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相关试卷

1、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}, S_{n + 1} = 3 S_{n} + 1$ ．

(1)、若 $\{a_{n}\}$ 为等比数列，求 $a_{1}$ ；

(2)、若 $a_{1} = \frac{5}{2}, b_{n} = \frac{2 n - 1}{S_{n} + \frac{1}{2}}$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

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2、已知 $P_{0} (0, 9)$ ，若三次函数 $f (x) = x^{3} + a x^{2} - 9 x + 9 (0 < a < 3)$ 在点 $P_{0}$ 处的切线与 $f (x)$ 图象交于另一点 $P_{1} (x_{1}, y_{1})$ ，在点 $P_{1}$ 处的切线与 $f (x)$ 图象交于另一点 $P_{2} (x_{2}, y_{2})$ ，则 $|y_{1} - y_{2}|$ 的最大值为．

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3、已知数列 $\{a_{n}\}$ 共10项， $a_{1} = 0, a_{10} = 20$ 且 $\{m | m = a_{k + 1} - a_{k}, 1 \leq k \leq 9, k \in N\} = \{1, 2, 3\}$ .若满足 $a_{k + 1} - a_{k} = 1$ 的 $k$ 共有奇数个，则满足条件的不同数列的个数为．

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4、已知复数 $z = \frac{3 - 4 i}{3 + 4 i}$ ，则 $|z| =$ .

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5、已知 $a \cos α + b \sin α = c, a \cos β + b \sin β = 0$ ，且 $a, b, c$ 不全为0， $a^{2} + b^{2} \neq c^{2}$ ，下列结论正确的是（）

A、若 $a = 0$ ，则 $\sin (α - β) = \frac{c}{b}$ B、若 $c = 0$ ，则 $α = β + k π, k \in Z$ C、若 $α - β = \frac{π}{4}$ ，则 $a^{2} + b^{2} = 2 c^{2}$ D、 $\tan^{2} (α - β) = \frac{c^{2}}{a^{2} + b^{2} - c^{2}}$

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6、在三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C$ ， $A B ⊥ B C$ ， $A B = B C$ ， $P A = A C = 2 \sqrt{3}$ ， $D$ 是 $△ P B C$ 内的动点（含边界）且 $B D ⊥ C D$ ，下列结论正确的是（）

A、二面角 $C - A B - P$ 为直二面角 B、 $C P$ 与平面 $A P B$ 所成角为 $\frac{π}{6}$ C、三棱锥 $A - B C D$ 的体积最大值为1 D、 $P D$ 的最小值为 $\frac{\sqrt{39} - \sqrt{6}}{2}$

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7、每个正整数都可以唯一表示成以下形式： $\sum_{i = 1}^{2 k + 1} {(- 1)}^{i - 1} 2^{a_{i}} = 2^{a_{1}} - 2^{a_{2}} + \dots + 2^{a_{2 k - 1}} - 2^{a_{2 k}} + 2^{a_{2 k + 1}}$ ，其中 $a_{1} < a_{2} < \dots < a_{2 k} < a_{2 k + 1}, a_{i} \in N (1 \leq i \leq 2 k + 1)$ 且 $k$ 为该正整数的“长度”，例如 $5 = 2^{0} - 2^{2} + 2^{3}$ ， $7 = 2^{0} - 2^{1} + 2^{3}$ ．若正整数 $n (1 \leq n \leq 1024)$ 的“长度”为1，则这样的 $n$ 的个数为（）

A、 $C_{9}^{3}$ B、 $C_{10}^{3}$ C、 $C_{11}^{3}$ D、 $C_{12}^{3}$

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8、下列四个选项中，最大的值为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\frac{3}{2}$ C、 $\log_{2} 3$ D、 $\sqrt[3]{3}$

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9、已知实数 $x, y$ 满足 $x^{2} + y^{2} = 4 x + 2 y + 4$ ，则 $2 x + y$ 的最大值是（）

A、 $5 - 3 \sqrt{5}$ B、 $5 + 3 \sqrt{5}$ C、8 D、 $\frac{9}{2} + \frac{3 \sqrt{17}}{2}$

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10、设 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上且周期为2的奇函数，当 $0 < x < 1$ 时， $f (x) = 4^{x} - 1$ ，则 $f (\frac{3}{2}) =$ （）

A、 $- 1$ B、1 C、7 D、 $- \frac{1}{2}$

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11、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的一条渐近线方程为 $y = \sqrt{3} x$ ，则 $C$ 的离心率为（）

A、2 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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12、下列函数 $f (x)$ 和 $g (x)$ 为同一函数的是（）

A、 $f (x) = x + 1$ 和 $g (x) = \sqrt{{(x + 1)}^{2}}$ B、 $f (x) = x^{2} + x^{0}$ 和 $g (x) = \frac{x^{3} + x}{x}$ C、 $f (x) = x^{2} + x$ 和 $g (x^{2}) = {(x^{2} + \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4}$ D、 $f (x) = \sqrt{\frac{x^{2} - 3 x}{x^{2}}}$ 和 $g (x) = \frac{\sqrt{x^{2} - 3 x}}{x}$

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13、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，则“ $a^{2} + b^{2} - a b = c^{2}$ ”是“ $△ A B C$ 为等边三角形”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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14、已知集合 $A = \{x | x < 3\}, B = \{y \in N | y^{2} < 10\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(0, 3)$ B、 $(- 3, 3)$ C、 $\{- 2, - 1, 0, 1, 2\}$ D、 $\{0, 1, 2\}$

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15、椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$ ，左、右顶点分别为 $A_{1}$ ， $A_{2}$ ，左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，上顶点为B， $△ A_{2} B F_{2}$ 的外接圆半径为 $\frac{\sqrt{21}}{3}$ ．

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、如图，斜率存在的动直线与椭圆C交于P，Q两点（P、Q位于x轴的两侧）、直线 $P A_{1}$ ， $P A_{2}$ ， $Q A_{2}$ ， $Q A_{1}$ 的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ， $k_{3}$ ， $k_{4}$ ，且 $k_{1} + k_{4} = \frac{5}{3} (k_{2} + k_{3})$ ，求 $△ P Q F_{1}$ 面积的取值范围．

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16、如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中， $A B / / C D$ ， $A B ⊥ A D$ ， $B C = C D = 2 A B = 2$ ， △ $P A D$ 是等边三角形， $M, N$ 分别为 $B C, P D$ 的中点．
（Ⅰ）求证： $M N / /$ 平面 $P A B$ ；
（Ⅱ）若二面角 $P － A D － C$ 的大小为 $\frac{π}{3}$ ，求直线 $M N$ 与平面 $P A D$ 所成角的正切值．

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17、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 过点 $M (3, \sqrt{2})$ ，且右焦点为 $F (2, 0)$ .

(1)、求双曲线 $C$ 的方程：

(2)、过点 $F$ 的直线 $l$ 与双曲线 $C$ 的右支交于 $A, B$ 两点，交 $y$ 轴于点 $P$ ，若 $\vec{P A} = m \vec{A F}, \vec{P B} = n \vec{B F}$ ，求证： $m + n$ 为定值.

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18、已知圆 $C_{1} : x^{2} + y^{2} - 6 x + 5 = 0$ ，圆 $C_{2} : x^{2} + y^{2} - 4 x + 2 y = 0$ ．

(1)、求圆 $C_{1}$ 与圆 $C_{2}$ 的公共弦长；

(2)、已知过原点的动直线与圆 $C_{1}$ 相交于不同的两点 $A, B$ ，求线段AB的中点M的轨迹方程．

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19、设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知 $\frac{a + b}{\sin (A + B)} = \frac{a - c}{\sin A - \sin B}$ ．

(1)、求B；

(2)、若 $b = 3$ ， $\cos A = \frac{\sqrt{6}}{3}$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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20、已知抛物线 $C$ 的方程为 $y = \frac{1}{4} x^{2}$ ， $F$ 为其焦点，点 $N$ 坐标为 $(0, - 4)$ ，过点 $F$ 作直线交抛物线 $C$ 于 $A, B$ 两点， $D$ 是 $x$ 轴上一点，且满足 $|D A| = |D B| = |D N|$ ，则直线 $A B$ 的斜率为.

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