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相关试卷

1、已知正 $n$ 边形 $A_{1} A_{2} \dots A_{n} (n \leq 15)$ 内接于单位圆 $O$ ，任取两个不同顶点 $A_{i}, A_{j}$ ，满足 $|{\vec{O A}}_{i} + {\vec{O A}}_{j}| \geq \sqrt{3}$ 的概率为 $\frac{2}{7}$ ，则 $n$ 的值为.

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2、已知函数 $f (x) = \{\begin{cases} x^{2} + 2 x - k, x \leq \frac{1}{2} \\ |ln x|, x > \frac{1}{2} \end{cases}$ 的最小值为0，则实数 $k$ 的取值范围是.

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3、在 $(2 - \frac{x}{y}) {(x + y)}^{5}$ 的展开式中，含 $x^{3} y^{2}$ 的项的系数是.

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4、已知四棱锥 $P - A B C D$ 满足底面 $A B C D$ 为平行四边形，取 $P C$ 中点 $M$ ，过直线 $A M$ 作平面 $α$ 分别交棱 $P B, P D$ 于点 $S, T$ .设 $x = \frac{P S}{P B}, y = \frac{P T}{P D}$ ，则（）

A、三棱锥 $P - A M B$ 的体积是四棱锥 $P - A B C D$ 的体积的 $\frac{1}{4}$ B、 $x$ 的取值范围为 $(0, 1]$ C、当 $x = \frac{2}{3}$ 时， $y = \frac{2}{3}$ D、四棱锥 $P - A S M T$ 的体积与四棱锥 $P - A B C D$ 的体积之比的最小值为 $\frac{1}{3}$

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5、已知点 $A$ 为直线 $l : 4 x + 3 y + t = 0 (t \in R)$ 上的动点，向量 $\vec{A B} = (2, 1)$ ，过点 $B$ 向圆 $C : x^{2} + y^{2} = 1$ 作两条切线，切点分别为点 $D, E$ ，则（）

A、若直线 $l$ 与圆 $C$ 相切，则 $t = \pm 5$ B、当 $t = 1$ 时，直线 $l$ 截圆 $C$ 所得的弦长为 $\frac{4}{5} \sqrt{6}$ C、点 $B$ 到直线 $l$ 的距离恒为 $\sqrt{5}$ D、若 $t < 0$ ，则当 $|B C| |D E|$ 取到最小值时， $l ⊥ B C$

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6、已知 $a \in R$ ，对任意 $z \in (0, + \infty)$ ，方程组 $\{\begin{array}{l} x + y = a z \\ x y = ln z \end{array}$ 存在实数解 $(x, y)$ ，则 $a^{2}$ 的最小值为（）

A、 $\frac{1}{e}$ B、 $\frac{2}{e}$ C、1 D、2

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7、已知 $sin (θ + \frac{π}{3}) sin (θ - \frac{π}{3}) = - \frac{1}{20}$ ，则 ${sin}^{4} θ + {cos}^{4} θ =$ （）

A、 $\frac{23}{50}$ B、 $\frac{27}{50}$ C、 $\frac{29}{50}$ D、 $\frac{31}{50}$

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8、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 2, a_{3} + a_{5} = 10$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ 满足 $S_{n} = 2 b_{n} - 3 (n \in N^{*})$ ，则数列 $\{b_{a_{n}}\}$ 的前10项和为（）

A、2046 B、3069 C、6138 D、6144

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9、记 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，则“ $1 < x < 2$ ”是“ $0 < [x] < 2$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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10、将函数 $f (x) = sin (2 x - \frac{π}{4})$ 的图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位，得到函数 $g (x)$ 的图象，则（）

A、 $g (x) = sin (2 x - \frac{π}{12})$ B、 $g (x) = sin (2 x + \frac{π}{12})$ C、 $g (x) = sin (2 x - \frac{5 π}{12})$ D、 $g (x) = sin (2 x - \frac{7 π}{12})$

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11、椭圆 $3 x^{2} + y^{2} = 1$ 的离心率是（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$

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12、已知复数 $z = \frac{2}{\sqrt{3} - i}$ （ $i$ 为虚数单位），则其共轭复数为（）

A、 $\frac{\sqrt{3} - i}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3} + i}{2}$ C、 $\sqrt{3} - i$ D、 $\sqrt{3} + i$

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13、已知集合 $A = \{x ∣ - 2 \leq x \leq 2\}, B = {x ∣ 0 < x \leq 3}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{x ∣ - 2 \leq x \leq 2\}$ B、 ${x ∣ 0 < x \leq 2}$ C、 ${x ∣ 0 < x \leq 3}$ D、 $\{x ∣ - 2 \leq x \leq 3\}$

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14、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，且椭圆上的一点与两个焦点构成的三角形周长为 $4 + 2 \sqrt{2}$ .
（1）求椭圆 $C$ 的方程；
（2）已知直线 $y = k (x - 1)$ 与椭圆 $C$ 相交于 $A, B$ 两点.
①若线段 $A B$ 中点的横坐标为 $\frac{1}{2}$ ，求 $k$ 的值；
②在 $x$ 轴上是否存在点 $Q$ ，使 $\overset{⇀}{Q A} \cdot \overset{⇀}{Q B}$ 为定值？若是，求点 $Q$ 的坐标；若不是，请说明理由.

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15、已知 $x^{2} + y^{2} - 4 x + 6 y + k = 0$ 表示圆，则下列结论正确的是（）

A、圆心坐标为 $(- 2, 3)$ B、当 $k = 0$ 时，半径 $r = \sqrt{13}$ C、圆心到直线 $x + y - 1 = 0$ 的距离为 $\sqrt{2}$ D、当 $k = 4$ 时，圆面积为 $16 π$

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16、已知两圆C₁：(x＋3)²＋y²＝1，C₂：(x－3)²＋y²＝9，动圆M同时与圆C₁和圆C₂外切，则动圆圆心M的轨迹方程为（）

A、 $x^{2} - \frac{y^{2}}{8} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{8} - y^{2} = 1$ C、 $x^{2} - \frac{y^{2}}{8} = 1 (x \geq 1)$ D、 $x^{2} - \frac{y^{2}}{8} = 1$ (x≤－1)

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17、若直线 $a x + y + c = 0$ 经过第一、二、四象限，则有（）

A、 $a > 0$ ， $c > 0$ B、 $a > 0$ ， $c < 0$ C、 $a < 0$ ， $c > 0$ D、 $a < 0$ ， $c < 0$

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18、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右顶点分别为 $M, N$ ，且椭圆 $C$ 过点 $(1, \frac{3}{2})$ ，离心率为 $\frac{1}{2}$ ．

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、过动点 $P (4, m)$ 作椭圆 $C$ 的切线，切点为 $A, B$ ， $A$ 在 $x$ 轴上方．
（i）证明：直线 $A M$ 与直线 $B N$ 的斜率之比为定值；
（ii）若 $m = 4$ ，过点 $P$ 作直线 $l$ 交椭圆 $C$ 于 $D, E$ 两点，过 $D$ 作 $P A$ 的平行线，交 $A E$ 于点 $F$ ， $D F$ 交 $A B$ 于点 $G$ ，此时 $|D G| = |F G|$ ，求满足条件的所有直线 $P D$ 的斜率．

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19、已知函数 $f (x) = e^{x} + a \cos x - x$ （ $e$ 为自然对数的底数， $e \approx 2.71828$ ）．

(1)、若 $a = 0$ ，讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $a = - 1$ ，证明： $f (x) > 5$ 在 $(2, 3)$ 上恒成立；

(3)、若 $x \in [1, 3]$ ，不等式 $a \cos (\ln x) \geq \ln x - x + 2$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围．

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20、某市 $A, B$ 两个博物馆为应对暑期参观高峰，招聘博物馆讲解员志愿者，参与者通过笔试、面试、模拟技能这3项考核后可以被聘为志愿者．所有参与者均需参加3项考核，且3项考核的结果互不影响，3项考核均通过后聘为讲解员志愿者．去年有100名高中生参加 $A$ 博物馆志愿者招聘，具体招聘结果如下表所示：
性别
参加考核但未聘用的人数
参加考核并成功聘用的人数
男生
45
10
女生
30
15
今年，某高中生小乐准备参加志愿者招聘，假定他参加各项考核的结果相互不影响，且专业人士对他作出较客观的估计：小乐通过 $A$ 博物馆的每项考核的概率均为 $\frac{1}{2}$ ，通过 $B$ 博物馆的各项考核的概率分别为： $\frac{1}{3}, \frac{3}{5}, \frac{1}{2}$ ．

(1)、依据小概率值 $α = 0.05$ 的独立性检验，判断去年100名高中生参加 $A$ 博物馆的志愿者招聘能否聘用与性别是否有关联；

(2)、若小乐通过 $A, B$ 两个博物馆考核的项数分别记为 $X, Y$ ，分别求出 $X$ 与 $Y$ 的数学期望．
附：参考公式： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ ．
参考数据：
$α$
0.15
0.1
0.05
0.025
0.01
0.005
0.001
$x_{a}$
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828

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性别	参加考核但未聘用的人数	参加考核并成功聘用的人数
男生	45	10
女生	30	15

$α$	0.15	0.1	0.05	0.025	0.01	0.005	0.001
$x_{a}$	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828