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相关试卷

1、已知 $α$ 是第二象限角且 $sin α = \frac{3}{5}$ ， $2 sin β - cos β = 0$ ，则 $tan (α - β)$ 的值为（）

A、1 B、－1 C、－2 D、 $\frac{2}{11}$

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2、计算 $\sin 20^{\circ} \cos 70^{\circ} - \cos 160^{\circ} \sin 70^{\circ}$ 的值等于（）

A、1 B、 $- 1$ C、 $\sin 50^{\circ}$ D、 $- \sin 50^{\circ}$

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3、与 $- 465 °$ 角终边相同的角的集合是（）

A、 $\{α ∣ α = 465 ° + k \cdot 360 °, k \in Z\}$ B、 $\{α ∣ α = 105 ° + k \cdot 360 °, k \in Z\}$ C、 $\{α ∣ α = 255 ° + k \cdot 360 °, k \in Z\}$ D、 $\{α ∣ α = 75 ° + k \cdot 360 °, k \in Z\}$

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4、信息在传送中都是以字节形式发送，每个字节只有0或1两种状态，为保证信息在传送中不至于泄露，往往需要经过多重加密，若 $A$ ， $B$ 是含有一个字节的信息，在加密过程中，会经过两次加密，第一次加密时信息中字节会等可能的变为0或1，且0，1之间转换是相互独立的，第二次加密时，字节中0或1发生变化的概率为 $p$ ，若 $A$ ， $B$ 的初始状态为0，1或1，0，记通过两次加密后 $A$ ， $B$ 中含有字节1的个数为 $X$ .

(1)、若两次加密后的 $A$ ， $B$ 中字节1的个数为2，且 $p = \frac{1}{3}$ ，求 $A$ ， $B$ 通过第一次加密后字节1的个数为2的概率；

(2)、若一条信息有 $n (n > 1, n \in N^{*})$ 种等可能的情况且各种情况互斥，记这些情况发生的概率分别为 $p_{1}, p_{2}, \dots, p_{n}$ ，则称 $H = f (p_{1}) + f (p_{2}) + \dots + f (p_{n})$ （其中 $f (x) = - x {log}_{2} x$ 为这条信息的信息熵，试求 $A$ ， $B$ 经过两次加密后字节1的个数为 $X$ 的信息熵 $H$ ；

(3)、将一个字节为0的信息通过第二次加密，当字节变为1时停止，否则重复第二次加密直至字节变为1，设停止加密时该字节第二次加密的次数为 $Y (Y = 1, 2, 3, \dots, n)$ .证明： $E (Y) < \frac{1}{p}$ .

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5、为了更好了解两会知识，某高中拟组织一次两会知识测试，从全校学生中随机抽取30人进行模拟测试，其中高一年级组12人，高二年级组10人，高三年级组8人，测试共分为两轮.

(1)、第一轮测试按高一､高二､高三3个小组顺次进行，若一切正常，参测小组完成测试的时间为20分钟；若出现异常情况，则参测小组需要延长5分钟才能完成测试.已知每一小组正常完成测试的概率均为 $\frac{3}{4}$ ，且各小组是否正常完成测试互不影响.记3个小组全部完成测试所需总时间为 $X$ ，求 $X$ 的分布列；

(2)、第二轮测试将3组同学混合进行排序，每位同学按排序顺次进行面试，且每人测试时间相等.
①求最后一名同学来自高一年级组的条件下，高二年级组同学比高三年级组同学提前完成面试的概率；
②若所有参加面试的同学都可以得到一本“两会纪念册”，成绩优秀的同学还可以多得一本“两会纪念册”，已知每一名同学面试成绩优秀的概率均为 $\frac{1}{3}$ ，设这30名同学所得“两会纪念册”总数恰好为 $n$ 个的概率为 $P_{n}$ ，当 $P_{n}$ 取最大值时，求 $n$ 的值.

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6、（1）已知 ${(\sqrt[3]{x^{2}} + 3 x^{2})}^{n}$ 的展开式中，各项的系数和比各项的二项式系数和大240，求展开式中二项式系数最大的项.
（2）已知 ${(\sqrt{x} + \frac{2}{x^{2}})}^{n}$ 的展开式中，只有第6项的二项式系数最大，求该展开式中系数最大的项.

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7、用0，1，2，3，4，5这六个数字，能组成多少个符合下列条件的数字？（用数字作答）

(1)、无重复数字的四位奇数；

(2)、无重复数字且能被5整除的四位数；

(3)、无重复数字且比1203大的四位数.

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8、甲、乙两名运动员进行乒乓球比赛，规定每局比赛胜者得1分，负者得0分，比赛一直进行到一方比另一方多两分为止，多得两分的一方赢得比赛．已知每局比赛中，甲获胜的概率为 $α$ ，乙获胜的概率为 $β$ ， $(α + β = 1, α > 0, β > 0)$ ，且每局比赛结果相互独立．
①若 $α = \frac{2}{3}, β = \frac{1}{3}$ ，则甲运动员恰好在第4局比赛后赢得比赛的概率为；
②若比赛最多进行5局，则比赛结束时比赛局数 $X$ 的期望 $E (X)$ 的最大值为．

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9、亚冬会期间，组委会将5名志愿者分配到三个场馆进行引导工作，每个场馆至少分配一人，每人只能去一个场馆.若甲､乙要求去同一个场馆，则所有不同的分配方案的种数为.

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10、 ${(\frac{1}{\sqrt{x}} - 2 x)}^{6}$ 展开式中的常数项为.

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11、全国高考I卷数学试题第二部分为多选题，共3个小题，每小题有4个选项，其中有2个或3个是正确选项，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.若正确答案是2个选项，只选对1个得3分，有选错的得0分：若正确答案是3个选项，只选对1个得2分，只选对2个得4分，有选错的得0分.小明对其中的一道题完全不会，该题有两个正确选项的概率是 $\frac{2}{3}$ ，记 $X$ 为小明随机选择1个选项的得分，记 $Y$ 为小明随机选择2个选项的得分，则（）

A、 $P (X = 3) = P (Y = 4) + P (Y = 6)$ B、 $E (Y) < E (X)$ C、 $D (X) = \frac{5}{4}$ D、 $E (X^{2}) - D (X) = \frac{9}{4}$

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12、一个课外兴趣小组共有5名成员，其中有3名女性成员，2名男性成员，现从中随机选取3名成员进行学习汇报，记选出女性成员的人数为 $X$ ，则下列结论正确的有（）

A、 $P (X = 1) = \frac{1}{5}$ B、 $P (X \geq 2) = \frac{7}{10}$ C、 $E (X) = \frac{9}{5}$ D、 $D (X) = \frac{9}{25}$

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13、已知 $(1 - x) {(1 - \frac{2}{x})}^{5} = a_{0} x + a_{1} + a_{2} x^{- 1} + a_{3} x^{- 2} + a_{4} x^{- 3} + a_{5} x^{- 4} + a_{6} x^{- 5}$ ，则（）

A、 $a_{3} = 120$ B、 $a_{0} + a_{2} + a_{4} + a_{6} = - 243$ C、 $a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} + a_{5} + a_{6} = 0$ D、 $|a_{0}| + |a_{1}| + |a_{2}| + \dots + |a_{6}| = 486$

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14、数学家波利亚说过：为了得到一个方程，我们必须把同一个量以两种不同的方法表示出来，即将一个量算两次，从而建立相等关系.根据波利亚的思想，由恒等式 ${(1 + x)}^{m} \cdot {(1 + x)}^{n} = {(1 + x)}^{m + n}$ （m， $n \in N^{*}$ ）左右两边展开式 $x^{r}$ （其中 $r \in N^{*}$ ， $r \leq n$ ， $r \leq m$ ）系数相同，可得恒等式 $C_{n}^{0} C_{m}^{r} + C_{n}^{1} C_{m}^{r - 1} + \dots + C_{n}^{r} C_{m}^{0}$ $= C_{n + m}^{r}$ ，我们称之为范德蒙德恒等式，下列关于范德蒙德恒等式说法正确的是（）

A、 $C_{n}^{r} C_{m}^{s} = C_{m + n}^{n + s}$ B、 $C_{5}^{0} C_{6}^{6} + C_{5}^{1} C_{6}^{5} + \dots + C_{5}^{5} C_{6}^{1} = C_{11}^{6}$ C、 $C_{10}^{0} C_{10}^{1} + C_{10}^{1} C_{10}^{2} + \dots + C_{10}^{9} C_{10}^{10} = C_{20}^{9}$ D、 ${(C_{n}^{1})}^{2} + {(C_{n}^{2})}^{2} + \dots + {(C_{n}^{n})}^{2} = C_{2 n}^{n} - 1$

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15、某公司人事部门收到两所高校毕业生的报表，分装2袋，第一袋装有6名男生和4名女生的报表，第二袋装有7名男生和5名女生的报名.随机选择一袋，然后从中随机抽取2份，则恰好抽到男生和女生报表各1份的概率为（）

A、 $\frac{8}{15}$ B、 $\frac{35}{66}$ C、 $\frac{331}{660}$ D、 $\frac{351}{660}$

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16、甲、乙两名同学参加了班级组织的数学知识有奖竞答活动，二人从各自的10道题中（这20道题均不相同）各自独立地随机抽取2道题现场回答，已知在每人的10道题中，均有5道是代数题，5道是几何题，则甲、乙两名同学抽取的4道题目中有且仅有2道代数题的概率为（）

A、 $\frac{25}{81}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{11}{27}$ D、 $\frac{3}{4}$

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17、5个相同的球，放入8个不同的盒子中，每个盒里至多放一个球，则不同的放法有（）

A、 $A_{8}^{5}$ 种 B、 $C_{8}^{5}$ 种 C、 $5^{8}$ 种 D、 $8^{5}$ 种

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18、已知随机变量 $X$ 的分布列如下表，若 $E (X) = \frac{1}{3}$ ，则 $D (X) =$ （）
$X$
$- 1$
$0$
$1$
P
$a$
$b$
$\frac{1}{2}$

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{5}{9}$ D、 $\frac{7}{9}$

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19、正八边形的对角线的条数为（）

A、20 B、28 C、40 D、56

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20、设 $n$ 次多项式 $T_{n} (x) = a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + a_{2} x^{2} + a_{1} x^{1} + a_{0}, (a_{n} \neq 0)$ ，若其满足 $T_{n} (cos θ) = cos n θ$ ，则称这些多项式 $T_{n} (x)$ 为切比雪夫多项式.例如：由 $cos 2 θ = 2 {cos}^{2} θ - 1$ 可得切比雪夫多项式 $T_{2} (x) = 2 x^{2} - 1$ .

(1)、求切比雪夫多项式 $T_{3} (x)$ ；

(2)、求 $sin 18^{\circ}$ 的值；

(3)、已知方程 $8 x^{3} - 6 x - 1 = 0$ 在 $(- 1, 1)$ 上有三个不同的根，记为 $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ ，求证： $x_{1} + x_{2} + x_{3} = 0$ .

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$X$	$- 1$	$0$	$1$
P	$a$	$b$	$\frac{1}{2}$