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相关试卷

1、日常生活中的饮用水通常是经过净化的.随着水的纯净度的提高，所需净化费用不断增加.已知将1吨水净化到纯净度为 $x %$ 时所需费用（单位：元）为 $c (x) = \frac{5284}{100 - x} (50 < x < 100)$ .若1吨饮用水的售价为528.4元，要使净化的饮用水可以获得利润，则净化到的纯净度应该低于（）

A、 $89 %$ B、 $90 %$ C、 $91 %$ D、 $99 %$

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2、函数 $f (x) = \frac{x^{3}}{x^{2} + 1}$ 的大致图象是（）

A、 B、 C、 D、

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3、函数 $f (x) = \sqrt{x} + \frac{1}{x - 6}$ 的定义域为（）

A、 $[0, + \infty)$ B、 $[0, 6) \cup (6, + \infty)$ C、 $(- \infty, 6) \cup (6, + \infty)$ D、 $(0, + \infty)$

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4、已知 $f (x)$ 是奇函数，当 $x \in (0, + \infty)$ 时， $f (x) = 2 x^{2} - | x |$ ，则 $f (- 2) =$ ．

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5、若幂函数 $f (x) = (m^{2} + 3 m - 27) x^{m}$ 的图象关于 $y$ 轴对称，则 $m =$ （）

A、8 B、 $- 7$ C、4 D、2

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6、“ $x = - 2$ ”是“ $x^{2} + 2 x = 0$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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7、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} x - 2, x \leq 1 \\ f (x - 2) + 1, x > 1 \end{array}$ 则 $f (2) =$ （　　）

A、 $- 2$ B、 $- 1$ C、 $0$ D、 $1$

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8、命题“每个函数都有最大值”的否定是（）

A、每个函数都有最小值 B、每个函数都没有最大值 C、至少有一个函数没有最大值 D、至少有一个函数没有最小值

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9、如图1，在平面五边形 $A B C D E$ 中， $A B // C D$ ， $A B ⊥ B C$ ， $A B = 2 B C = 2 C D = 4$ ， $△ A D E$ 是正三角形， $F$ 为 $A B$ 中点，将 $△ A D E$ 沿 $A D$ 翻折到 $△ A D P$ ，形成四棱锥 $P - A B C D$ ，如图2所示．

(1)、求证： $A D ⊥ P F$ ；

(2)、当 $P A = P B$ 时，求直线 $P F$ 与平面 $P C D$ 所成角的正切值；

(3)、求平面 $P A B$ 与平面 $P C D$ 夹角的余弦值的最小值．

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10、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是菱形， $∠ B A D = 60 °$ ， $A B = 2$ ， $P A = P D = \sqrt{5}$ ， $P B = \sqrt{7}$ .

(1)、求证：平面 $P A D$ ⊥平面 $A B C D$ ；

(2)、求点 $B$ 到平面 $P C D$ 的距离；

(3)、在线段 $P B$ 上是否存在一点 $Q$ ，使得直线 $A Q$ 与平面 $P C D$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{57}}{19}$ ? 若存在，求出 $\frac{P Q}{P B}$ 的值，若不存在，请说明理由.

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11、在锐角△ $A B C$ 中，已知角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，且 $a = c - 2 a \cos B$ .

(1)、求证： $B = 2 A$ ；

(2)、求 $\frac{1}{\tan A} - \frac{1}{\tan B} + \frac{6}{5} \sin B$ 的最小值；

(3)、若 $c = 2$ ，求△ $A B C$ 周长的取值范围.

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12、如图，在△ $A B C$ 中，点 $D$ ， $E$ 满足 $\vec{A B} = 2 \vec{A D}$ ， $\vec{A C} = 2 \vec{C E}$ ， $A C$ 边上的中线 $B M$ 与 $D E$ 交于点 $O$ .设 $\vec{B A} = \vec{a}$ ， $\vec{B C} = \vec{b}$ .

(1)、用 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 表示 $\vec{B M}$ ， $\vec{D E}$ ；

(2)、设 $|\vec{a}| = 2$ ， $|\vec{b}| = 4$ ， $< \vec{a}, \vec{b} > = 60^{°}$ ，求 $∠ M O E$ 的余弦值；

(3)、设 $\vec{B O} = x \vec{a} + y \vec{b}$ ，求 $x + y$ 的值.

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13、如图，在正四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 2$ ， $C C_{1} = 4$ ， $E$ 为线段 $C C_{1}$ 中点.

(1)、求证： $A C_{1} / /$ 平面 $B D E$ ；

(2)、求证： $A_{1} E ⊥$ 平面 $B D E$ .

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14、从某小区抽取 $n$ 户居民进行月用电量调查，发现他们的用电量都在 $50 ~ 350 kW \cdot h$ 之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），其频率分布直方图如图所示，其中月用电量超过 $300 kW \cdot h$ 的居民有 $6$ 户.

(1)、求 $x$ 和 $n$ 的值；

(2)、采用样本量比例分配的分层随机抽样从 $[50, 100)$ 和 $[100, 150)$ 两组中随机抽取了 $5$ 户居民，现从已抽取的 $5$ 户居民中随机抽取 $2$ 户，求这 $2$ 户居民月用电量不在同一组的概率.

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15、在棱长为 $4$ 的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ ， $F$ 分别为棱 $A B 、 A D$ 的中点， $G$ 为棱 $C_{1} D_{1}$ 上的点，且 $C_{1} G = 1$ ，则过 $E$ ， $F$ ， $G$ 三点的平面交正方体所得截面的周长为.

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16、从长度为 $2, 4, 6, 8, 10$ 的 $5$ 条线段中任取 $3$ 条，则这三条线段能构成一个三角形的概率为.

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17、已知向量 $\vec{m}$ 与 $\vec{n}$ 不共线，向量 $\vec{a} = \vec{m} + 4 \vec{n}$ ， $\vec{b} = - 2 \vec{m} + x \vec{n}$ ， $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则 $x =$ .

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18、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，若 $△ A B C$ 的外接圆半径为 $2$ ，且 $\sin A \sin B \sin C = \frac{\sqrt{3}}{8}$ ，则（）

A、 $a b c = 8 \sqrt{3}$ B、 $△ A B C$ 的面积为 $\sqrt{3}$ C、当 $B = \frac{π}{3}$ 时， $A - C = \frac{π}{2}$ D、当 $a$ 最小时， $\sin A \cdot (1 + \cos A) = \frac{\sqrt{3}}{4}$

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19、某中学高一（3）班有45人，其中男生、女生的人数及其团员人数如下表所示.在班级里随机选一人，事件 $A =$ “选到男生”，事件 $B =$ “选到女生”，事件 $C =$ “选到团员”，则（）

团员
非团员
合计
男生
15
10
25
女生
12
8
20
合计
27
18
45

A、 $P (A) = \frac{5}{9}, P (B) = \frac{3}{5}$ B、 $P (A \bar{C}) = \frac{2}{9}$ C、事件 $B$ 与事件 $C$ 互斥 D、事件 $A$ 与事件 $C$ 相互独立

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20、已知复数 $z = m^{2} - 1 + (m + 1) i$ ， $m \in R$ ，则（）

A、若 $m = 0$ ，则 $z$ 的虚部为 $1$ B、若复数 $z$ 为纯虚数，则 $m = \pm 1$ C、若 $m = 2$ ，则 $|\bar{z}| = 3 \sqrt{2}$ D、若 $- 1 < m < 1$ ，则 $z$ 在复平面内对应的点在第四象限

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	团员	非团员	合计
男生	15	10	25
女生	12	8	20
合计	27	18	45