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相关试卷

1、在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}, A, B$ 为 $C$ 上两点，线段AB中点的横坐标为 $- 1$ ，当 $A B ⊥ x$ 轴时， $| A B | = \sqrt{2}$ ．

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、当AB不垂直 $x$ 轴时，设线段AB的中垂线与 $x$ 轴的交点为 $P$ ，求 $|O P|$ ．

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2、如图，在直平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $P$ 在棱 $C C_{1}$ 上．

(1)、若 $A C_{1} //$ 平面 $B P D$ ，证明： $P C = P C_{1}$ ；

(2)、若 $A B = B C, A A_{1} = 2 \sqrt{2}, ∠ B A D = 60^{°}$ ，直线 $A D_{1}$ 与平面 $B B_{1} D_{1} D$ 所成的角为 $30^{°}$ ，平面 $B P D$ 与平面 $A_{1} A B B_{1}$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{15}}{4}$ ，求 $C P$ ．

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3、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c, \frac{\sin 2 A}{1 + \cos 2 A} = \frac{\cos B - \cos C}{\sin C - \sin B}$ ．

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $D$ 是边BC上一点， $A D = D C = 2 B D, c = 1$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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4、在三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C$ ， $P A = A B = 4, ∠ A C B = 90^{°}$ ．若 $Q$ 为侧面 $P A B$ 内的动点， $C Q = 2 \sqrt{2}$ ，当该三棱锥的体积最大时， $Q$ 的轨迹与 $A B, P B$ 所围成区域的面积为．

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5、有甲、乙两袋，甲袋中有4个白球，1个红球；乙袋中有2个白球，2个红球．现从甲袋中任取2个球放入乙袋，再从乙袋中任取一球，则此球为红球的概率为．

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6、已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 4, | \vec{b} | = 1, (\vec{a} - 2 \vec{b}) ⊥ \vec{b}$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为．

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7、已知 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的增函数，且 $f (x)$ 可导， $f (x - 1)$ 为奇函数，记函数 $g (x) = (x + 1) f (x),$ $f^{'} (x), g^{'} (x)$ 分别是 $f (x), g (x)$ 的导函数，则（）

A、 $g^{'} (- 1) = 0$ B、 $f^{'} (x - 1) = f^{'} (- x - 1)$ C、 $g^{'} (x - 1) = g^{'} (- x - 1)$ D、 $g (\ln 1.02) < g (- 1 - \sqrt{1.04})$

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8、已知 $O$ 为坐标原点，抛物线 $C : y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F$ ，准线为 $l$ ，过 $F$ 的直线与 $C$ 交于 $A, B$ 两点，则（）

A、过A作 $l$ 的垂线，垂足为 $Q$ ，若 $∠ A Q F = 60^{°}$ ，则 $| A Q | = 8$ B、若直线BO与 $l$ 交于点 $P$ ，则直线AP平行于 $x$ 轴 C、以线段BF为直径的圆上的点到 $l$ 的最小距离为1 D、以线段AB为直径的圆截 $y$ 轴所得弦长的最小值为 $2 \sqrt{3}$

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9、函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ)$ 的部分图象如图所示，则（）

A、 $y = f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{13 π}{6}$ 对称 B、 $f (x)$ 在 $[0, \frac{π}{2}]$ 上的值域为 $[- 2, 2]$ C、 $f (x)$ 在 $(- \frac{π}{2}, 0)$ 上单调递增 D、 $y = f (x + \frac{5 π}{12})$ 的图象关于原点对称

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10、已知双曲线 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，过 $F_{2}$ 的直线与 $E$ 的右支交于 $A, B$ 两点，若 $| A B | = |A F_{1}|, \cos ∠ B A F_{1} = \frac{7}{8}$ ，则 $E$ 的离心率为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、 $\sqrt{6}$

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11、已知函数 $f (x) = a^{x} - \log_{a} (x + 1) (a > 1)$ 在 $(0, + \infty)$ 上存在单调递减区间，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(1, e]$ B、 $(1, e)$ C、 $[e, + \infty)$ D、 $(e, + \infty)$

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12、已知圆台的上底面半径、下底面半径、母线长之比为1：2：3，高为4，则该圆台的体积为（）

A、 $\frac{40 π}{3}$ B、 $\frac{56 π}{3}$ C、 $40 π$ D、 $56 π$

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13、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} (1 - a) x + 2 a, x < 1, \\ x - \frac{1}{x}, x \geq 1. \end{array}$ 的值域为 $R$ ，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, 1)$ B、 $(- 1, + \infty)$ C、 $[- 1, 1)$ D、 $(1, + \infty)$

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14、某校从高二年级随机抽取部分学生参加交通安全知识测试，所得成绩的频率分布直方图如图所示，则可估计该校高二年级学生的交通安全知识测试成绩的中位数为（）

A、87.5 B、85 C、82.5 D、80

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15、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}, a_{2} + a_{6} = 15 - a_{10}$ ，则 $S_{11} =$ （）

A、40 B、45 C、50 D、55

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16、若复数 $z$ 满足 $z (1 - i) = |1+ \sqrt{3} i|$ ，则 $z =$ （）

A、 $1 - i$ B、 $1 + i$ C、 $2 - 2 i$ D、 $2 + 2 i$

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17、已知集合 $A = {1, 2, \sqrt{m}}, B = {1, m}$ ，若 $A \cap B = B$ ，则 $m =$ （）

A、0 B、0或2 C、1或2 D、0或1

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18、已知椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ， E的左顶点N到点 $M (1, 1)$ 的距离为 $\sqrt{10}$ ．

(1)、求椭圆E的标准方程．

(2)、过点M作斜率和为2的直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ ，直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 分别与E交于A，B两点和C，D两点．
（i）若 $△ M N B$ （点B在点A的下方）的面积为 $\frac{5}{2}$ ，求直线 $l_{2}$ 的方程；
（ii）设AB，CD的中点分别为P，Q，证明：直线PQ过定点．

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19、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{2} = 3$ ， $a_{n + 1} = S_{n} + n + 1$ ．

(1)、证明：数列 $\{a_{n} + 1\}$ 是等比数列．

(2)、设 $b_{n} = \log_{2} (a_{n} + 1)$ ，求数列 $\{a_{n} b_{n}\}$ 的前n项和 $T_{n}$ ．

(3)、设 $c_{n} = \{\begin{array}{l} a_{n}, n = 2 k - 1, \\ a_{n} + 2, n = 2 k, \end{array}$ $k \in N^{*}$ ，证明： $\sum_{i = 1}^{n} \frac{1}{c_{i}} < \frac{3}{2}$ ．

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20、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $P A = P D = A D = 2 A B = 2$ ， $∠ B A D = 60^{\circ}$ ， $O$ 为 $A D$ 的中点， $A B ∥$ 平面 $P O C$ .

(1)、证明： $P C ⊥ B D$ ．

(2)、求三棱锥 $P - A B D$ 的外接球 $Q$ 的表面积．

(3)、若 $B D = B C$ ，求二面角 $B - P C - D$ 的正弦值．

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