} > b c^{2}$ B、若 $a > b > 0$ ，则 $a^{2} > b^{2}$ C、若 $a < b < 0$ ，则 $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$ D、若 $a < b < 0$ ，则 $a^{2} < a b < b^{2}$

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12、已知 $M = (a + 2) (a + 3)$ ， $N = a^{2} + 5 a + 4$ 则（）

A、 $M > N$ B、 $M < N$ C、 $M = N$ D、无法确定

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13、下列各组函数是同一个函数的是（）

A、 $f (x) = \sqrt{x^{2}}$ 与 $g (x) = {(\sqrt{x})}^{2}$ B、 $f (x) = \sqrt{x^{2}}$ 与 $g (x) = |x|$ C、 $f (x) = \frac{x^{2} - x}{x - 1}$ 与 $g (x) = x - 1$ D、 $f (x) = \sqrt{\frac{x + 1}{x - 1}}$ 与 $g (x) = \frac{\sqrt{x + 1}}{\sqrt{x - 1}}$

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14、对于实数 $x$ ， “ $x < 0$ ”是“ $x < 1$ ”的（）．

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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15、命题“ $\exists x > 0, x^{2} + 2 x - 4 \geq 0$ ”的否定是（）

A、 $\exists x > 0, x^{2} + 2 x - 4 < 0$ B、 $\forall x \leq 0, x^{2} + 2 x - 4 < 0$ C、 $\exists x \leq 0, x^{2} + 2 x - 4 < 0$ D、 $\forall x > 0, x^{2} + 2 x - 4 < 0$

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16、设集合 $M = \{2, 3, 4\}$ ， $N = \{3, 4, 5\}$ ，则 $M \cup N$ ＝（　　）

A、 $\{3, 4\}$ B、 $\{2, 3, 4, 5\}$ C、 ${2, 5}$ D、 $\emptyset$

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17、设集合 $A$ 由全体二元有序实数组组成，在 $A$ 上定义一个运算，记为 $⊙$ ，对于 $A$ 中的任意两个元素 $α = (a, b), β = (c, d)$ ，规定： $α ⊙ β = (a d + b c, b d - a c)$ .

(1)、计算： $(2, 3) ⊙ (- 1, 4)$ ；

(2)、 $\forall α, β \in A$ ，是否都有 $α ⊙ β = β ⊙ α$ 成立，若是，请给出证明；若不是，请给出理由；

(3)、若“ $A$ 中的元素 $I = (x, y)$ ”是“对 $\forall α \in A$ ，都有 $α ⊙ I = I ⊙ α = α$ 成立”的充要条件，试求出元素 $I$ .

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18、二次函数 $y = x^{2} + (a - 1) x + 1 (a > 0)$ 只有一个零点，则不等式 $a x^{2} - 8 x - a \geq 0$ 的解集为.

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19、命题“ $\forall x \in R$ ， $x^{2} - x + 3 > 0$ ”的否定是.

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20、狄利克雷是德国著名数学家，函数 $D (x) = \{\begin{array}{l} 1, x 为有理数 \\ 0, x 为无理数 \end{array}$ 被称为狄利克雷函数，下面给出关于狄利克雷函数 $D (x)$ 的结论中正确的是（）

A、 $D (x)$ 为偶函数 B、 $D (D (x))$ 为偶函数 C、 $\exists x \in R$ ，使得 $D (D (x)) = 0$ D、 $\forall x, y \in R, D (x + y) = D (x) + D (y)$

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