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相关试卷

1、如图，已知 $a, b, c$ 为 $△ A B C$ 三个内角 $A, B, C$ 的对边， $D$ 为边 $B C$ 上一点，且 $A D ⊥ A C, ∠ A C B = ∠ B A D$ .

(1)、若 $b = c$ ，求 $\frac{C D}{B D}$ 的值；

(2)、若 $\frac{C D}{B D} = 3$ ，求 $tan C$ 的值；

(3)、求 $\frac{c^{2} - B D^{2} + b^{2}}{a^{2} + c^{2}}$ 的取值范围.

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2、每个面都是正多边形的凸多面体称为阿基米德多面体.现从一个棱长为2的正方体的每个角处，切去一个大小相同的正三棱锥，得到一个阿基米德多面体.

(1)、若截得的阿基米德多面体如图所示，求其表面积；

(2)、当截得的阿基米德多面体体积达到最大时：
（i）求此时该多面体的体积和外接球半径；
（ii）该几何体是否存在内切球（与每个面都相切），若有，求出内切球半径，若不存在，请说明理由.

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3、如图，在等腰梯形 $O A B C$ 中， $O A$ $∥$ $C B, O A = 2 A B = 2 B C = 2 O C$ ， $\vec{B M} = λ \vec{B A} (λ ϵ (0, 1)), O M$ 交 $A C$ 于 $P$ .

(1)、当 $λ = \frac{1}{2}$ 时，
（i）用 $\vec{O A}$ 和 $\vec{O C}$ 表示 $\vec{O M}$ ；
（ii）求 $\frac{|C P|}{|P A|}$ ；

(2)、设 $\vec{O B} = x \vec{C A} + y \vec{O M}$ ，求 $x + y$ 的取值范围.

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4、已知函数 $f (x) = A cos (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, |φ| < π)$ 图象上相邻的一个最低点与一个最高点分别为 $(- \frac{π}{12}, - 2), (\frac{5 π}{12}, 2)$ .

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、将 $f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{4}$ 个单位后得到函数 $g (x)$ 的图象，求 $g (x)$ 在 $x \in [- \frac{π}{6}, \frac{π}{3}]$ 上的单调区间.

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5、已知 $\vec{a} = (2, 1), \vec{b} = (- 3, 1)$

(1)、求向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角 $θ$ ；

(2)、求向量 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影向量.

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6、如图， $△ S A B$ 为圆锥的轴截面， $A B = 2, S A = 3$ ，则从点 $A$ 出发沿圆锥的侧面再回到点 $A$ 的最短路线的长是.

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7、若定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $f (0) = - 1$ ，对 $\forall x_{1}, x_{2} \in R, x_{1} \neq x_{2}$ ，存在常数 $a > 1$ ，都有 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} > a$ ，则下列结论中可能成立的是（）

A、 $f (\frac{1}{a}) < \frac{1}{a}$ B、 $f (\frac{1}{a}) > \frac{1}{a - 1}$ C、 $f (\frac{1}{a - 1}) < \frac{1}{a - 1}$ D、 $f (\frac{1}{a - 1}) > \frac{a}{a - 1}$

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8、对于复数 $z, z_{1}, z_{2}$ ，下列说法正确的是（）

A、若 $z < 0$ ，则 $z^{2} > 0$ B、若 $z^{2} > 0$ ，则 $z \in R$ C、若 $|z_{1}| > |z_{2}|$ ，则 $z_{1}^{2} > z_{2}^{2}$ D、若 $z_{1}^{2} > z_{2}^{2}$ ，则 $|z_{1}| > |z_{2}|$

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9、下列说法正确的是（）

A、相等的线段在直观图中仍然相等 B、平行的线段在直观图中仍然平行 C、相等的角在直观图中仍然相等 D、面积相等的三角形在直观图中其面积仍然相等

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10、已知函数 $f (x) = k cos x + 2 x$ 与 $g (x) = {(x + 1)}^{2} - k$ 的图象在 $x \in (- 1, 1)$ 时有且只有一个交点，则 $k =$ （）

A、-1 B、 $\frac{1}{2}$ C、1 D、2

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11、已知 $△ A B C$ 满足： $a = c \cdot cos A$ ，则角 $A$ 的最大值是（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{π}{2}$

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12、在 $Rt △ A B C$ 中， $C = \frac{π}{2}, C A = 3, C B = 4$ ，则 $|t \vec{C A} - (1 - t) \vec{C B}|$ 的最小值是（）

A、7 B、1 C、 $\frac{4}{3}$ D、 $\frac{12}{5}$

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13、已知函数 $f (x) = sin x + e^{x} - e^{- x} + 1$ ，则 $f (1) + f (- 1) =$ （）

A、0 B、1 C、2 D、4

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14、对于向量 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c} (\vec{c} \neq \vec{0})$ ，下列命题一定正确的是（）

A、若 $\vec{a}$ $/ /$ $\vec{b}$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}|$ B、若 $\vec{a}$ $/ /$ $\vec{b}, \vec{b}$ $/ /$ $\vec{c}$ ，则 $\vec{a}$ $/ /$ $\vec{c}$ C、若 $\vec{a} \cdot \vec{c} = \vec{b} \cdot \vec{c}$ ，则 $\vec{a}, \vec{b}$ 在 $\vec{c}$ 方向上的投影向量相等 D、若 $\vec{a} \cdot \vec{c} = \vec{b} \cdot \vec{c}$ ，则 $\vec{a} = \vec{b}$

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15、若 $a > b, c > d$ ，则下列不等式成立的是（）

A、 $a c^{2} > b c^{2}$ B、 $a c > b d$ C、 $\frac{a}{d} > \frac{b}{c}$ D、 $a + c > b + d$

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16、集合 $A = [- 1, 2], B = (0, 3)$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(0, 2]$ B、 $[- 1, 0)$ C、 $[- 1, 3)$ D、 $[2, 3)$

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17、在 $△ A B C$ 中，点 $P$ 在边 $A C$ 上， $\vec{P C} = 2 \vec{A P}$ ， $|\vec{A B}| = 2$ ， $|\vec{B C}| = 3$ ， $∠ A B C = 60 °$ ．

(1)、求 $\vec{B P}$ 的模；

(2)、求向量 $\vec{B A}$ 与 $\vec{B P}$ 夹角的余弦值；

(3)、若点 $M$ 在边 $A B$ 上，求 $\vec{M B} \cdot \vec{M C}$ 的范围．

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18、如图所示，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为梯形， $B C / / A D$ ， $B C = \frac{1}{2} A D$ ，面 $P B C \cap$ 面 $P A D = l$ ， $E$ 是 $P D$ 的中点.

(1)、求证： $C E / /$ 平面 $P A B$ ；

(2)、求证： $l / / A D$ ；

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19、设复数 $z_{1} = m^{2} - m - 2 + (m - 2) i$ ， $z_{2} = n + (n - 2) i$ ， $z_{3} = m + n i$ $(m, n \in R)$ .

(1)、若 $z_{1}$ 是纯虚数， $z_{2}$ 为实数，求 $|z_{3}|$ ；

(2)、若 $m = 3$ ，设 $z_{1} + i = (a + b i) \cdot (\bar{z_{1}} - i)$ $(a, b \in R)$ ，求 $a + b$ 的值.

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20、已知正四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ， $A B = \sqrt{3}, A A_{1} = 2$ ，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为.

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