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相关试卷

1、亭子是一种中国传统建筑，多建于园林，人们在欣赏美景的同时也能在亭子里休息、避雨、乘凉（如图1）.假设我们把亭子看成由一个圆锥 $P - O_{1}$ 与一个圆柱 $O O_{1}$ 构成的几何体 $Ω$ （如图2，其中 $P$ ， $O_{1}$ ， $O$ 三点共线）.一般地，设圆锥 $P - O_{1}$ 中母线与底面所成角的大小为 $α$ ，当 $20 ° < α < 35 °$ 时，方能满足建筑要求.已知圆锥高为1.6米，底面半径为2.4米.圆柱高为3米，底面半径为2米.

(1)、求几何体 $Ω$ 的体积；

(2)、如图2，设 $E$ 为圆柱底面半圆弧 $C D$ 的三等分点，求圆柱母线 $E F$ 和圆锥母线 $P B$ 所在异面直线所成角的正切值，并判断该亭子是否满足建筑要求.

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2、已知直线 $l$ ： $a x - y + 2 - a = 0$ 恒过点 $P$ ， $O$ 为坐标原点.

(1)、求点 $P$ 的坐标；

(2)、当点 $O$ 到直线 $l$ 的距离最大时，求直线 $l$ 的方程；

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3、已知点 $M (- 1, 2)$ ，直线l： $2 x + y - 5 = 0$

(1)、求点M关于点 $F (3, 1)$ 对称点 $N$ 的坐标

(2)、求过点M与直线l平行的直线.

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4、如图，圆 $C$ 分别与 $x$ 轴正半轴， $y$ 轴正半轴相切于点 $A, B$ ，过劣弧 $A B$ 上一点 $T$ 作圆 $C$ 的切线，分别交 $x$ 轴正半轴， $y$ 轴正半轴于点 $M, N$ ，若点 $Q (2, 1)$ 是切线上一点，则 $Δ M O N$ 周长的最小值为------------------------------------------------------------------

A、10 B、8 C、 $4 \sqrt{5}$ D、12

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5、设点 $P (x, y)$ 是曲线 $\sqrt{\frac{x^{2}}{25}} + \sqrt{\frac{y^{2}}{169}} = 1$ 上的点，又点 $F_{1} (0, - 12)$ ， $F_{2} (0, 12)$ ，下列结论正确的是（）

A、 $|P F_{1}| + |P F_{2}| = 26$ B、 $|P F_{1}| + |P F_{2}| < 26$ C、 $|P F_{1}| + |P F_{2}| \leq 26$ D、 $|P F_{1}| + |P F_{2}| > 26$

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6、已知点 $A (- 7, 0), B (7, 0)$ ，动点P满足 $|P A| + |P B| = 16$ ，则点P的轨迹为（）

A、椭圆 B、直线 C、圆 D、线段

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7、在如图所示的平面中，点 $C$ 为半圆的直径 $A B$ 延长线上的一点， $A B$ = $B C$ =2，过动点 $P$ 作半圆的切线 $P Q$ ，若 $P C$ = $\sqrt{2}$ $P Q$ ，则△ $P A C$ 的面积的最大值为.

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8、椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ 的一个焦点是 $F$ ，动点 $P$ 是椭圆上的点，以线段 $P F$ 为直径的圆始终与一定圆相切，则定圆的方程是；

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9、圆心在直线 $y = - x + 1$ 上，且与直线 $x + y - 2 = 0$ 相切于点 $(1, 1)$ 的圆的方程是

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10、与圆 $C_{1}$ ： ${(x - 2)}^{2} + y^{2} = 4$ 关于直线 $y = x + 2$ 对称的圆 $C_{2}$ 的方程是.

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11、已知直线 $l$ ： $y = k x + 2$ 经过点 $(\sqrt{3}, 1)$ ，则直线l倾斜角的大小为.

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12、已知位于 $y$ 轴右侧的圆 $C$ 与 $y$ 轴相切于点 $P (0, 1)$ ，与 $x$ 轴相交于点 $A$ 、 $B$ 两点，且被 $x$ 轴分成的两段弧之比为 $1 : 2$ （如图所示）.

(1)、求圆 $C$ 的方程；

(2)、若经过点 $Q (4, 0)$ 的直线 $l$ 与圆 $C$ 相交于点 $E$ ， $F$ 两点，且 $\vec{C E} \cdot \vec{C F} = 2$ ，求直线 $l$ 的方程.

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13、已知数列 $\{a_{n}\}$ 为等差数列，其前n项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{8} = 1$ ， $S_{7} = - 49$ ．

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、设数列 $\{\frac{S_{n}}{n}\}$ 的前n项和为 $T_{n}$ ，求 $T_{n}$ 的最小值．

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14、若数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $\frac{1}{a_{n + 1}} - \frac{1}{a_{n}} = d$ （ $n \in N^{*}$ ， d为常数），则称数列 $\{a_{n}\}$ 为调和数列．已知数列 $\{\frac{1}{x_{n}^{2}}\}$ 为调和数列，且 $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2} + \dots + x_{2025}^{2} = 4050$ ，则 $x_{2} + x_{2024}$ 的最大值为.

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15、如图，四边形 $A B C D$ 是边长为2的正方形，半圆面 $A P D ⊥$ 平面 $A B C D$ ，点 $P$ 为半圆弧 $A D$ 上的动点（不与点 $A, D$ 重合），下列说法正确的是（）

A、三棱锥 $P - A B D$ 的四个面都是直角三角形，且体积最大值为 $\frac{2}{3}$ B、点 $P$ 运动时，四棱锥 $P - A B C D$ 的外接球半径为定值 $\sqrt{3}$ C、当 $∠ P A D = 60^{\circ}$ 时，异面直线 $P A$ 与 $B D$ 所成的角余弦值为 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ D、半圆弧 $\overset{⌢}{A D}$ 上存在唯一的点 $P$ ，使得直线 $P B$ 与平面 $A B C D$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{15}}{10}$

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16、已知曲线 $C$ ： $m x^{2} - y^{2} = 4 m$ ，其中 $m$ 为非零常数，则下列结论中正确的是（）

A、当 $m = 5$ 时，曲线 $C$ 是双曲线且渐近线方程为 $\sqrt{5} x \pm y = 0$ B、曲线 $C$ 不可能是圆 C、当 $m > 0$ 时，曲线 $C$ 是双曲线 D、若曲线 $C$ 是离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 的椭圆，则 $m = - 2$

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17、已知抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的焦点为F，A、B是抛物线上异于原点O的两点，且 $O A ⊥ O B$ ，则 $4 |F A| + |F B|$ 的最小值为（）

A、21 B、13 C、10 D、9

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18、已知 $S_{n}$ 是等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，若 $S_{12} < S_{11} < S_{13}$ ，则使 $S_{n} > 0$ 的最小整数 $n =$ （）

A、22 B、23 C、24 D、25

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19、已知二面角 $α - l - β$ 的平面角为 $120 °$ ， $A \in l$ ， $B \in l$ ， $A C \subset α$ ， $B D \subset β$ ， $A C ⊥ l$ ， $B D ⊥ l$ ，若 $A B = A C = B D = 1$ ，则CD长为（）

A、4 B、 $\sqrt{5}$ C、2 D、 $\sqrt{2}$

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20、已知点 $A (- 1, 0, 1), B (a, a + 1, a - 1),$ 若平面 $A B C$ 的一个法向量为 $\vec{n} = (1, - 1, 2),$ 则 $|\vec{A B}| =$ （）

A、 $\sqrt{6}$ B、 $3 \sqrt{2}$ C、3 D、 $\sqrt{33}$

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