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相关试卷

1、已知圆C方程为 $x^{2} + y^{2} + 2 x - 4 y + λ = 0$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $λ$ 的取值范围为 $(- \infty, 5]$ B、若已知 $P (1, 0)$ 在圆内，则 $λ < - 3$ C、圆C关于直线 $x + y - 1 = 0$ 对称 D、圆C与圆D： $x^{2} + y^{2} - 6 x + 4 y + 5 = 0$ 恰有三条公切线，则 $λ = - 3$

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2、在棱长为1的正四面体 $A B C D$ 中， $M$ 为棱 $B C$ 的中点， $N$ 为棱 $A D$ 上一点且 $A N = \frac{1}{2} N D$ ，则直线 $A M$ 和直线 $C N$ 夹角的余弦值为（）

A、 $- \frac{\sqrt{21}}{6}$ B、 $\frac{\sqrt{21}}{6}$ C、 $- \frac{\sqrt{15}}{6}$ D、 $\frac{\sqrt{15}}{6}$

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3、已知圆 $C : x^{2} + y^{2} = 4$ ，直线 $l : y = x + b$ ，若圆 $C$ 上恰有三个点到直线 $l$ 的距离等于1，则 $b$ 的值为（）

A、 $\pm 1$ B、 $\pm \sqrt{2}$ C、 $\pm \sqrt{3}$ D、 $\pm 2$

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4、已知函数 $y = φ (x)$ 的图象关于点 $P (a, b)$ 成中心对称图形的充要条件是 $y = φ (a + x) - b$ 是奇函数，给定函数 $f (x) = x - \frac{6}{x + 1}$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 图象的对称中心；

(2)、判断 $f (x)$ 在区间 $(0, + \infty)$ 上的单调性；

(3)、已知函数 $g (x)$ 的图象关于点 $(1, 1)$ 中心对称，且当 $x \in [0, 1]$ 时， $g (x) = x^{2} - m x + m$ （其中 $m < 0$ ），若对任意 $x_{1} \in [0, 2]$ ，总存在 $x_{2} \in [1, 5]$ ，使得 $g (x_{1}) = f (x_{2})$ ，求实数 $m$ 的取值范围.

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5、随着全球对环保和可持续发展的日益重视，电动汽车逐步成为人们购车的热门选择.有关部门在高速公路上对某型号电动汽车进行测试，得到了该电动汽车每小时耗电量 $P$ （单位： $kwh$ ）与速度 $v$ （单位： $km / h$ ）的数据如下表所示：）
$v$
60
70
80
90
100
$P$
8.8
11
13.6
16.6
20
为描述该电动汽车在高速公路上行驶时每小时耗电量 $P$ 与速度 $v$ 的关系，现有以下两种函数模型供选择：
① $P_{1} (v) = a v^{2} + b v + 4 (a, b \in R)$ ， ② $P_{2} (v) = k v + m (k, m \in R)$

(1)、请选择你认为最符合表格中所列数据的函数模型，说明理由，并求出相应的函数解析式；

(2)、现有一辆同型号电动汽车从A地出发经高速公路（最低限速 $60 km / h$ ，最高限速 $120 km / h$ ）匀速行驶到距离为 $500 km$ 的B地，出发前汽车电池存量为 $65 kmh$ ，汽车到达B地后至少要保留 $5 kmh$ 的保障电量（假设该电动汽车从静止加速到速度为 $v$ 的过程中消耗的电量与行驶的路程都忽略不计）.设耗电量 $y$ 关于速度 $v$ 的函数为 $f (v)$ ，求 $f (v)$ 的函数解析式，说明该电动汽车能否到达 $B$ 地.
（函数 $y = x + \frac{a}{x}$ 在 $(0, \sqrt{a})$ 上单调递减，在 $[\sqrt{a}, + \infty)$ 上单调递增，）

(3)、已知该高速公路上有一功率为 $16 kw$ 的充电桩（充电量 $=$ 充电功率 $\times$ 充电时间），确保电动车能从A地到达B地的前提下，求该电动汽车从 $A$ 地到达 $B$ 地所用时间（即行驶时间与充电时间之和）的最小值.

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6、已知集合 $A = \{x | - 2 \leq x - 1 \leq 5\}$ ，集合 $B = \{x | m + 1 \leq x \leq 2 m - 1\} (m \in R)$ .

(1)、若 $A \cap B = \emptyset$ ，求实数 $m$ 的取值范围；

(2)、设命题 $p : x \in A$ ；命题 $q : x \in B$ ，若命题 $\neg q$ 是命题 $\neg p$ 的必要不充分条件，求实数 $m$ 的取值范围.

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7、解答下列问题

(1)、若 $1 < a < 2$ ，化简 $\sqrt[3]{{(1 - a)}^{3}} + \sqrt[4]{{(2 - a)}^{4}}$

(2)、求值： ${(2 \frac{7}{9})}^{0.5} + {(\frac{27}{64})}^{- \frac{2}{3}} - {(\sqrt{8})}^{\frac{2}{3}} + {(\frac{2}{3})}^{0}$

(3)、已知 $a^{\frac{1}{2}} + a^{- \frac{1}{2}} = 3 (a > 0)$ ，求值： $\frac{a^{2} + a^{- 2} + 1}{a + a^{- 1} + 1}$

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8、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} x^{2} + a x + 2, x \leq 1 \\ \frac{1}{3 x}, x > 1 \end{array}$ 在 $R$ 上单调递减，则实数 $a$ 的取值范围为.

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9、下列函数中，满足 $f (2 x) = 2 f (x)$ 的是

A、 $f (x) = {(x + 2)}^{2}$ B、 $f (x) = 2^{x}$ C、 $f (x) = \{\begin{matrix} 3 x, x \geq 0 \\ x, x < 0 \end{matrix}$ D、 $f (x) = x - |x|$

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10、下列说法正确的是（）

A、 $y = \sqrt{1 + x} \cdot \sqrt{1 - x}$ 与 $y = \sqrt{1 - x^{2}}$ 表示同一个函数 B、幂函数的图象都过点 $(0, 0)$ 和 $(1, 1)$ C、函数 $f (x) = \frac{1 + 2^{x}}{1 - 2^{x}}$ 是奇函数 D、函数 $y = x + \sqrt{x - 1}$ 的值域为 $[1, + \infty)$

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11、已知奇函数 $f (x)$ 的定义域为 $(- 3, 3)$ ，且在 $[0, 3)$ 上单调递增，若实数 $a$ 满足 $f (2 a - 1) + f (- 1 - a) \leq 0$ ，则 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(- 2, 2]$ B、 $(- 1, 2]$ C、 $(- 4, 2)$ D、 $(- 1, 2)$

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12、已知 $a = 2^{0.3}$ ， $b = 4^{0.1}$ ， $c = {(\frac{1}{3})}^{0.2}$ ，则三个数的大小关系是（）

A、 $a > b > c$ B、 $b > a > c$ C、 $b > c > a$ D、 $c \geq a > b$

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13、关于基本不等式，下列选项正确的有（）

A、 $y = \sqrt{x^{2} + 4} + \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 4}}$ 的最小值为2 B、 $\frac{b}{a} + \frac{a}{b}$ 最小值为2 C、若 $x < - 1$ ，则 $y = x + \frac{1}{x + 1}$ 的最大值为-3 D、 $y = x (4 - 3 x)$ 取得最大值为1

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14、若幂函数 $y = (m^{2} - 2 m - 2) x^{m}$ 在 $(0, + \infty)$ 单调递增，则 $m$ 的值为（）

A、-1 B、1 C、3 D、-1或3

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15、已知集合 $A$ 是满足下列条件的函数 $f (x)$ 的全体：在定义域内存在实数 $x_{0}$ ，使得 $f (x_{0} + 1) + f (x_{0}) = f (1)$ 成立.
(1)判断幂函数 $f (x) = x^{- 1}$ 是否属于集合 $A$ ？并说明理由；
(2)设 $g (x) = lg \frac{2^{x} + a}{b}$ ， $x \in (- \infty, 1]$ ，
i)当 $b = 1$ 时，若 $g (x) \in A$ ，求 $a$ 的取值范围；
ii)若对任意的 $a \in (0, 2)$ ，都有 $g (x) \in A$ ，求 $b$ 的取值范围

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16、已知函数 $f (x) = 2^{x + 1}$ 定义在 $R$ 上，若 $f (x)$ 可以表示为一个偶函数 $g (x)$ 与一个奇函数 $h (x)$ 之和，设 $h (x) = t$ ， $p (t) = g (2 x) + 2 m h (x) + m^{2} - m - 1 (m \in R)$ ．

(1)、求出 $p (t)$ 的解析式（用t表示）；

(2)、若 $p (t) \geq m^{2} - m - 1$ 对于任意 $t \in [1, 2]$ 恒成立，求m的取值范围；

(3)、若方程 $p (p (t)) = 0$ 无实根，求m的取值范围．

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17、数学兴趣小组在研究学校附近池塘里某种水生植物的面积变化情况，每隔一个月（每月月底）测量一次该水生植物的面积，通过近一年的观察发现：该水生植物在池塘里面积增加的速度是越来越快的．已知二月底测得该水生植物的面积为 $24 m^{2}$ ，三月底测得该水生植物的面积为 $40 m^{2}$ ，该水生植物的面积y（单位： $m^{2}$ ）与时间x（单位：月）的关系有两个函数模型可供选择：一个是同学甲提出的 $y = k a^{x}$ （ $k > 0$ ， $a > 1$ ），另一个是同学乙提出的 $y = p x^{\frac{1}{3}} + k$ （ $p > 0$ ， $k > 0$ ），记一月底测量时间x的值为1．

(1)、请你判断哪个同学提出的函数模型更适合？并求出该函数模型的解析式；

(2)、自几月底起池塘里该水生植物面积是一月底该水生植物面积的10倍以上？（参考数据： $\lg 2 \approx 0.30$ ， $\lg 3 \approx 0.48$ ）

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18、已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，当 $x \in [0, + \infty)$ 时， $f (x) = x + \log_{2} (x + 1)$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 在 $(- \infty, 0)$ 上的解析式；

(2)、求不等式 $f (\log_{\frac{1}{2}} x) + f (\log_{2} (2 x - 1)) < 0$ 的解集．

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19、（1）化简并求值： $e^{\ln 3} + \lg 2 + \lg 5 - 8^{\frac{2}{3}} + {(- 2025)}^{0}$ ；
（2）已知 $\tan α = 2$ ，求 $\sin^{2} α + \sin α \cos α + 2 \cos^{2} α$ 的值．

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20、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} (3 - a) x + a - 1, x < 1 \\ \log_{a} (x^{2} - a x + \frac{11}{4}), x \geq 1 \end{array}$ ，若 $f (x)$ 在 $R$ 上是增函数，则实数 $a$ 的取值范围是．

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$v$	60	70	80	90	100
$P$	8.8	11	13.6	16.6	20