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相关试卷

1、如果一条双曲线的实轴与虚轴分别为另一条双曲线的虚轴与实轴，则这两条双曲线互为共轭双曲线，已知 $C_{1}$ ， $C_{2}$ 互为共轭双曲线，且 $C_{1}$ ， $C_{2}$ 的离心率分别为 $e_{1}$ ， $e_{2}$ ，则 $\frac{1}{e_{1}} (\frac{1}{e_{1}} + \frac{1}{e_{2}})$ 的最大值是（）

A、1 B、 $\frac{1 + \sqrt{2}}{2}$ C、 $\sqrt{2}$ D、 $\frac{3}{2}$

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2、已知 $O$ 为 $△ A B C$ 的外心，且满足 $\vec{A O} = \vec{A B} + 2 \vec{A C}$ ，则 $\frac{|\vec{A B}|}{|\vec{A C}|}$ 的值为（）

A、2 B、 $\sqrt{5}$ C、 $\sqrt{6}$ D、 $\sqrt{7}$

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3、在二项展开式 ${(m + x)}^{8} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{8} x^{8} (m \neq 0)$ 中，前三项的系数 $a_{0}, a_{1}, a_{2}$ 成等差数列，则实数 $m$ 的值是（）

A、 $- 2$ 或7 B、2或7 C、 $- 2$ 或14 D、2或14

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4、已知 $l$ 为直线， $α$ 为平面，则下列条件是“ $l ⊥ α$ ”的充要条件的是（）

A、 $l$ 垂直平面 $α$ 内的两条直线 B、 $l$ 垂直平面 $α$ 内的无数条直线 C、 $l$ 的方向向量垂直于平面 $α$ 的法向量 D、 $l$ 的方向向量平行于平面 $α$ 的法向量

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5、下列函数所表示的曲线中，存在切线与 $x$ 轴平行的是（）

A、 $f (x) = sin x + x$ B、 $f (x) = e^{x} + x$ C、 $f (x) = ln x + x$ D、 $f (x) = x^{3} + x$

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6、下列函数中，最小正周期为 $π$ 且为偶函数的是（）

A、 $y = sin x$ B、 $y = |sin x|$ C、 $y = sin |x|$ D、 $y = cos x$

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7、数据1，2，4，5，7，9的第60百分位数为（）

A、4 B、5 C、6 D、7

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8、设集合 $M = \{x |- 1 < x < 3\}, N = \{1, 2, 3\}$ ，则 $M \cap N =$ （）

A、 $\{2, 3\}$ B、 $\{1, 2, 3\}$ C、 $\{1, 2\}$ D、 $\{0, 1, 2, 3\}$

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9、已知无穷数列 $\{a_{n}\}$ 的各项均为正整数，无穷数列 $\{b_{n}\}$ 满足以下性质：
① $b_{1} = 0 ， b_{2} = 1$ ；
② $b_{n + 2} = \{\begin{array}{l} a_{n + 1} b_{n + 1} + b_{n} ， a_{n} = 1 ， \\ a_{n + 1} b_{n + 1} - b_{n} ， a_{n} > 1 ． \end{array}$

(1)、若 $a_{1} = 2 ， a_{2} = 2 ， a_{3} = 1 ， b_{5} = 5$ ，求 $b_{3} ， b_{4} ， a_{4}$ ；

(2)、证明： $b_{5} \geq 1$ ；

(3)、是否存在大于1的正整数 $n$ ，使得 $b_{n} < 1$ 成立？说明理由．

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10、已知函数 $f (x) = x - \frac{1}{x} - a ln x (a \in R)$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程；

(2)、当 $a = e - \frac{1}{e}$ 时，求满足 $f (x) > 0$ 的 $x$ 的取值范围；

(3)、当 $a \leq 2$ 时，判断曲线 $y = f (x)$ 上是否存在两个不同的点关于点 $(1, 0)$ 对称，并说明理由．

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11、已知椭圆 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的长轴长与短轴长之和为6，焦距为 $2 \sqrt{3}$ ．

(1)、求椭圆 $E$ 的方程；

(2)、设 $O$ 为原点，点 $A (x_{1}, y_{1}), B (x_{2}, y_{2})$ 分别为椭圆 $E$ 上位于第一象限，第二象限内的点，且 $x_{1} = 2 y_{2}$ ．当点 $M$ 满足 $\vec{O M} = \frac{1}{2} \vec{O A} + \frac{\sqrt{3}}{2} \vec{O B}$ 时，求证：点 $M$ 在椭圆 $E$ 上．

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12、2026年春季，北方进入花粉过敏高发期．某市疾控中心针对该市青少年春季花粉过敏情况开展专项调查．现从该市青少年中随机抽取2000人作为样本，统计样本中不同过敏程度的人数，得到下表：
过敏程度
无过敏
轻度过敏
中度过敏
重度过敏
极重度过敏
城区
$a$
220
180
150
50
郊区
500
120
80
70
30
用频率估计概率．

(1)、从该市青少年中随机抽取一人，估计此人春季花粉“无过敏”的概率；

(2)、从该市城区和郊区的青少年中各随机抽取2人，估计抽到的青少年中恰有一人春季花粉“无过敏”的概率；

(3)、该市疾控中心规定过敏程度评分如下表：
过敏程度
无过敏
轻度过敏
中度过敏
重度过敏
极重度过敏
过敏程度评分
0
1
2
3
4
该市疾控中心对该市A、B两个地区同步开展调查，已知A地区与B地区青少年人数之比为3：2， $A$ 地区青少年的过敏程度平均评分为 $1.2$ ， $B$ 地区青少年的过敏程度平均评分为0.6．疾控中心对这两个地区的青少年开展专项过敏防护干预，干预后A地区青少年的过敏程度平均评分降低了 $p % ， B$ 地区青少年的过敏程度平均评分不变．记 $μ$ 为干预后这两个地区青少年的过敏程度平均评分．若干预后 $μ \leq 0.92$ （该市青少年的过敏程度平均评分），直接写出 $p$ 的最小正整数值．（结论不要求证明）

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13、如图，在多面体 $A B C D E F$ 中，四边形 $A B C D$ 为正方形，且 $D E ⊥$ 平面 $A B C D, B F / / D E$ ．

(1)、求证： $A C ⊥ E F$ ；

(2)、若 $A D = 2 ， D E = 1$ ，再从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知，使得多面体 $A B C D E F$ 唯一确定，求平面 $A B F$ 与平面 $A E F$ 夹角的余弦值．
条件①： $F A = F C$ ；
条件②：直线 $A F$ 与平面 $A B C D$ 所成角为 $\frac{π}{3}$ ；
条件③： $△ A F C$ 的面积为 $2 \sqrt{7}$ ．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．

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14、在 $△ A B C$ 中， $b cos C = - 2$ ， $c sin B = 2 \sqrt{15}$ ．

(1)、求 $b$ 的值；

(2)、已知 $△ A B C$ 的面积为 $8 \sqrt{15}$ ，求 $△ A B C$ 的周长．

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15、已知函数 $f (x) = x^{2} + 2025 x - 2025, g (x) = x^{3} + 2026 x - 2026, h (x) = x^{3} + 2026 x - 2025$ ．给出下列四个结论：
①曲线 $y = h (x)$ 是中心对称图形；
②当 $x \in (0, 1)$ 时，曲线 $y = f (x)$ 在曲线 $y = g (x)$ 的上方；
③当 $x \in R$ 时， $g (x + 2) - g (x + 1) > g (x + 1) - g (x)$ ；
④设正实数 $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ 分别是 $f (x), g (x), h (x)$ 的零点，则 $x_{3} < x_{1} < x_{2}$ ．
其中正确结论的序号是

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16、《数术记遗》是东汉时期徐岳编撰的数学典籍，书中记载了大数与大数进制，其中十个大数分别记为亿、兆，京、垓、秭、穰、沟、涧、正、载，大数进制中的“上数”进制为重进制（自乘）：“万万曰亿，亿亿曰兆，兆兆曰京也”，即1亿 $= 1$ 万 $\times 1$ 万 $= 10^{8} ， 1$ 兆 $=$ 1亿 $\times 1$ 亿 $= 10^{16} ， 1$ 京 $= 1$ 兆 $\times 1$ 兆 $= 10^{32}$ ，以此类推．若按“上数”进制，记第 $n$ 个大数（第1个为亿，第2个为兆，第3个为京，……，第10个为载）对应的数值为 $a_{n}$ ，则 $lg a_{5} =$ ；若 $a_{1} a_{2} \dots a_{k} > 10^{1000}$ ，则正整数 $k$ 的最小值为．

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17、已知函数 $f (x) = cos (π x + \frac{π}{3})$ ．若对任意实数 $x$ 都有 $f (a) \leq f (x) \leq f (b)$ ，则 $|a - b|$ 的最小值为．

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18、已知直线 $l ： y = k (x - 1)$ 与圆 $C ： {(x - 2)}^{2} + y^{2} = 1$ 交于 $A, B$ 两点；能使 $∠ A C B$ 为锐角的 $k$ 的一个取值为．

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19、顶点在原点，关于 $y$ 轴对称，且过点 $(2, 1)$ 的抛物线的标准方程是．

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20、在四面体 $O A B C$ 中， $O A ⊥ B C$ ， $H \in$ 平面 $A B C$ 且 $O H ⊥$ 平面 $A B C$ ，给出下列三个结论：
①若 $O B ⊥ A C$ ，则 $\vec{C H} \cdot \vec{A B} = \vec{A H} \cdot \vec{B C} = \vec{B H} \cdot \vec{A C}$ ；
②若 $A B = A C$ ，则 $\vec{C H} \cdot \vec{A B} = 0$ ；
③若 $O B = O C$ ，则 $\vec{B H} \cdot \vec{A B} = \vec{C H} \cdot \vec{A C}$ ．
其中所有正确结论的序号是（）

A、③ B、①③ C、①② D、①②③

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过敏程度	无过敏	轻度过敏	中度过敏	重度过敏	极重度过敏
城区	$a$	220	180	150	50
郊区	500	120	80	70	30