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相关试卷

1、如图，已知平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的底面 ABCD 是边长为a 的菱形， $A A_{1} = b, ∠ A_{1} A B =$ $∠ A_{1} A D = ∠ D A B = θ (0 < θ < π) .$

(1)、证明：平面A₁ACC₁⊥平面 D₁DBB₁；

(2)、对确定的a与b，求使得平行六面体表面积取最大值的θ；

(3)、在(2)的条件下，当直线A₁C与平面AB₁C 所成的角最大时，求a与b的关系.

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2、记 S_n为等差数列{an}的前n项和，已知 $a_{3 n} = 3 a_{n} + 2, S_{2 n} = 4 S_{n} .$

(1)、求 a_n；

(2)、记数列{b_n}的前n项和为T_n ，且 $T_{n} = \frac{a_{n} + 1}{a_{n + 1}} .$ 若对 $\forall n \in N^{*}, T_{n} \leq k a_{n} + b_{n},$ 求k 的取值范围.

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3、已知函数 $f (x) = a x^{2} - l n x .$

(1)、若f(x)存在大于零的极值，求a 的取值范围；

(2)、对于函数g(x)，若 $g (x_{0}) = x_{0},$ 则称x₀为g(x)的不动点.判断是否存在a，使得f(x)的极值点同时也是不动点，并说明理由.

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4、已知点 A、B分别为曲线 $y = e^{x}$ 和 $y = e^{2 - x}$ 上的动点，过A、B分别作x轴的垂线AD、BC，垂足分别为D、C.若|AD|=2|BC|，|AD|<e，则四边形ABCD 面积的最大值为.

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5、已知 $A (\frac{1}{3}, \sqrt{3}), B (\frac{7}{3}, - \sqrt{3})$ 为曲线 $y = \sqrt{3} s i n (ω x + φ) (0 < ω < 4,0 < < \frac{π}{2})$ 上的两点，则φ= .

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6、已知向量a=(1，-1)，b=(0，2)，若a+b与2a-kb平行，则实数k=.

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7、已知正四棱锥 P—ABCD 的底面是边长为2的正方形，高为h，其五个顶点均在半径为R 的球O₁ 的球面上，半径为r的球O₂与正四棱锥的五个面均相切，则( )

A、若四棱锥 $O_{2} - A B C D$ 和三棱锥( $O_{2} - P B C$ 的体积相等，则 $h = \sqrt{15}$ B、若O₁为底面中心，则 $r = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2}$ C、若O₁与O₂重合，则 $R = 1 + \sqrt{2}$ D、若O₁在棱锥内，且在球O₂的球面上，则 $R = (1 + \sqrt{3}) r$

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8、已知函数 $f (x) = x^{3} - 3 a x + b,$ 则( )

A、f(x)一定有零点 B、曲线y=f(x)与直线y=x+b 恒有3个交点 C、若f(x)有3个零点，则它们的和为0 D、曲线y=f(x)上始终存在中心和4个顶点都在其上的菱形

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9、已知等比数列{a_n}的公比q>1，则( )

A、数列{a_n}是递增数列 B、数列{|a_n|}是递增数列 C、数列{a²}是递增数列 D、数列{a₁a_2n}是递增数列

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10、在△ABC中，已知AB=2AC，BC=3.记点A 的运动轨迹为曲线E，△ABC 的外接圆M 与曲线E交于A、D 两点.当∠ABC 取最大值时，AD=( )

A、 $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{4 \sqrt{7}}{7}$ C、 $\frac{4 \sqrt{21}}{7}$ D、2 $\sqrt{3}$

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11、已知随机事件A、B、C满足 $P (A) = \frac{1}{3}, P (B) = P (C) = \frac{1}{4}, P (A B) = P (A C) = 0, P (B C) = \frac{1}{6},$ 则A、B、C至少有一个发生的概率为( )

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{5}{6}$

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12、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a ＞ b > 0)$ 的离心率为e，点(1，e)在C上，则b=( )

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2

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13、已知函数 $f (x) = (1 + \frac{2}{2^{x} - 1}) \frac{1}{x},$ 则f(x) ( )

A、是奇函数，且在区间(0，+∞)单调递增 B、是偶函数，且在区间(0，+∞)单调递减 C、是奇函数，且在区间(0，+∞)单调递减 D、是偶函数，且在区间(0，+∞)单调递增

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14、已知一组样本数据有两层，第一层有 N个数据，平均数为x，第二层有M个数据，平均数为y，两层数据合到一起计算出的平均数为z，后来第一层又增加了n个数据，这n个数据的平均数为m，则新的样本数据的平均数为( )

A、 $\frac{\bar{x} + \bar{m} + \bar{y}}{3}$ B、 $\bar{z} + \bar{m}$ C、 $\bar{z} + \frac{n \bar{m}}{M + N + n}$ D、 $\frac{N \bar{x} + n \bar{m} + M \bar{y}}{N + M + n}$

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15、已知复数z满足 $z \bar{z} = 2 i (1 - z),$ 则z=( )

A、i B、-i C、1+i D、1-i

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16、已知集合A={x|x>a}，B={x|-1≤x≤2}，若(C_RA)∩B= $\emptyset$ ，则a的取值范围是( )

A、(-∞，-1) B、[-1，2] C、(-∞，2) D、[2，+∞)

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17、 $s i n 1 5^{\circ} + c o s 1 5^{\circ} =$ ( )

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ D、 $\sqrt{2}$

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18、某景点周边文创店推出了一款单价 10元的“幸运文创刮刮卡”，每购买一张即可参与抽奖，奖项设置如下(未中奖则无奖金)：
①一等奖：奖金 40元，中奖概率 5%；
②二等奖：奖金 20元，中奖概率 10%；
③三等奖：奖金 10元，中奖概率 30%.

(1)、小明初始有 20元零花钱.
(i)若他购买 1张刮刮卡，求抽奖后剩余金额的数学期望；
(ii)小明想要购买一款定价 40元的航模配件，他打算通过反复购买刮刮卡的方式凑齐钱款，求他最终能够凑齐钱款的概率.

(2)、若小明初始有n元(n为正整数且n≥10)，他采取的购买策略是：一旦当前总金额超过初始的n元就立刻停止购买.设他最终能够成功挣到钱的概率为p，求证： $p < \frac{5}{11} .$

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19、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a ＞ b > 0)$ 过点 $(\sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{2}),$ 离心率为 $\frac{1}{2}$ ， O是坐标原点.

(1)、求c的方程；

(2)、过C的右焦点F 作直线l与椭圆交于A，B两点，以OA，OB 为邻边作平行四边形OAQB .
(i)求点Q的轨迹方程并说明其形状；
(ii)过F的任意一条直线l'与椭圆C交于P₁ ， P₂两点，与Q的轨迹交于P₃ ， P₄两点，其中P₁ ， P₃在x轴上方，求△OP₁P₃和△OP₂P₄面积之和的范围.

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20、已知函数 $f (x) = x (2 l n x - x + 1) .$

(1)、设f'(x)是f(x)的导函数，求f'(x)的单调区间；

(2)、设x₀是f(x)的极小值点，求证： $- 1 < f (x_{0}) < 0;$

(3)、若 $f (x) \leq a \cdot x^{2}$ 恒成立，求实数a的取值范围.

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