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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = {log}_{3} (9^{x} + 1) + k x$ 是偶函数.

(1)、求 $k$ 的值；

(2)、当 $x \geq 0$ ，函数 $y = f (x) - x + a$ 存在零点，求实数 $a$ 的取值范围；

(3)、设函数 $h (x) = {log}_{3} (m \cdot 3^{x} - 2 m)$ ，若函数 $f (x)$ 与 $h (x)$ 的图象只有一个公共点，求实数 $m$ 的取值范围.

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2、学校数学学习小组在假期社会实践活动中，对某公司的一种产品销售情况的调查发现：受不可抗力因素影响，该种产品在2022年8月份（价格浮动较大的一个月，以31天计）的最后7天无法进行销售，日销售单价 $P (x)$ （单位：千元/千克）与第 $x$ 天（ $1 \leq x \leq 24$ ， $x \in N^{*}$ ）的函数关系满足 $P (x) = \frac{k}{x + 1} + 15$ （k为正实数）．因公司数据保存不当，只能查到该产品的日销售量 $Q (x)$ （单位：千克）与 $x$ 的如下数据： $Q (4) = 16$ ， $Q (6) = 17$ ， $Q (12) > Q (13)$ ，已知第4天该产品的日销售收入为256千元（日销售收入 $=$ 日销售单价 $\times$ 日销售量）．

(1)、给出以下三种函数模型：① $Q (x) = a \cdot 2^{x} + b$ ；② $Q (x) = a \cdot {log}_{3} x + b$ ；③ $Q (x) = a |x - 12| + b$ ，请你根据上述数据，帮助这组同学从中选择最合适的一种函数模型来描述该产品在2022年8月份的日销售量 $Q (x)$ 与 $x$ 的关系，并求出该函数的解析式；

(2)、在（1）的基础上，求出该公司在2022年8月份第1天到第12天中，该产品日销售收入 $f (x)$ （单位，千元）的最小值．

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3、已知函数 $f (x) = (a^{2} - 2 a - 2) a^{x}$ 是指数函数.

(1)、求 $f (x)$ 的表达式；

(2)、判断 $F (x) = f (x) - \frac{1}{f (x)}$ 的奇偶性，并加以证明；

(3)、解不等式： $f (x^{2} - 1) > f (2 x + 2)$ .

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4、计算求值

(1)、 ${log}_{3} 27 - (lg 4 + lg 25) - {log}_{5} 8 \times {log}_{2} 5 + 7^{{log}_{7} 2}$ .

(2)、已知 $2^{a} = 9$ ， $3^{b} = 16$ ，求 $a b$ 的值.

(3)、已知： $a^{\frac{1}{2}} + a^{- \frac{1}{2}} = 3$ ，求 $\frac{a^{2} + a^{- 2} + 3}{a + a^{- 1} - 2}$ 的值.

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5、已知集合 $A = {x | 2 \leq x \leq 4}$ ， $B = \{x | 3 x - 7 \geq 8 - 2 x\}$ ， $C = {x | a \leq x \leq a + 1}$ .

(1)、求 $A \cap B$ ， $A \cup B$ ；

(2)、若 $C \subseteq A$ ，求实数 $a$ 的取值范围．

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6、意大利著名画家、数学家、物理学家达·芬奇在他创作《抱银貂的女子》时思考过这样一个问题：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？这就是著名的悬链线问题，连接重庆和湖南的世界第一悬索桥——矮寨大桥就采用了这种方式设计.经过计算，悬链线的函数方程为 $cosh (x) = \frac{e^{x} + e^{- x}}{2}$ ，并称其为双曲余弦函数.若 $\forall x \in [a - 1, 1]$ 恒有 $\cosh (x + 2 a) \geq \cosh (\sqrt{3} x)$ ，则实数 $a$ 的取值范围为.

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7、函数 $f (x) = a^{x - 1} - 2$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）的图象恒过定点，该定点的坐标为.

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8、下列说法正确的序号是（）

A、 $\forall a > 1$ ， $\exists x_{0} > 0$ ，使得 $x > x_{0}$ 时， $a^{x} > x^{a} > {log}_{a} x$ 恒成立 B、函数 $y = 2 x - \sqrt{1 - x}$ 的值域为 $(- \infty, \frac{17}{8}]$ C、利用二分法求方程 $\log_{2} x = 4 - x$ 的近似解，可以取的一个区间是 $(3, 4)$ D、函数 $f (x) = 4^{x} - a \cdot 2^{x + 1} - 3$ 在区间 $[1, + \infty)$ 上单调递增，则实数 $a$ 的取值范围 $a \leq 2$

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9、下列说法中，正确的有（）

A、命题“ $\forall x, y \in R$ ， $x^{2} + y^{2} \geq 0$ ”的否定是“ $\exists x, y \in R$ ， $x^{2} + y^{2} < 0$ ” B、 $f (x) = \sqrt{x^{2} - 1}$ 与 $g (x) = \sqrt{x + 1} \cdot \sqrt{x - 1}$ 是同一个函数 C、函数 $f (x)$ 满足 $f (2 x - 3) = 4 x - 7$ ，若 $f (a) = - 3$ ，则实数 $a = - 1$ D、幂函数 $y = (m^{2} - m - 1) x^{m^{2} - 2 m - 3}$ 在区间 $(0, + \infty)$ 上是减函数，等价于 $m = 2$ 或 $- 1$

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10、已知函数 $f (x)$ 定义域为 $[a - 1, 2 a]$ ，且 $y = f (x - 1)$ 的图象关于 $x = 1$ 对称，当 $x \in [0, 2 a]$ 时， $f (x)$ 单调递减，则关于 $x$ 的不等式 $f (x - 1) > f (2 x - 3 a)$ 的解集是（）

A、 $(\frac{2}{3}, \frac{5}{6}]$ B、 $[\frac{1}{6}, \frac{5}{6}]$ C、 $(\frac{1}{3}, \frac{2}{3}]$ D、 $(0, \frac{2}{3})$

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11、 $2019$ 年 $7$ 月，中国良渚古城遗址获准列入世界遗产名录，标志着中华五千年文明史得到国际社会认可．考古科学家在测定遗址年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少”这一规律．已知样本中碳 $14$ 的质量 $N$ 随时间 $t$ （单位：年）的衰变规律满足 $N = N_{0} \cdot 2^{- \frac{t}{5730}}$ （ $N_{0}$ 表示碳 $14$ 原有的质量）．经过测定，良渚古城遗址文物样本中碳 $14$ 的质量是原来的 $\frac{1}{2}$ 至 $\frac{3}{5}$ ，据此推测良渚古城存在的时期距今约（）年到 $5730$ 年之间？(参考数据： ${l o g}_{2} 3 \approx 1.6$ ， ${l o g}_{2} 5 \approx 2.3$ )

A、 $4011$ B、 $3438$ C、 $2865$ D、 $2292$

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12、“ $x =1$ ”是“ $(x - 1) (x - 2) = 0$ ”的（　　）条件

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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13、下列不等式的解集为R的是（）

A、 $x^{2} - x + \frac{1}{4} > 0$ B、 $x^{2} - 3 x + 5 > 0$ C、 $- 3 x^{2} + 6 x - 4 < 0$ D、 $x^{2} + \frac{1}{x^{2} + 1} \geq 1$

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14、已知 $a = {(\frac{3}{5})}^{\frac{1}{3}}, b = {(\frac{3}{5})}^{- \frac{1}{3}}, c = {(\frac{2}{5})}^{\frac{1}{3}}$ ，则 $a, b, c$ 的大小关系为（）

A、 $a < b < c$ B、 $b < c < a$ C、 $c < a < b$ D、 $a < c < b$

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15、已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ．

(1)、结合椭圆的定义以及椭圆与圆的关系，猜想椭圆上的所有点到某个焦点的平均距离 $d$ 和椭圆的面积 $S$ （不需证明）；

(2)、已知 $d = \sqrt{6}, S = 2 \sqrt{3} π$ ，请利用（1）的猜想解答下面问题．
①求椭圆的方程；
② $O$ 为坐标原点，设点 $P (3, m) (m > 0)$ ，过右焦点 $F$ 作 $P F$ 的垂线交椭圆于 $A, B$ 两点．求 $△ O A B$ 面积的最大值．

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16、已知两个非零向量 $\vec{a}, \vec{b}$ ，在空间任取一点O，作 $\vec{O A} = \vec{a}, \vec{O B} = \vec{b}$ ，则 $∠ A O B$ 叫做向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角，记作 $〈 \vec{a}, \vec{b} 〉$ ．定义 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的“向量积”为 $\vec{a} \times \vec{b}$ ： $\vec{a} \times \vec{b}$ 是一个与 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 都垂直的向量，且它的模 $|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \sin 〈 \vec{a}, \vec{b} 〉$ ．如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面为矩形， $P D ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $D A = D P = 4, A B = 2, E$ 为线段AD上一点．

(1)、求 $|\vec{A D} \times \vec{B P}|$ ；

(2)、若 $E$ 为线段 $A D$ 的中点，求二面角 $P - E B - A$ 的正弦值；

(3)、线段 $P B$ 上是否存在一点 $M$ ，使得 $\vec{A D} \times \vec{B P} = λ \vec{E M}$ ，若存在，请求出 $|λ|$ 的值；若不存在，请说明理由．

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17、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 过点 $P (3, \sqrt{2})$ ，左右焦点分别为 $F_{1} (- 2, 0), F_{2} (2, 0)$ ．

(1)、求双曲线 $C$ 的方程；

(2)、过双曲线 $C$ 的右焦点 $F_{2}$ 作斜率为1的直线l，l与双曲线 $C$ 交于A，B两点，求 $|A B|$ ；

(3)、若 $O$ 是坐标原点，M，N是双曲线 $C$ 上不同的两点，且直线MN的斜率为常数 $k (k \neq 0)$ ，线段MN的中点为Q，求直线OQ的斜率．

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18、已知圆 $C : {(x + 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 9$ ，直线 $l : (2 m + 1) x + (m + 1) y - 7 m - 4 = 0$

(1)、求证：直线 $l$ 恒过定点 $Q$ ；

(2)、当圆心 $C$ 到直线 $l$ 的距离取得最大值时，求 $m$ 的值；

(3)、当 $m = 0$ 时， $P$ 为 $l$ 上一动点，过 $P$ 作圆 $C$ 的两条切线，切点分别为 $A, B$ ．求四边形 $P A C B$ 面积的最小值．

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19、如图，在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E, F$ 分别是平面 $A B_{1}$ ，平面 $A_{1} C_{1}$ 的中心．

(1)、求证： $B, C_{1}, F, E$ 四点共面；

(2)、求 $F - A_{1} B C D_{1}$ 的体积．

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20、如图，“爱心”图案由函数 $f (x) = - x^{2} + 4$ 的图像的一部分及其关于直线 $y = - x$ 的对称图形组成，点 $M$ 是该图案上一动点， $N$ 是其图象上点 $M$ 关于直线 $y = - x$ 的对称点，连接 $M N$ ，则 $|M N|$ 的最大值为．

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