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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = x ln x - x^{2}$ .

(1)、求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、证明： $f (x) < e^{- x} - 1$ ；

(3)、若 $a > 0, b > 0$ ，且 $a b > 1$ ，求证： $f (a) + f (b) < - 2$

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2、如图，在四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $D D_{1} ⊥$ 平面 $A B C D$ ，底面 $A B C D$ 为菱形， $A B = 2 A_{1} B_{1}$ ，点 $E$ 为 $A B$ 的中点．

(1)、求证： $D_{1} E / /$ 平面 $B_{1} C_{1} C B$ ；

(2)、若 $B B_{1} = C C_{1}$ ， $A D = 2 \sqrt{3}$ ，二面角 $E - D_{1} C - D$ 的大小为45°，求该四棱台的体积．

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3、已知数列 ${a_{n}}$ 前n项积为 $T_{n}$ ，且 $a_{n} + T_{n} = 1 (n \in N^{*})$ ．

(1)、求证：数列 ${\frac{1}{1 - a_{n}}}$ 为等差数列；

(2)、设 $S_{n} = T_{1}^{2} + T_{2}^{2} + \cdot \cdot \cdot + T_{n}^{2}$ ，求证： $S_{n} > a_{n + 1} - \frac{1}{2}$ ．

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4、已知常数 $a > 0$ ，在 ${(\sqrt{x} - \frac{a}{x})}^{6}$ 的二项展开式中的常数项为15，设 ${(1 - 2 a x)}^{5} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + a_{3} x^{3} + a_{4} x^{4} + a_{5} x^{5}$ ，则 $a_{0} + a_{5} =$ ．

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5、已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{6} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ ，过点 $P (\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ 的直线与椭圆 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，且满足 $\vec{P A} + \vec{P B} = \vec{0}$ ，则直线 $A B$ 的斜率为．

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6、在三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A = 6$ ， $P B = 8$ ， $P C = B C = 8 \sqrt{2}$ ， $∠ A P B = 60 °$ ， $∠ A P C = 45 °$ ，则此三棱锥的体积为．

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7、已知实数a，b满足 $a^{2} + 2 b^{2} = 4$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $a b$ 的最大值为 $\frac{4}{3}$ B、 $a^{2} + 4 b$ 的最大值为6 C、 $b^{2} + 2 a b$ 的最大值为4 D、 $b^{2} - 2 a b$ 的最大值为4

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8、已知直线 $l : 4 x - 3 y - 2 = 0$ 与圆 $C : x^{2} + y^{2} - 4 x + 6 y - 12 = 0$ 相交于A，B两点，则 $△ A B C$ 的周长为（）

A、26 B、18 C、14 D、13

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9、已知直线 $l : a x + b y + 1 = 0$ ，圆 $C : x^{2} + y^{2} + 4 x + 2 y + 1 = 0$ ，若圆C上存在两点关于直线l对称，则 ${(a - 2)}^{2} + {(b - 7)}^{2}$ 的最小值是（）

A、5 B、 $\sqrt{5}$ C、 $2 \sqrt{5}$ D、20

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10、若非零向量 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 满足 $|\vec{a} - \vec{b}| = \sqrt{7} |\vec{b}|$ ，且 $(\vec{a} + \vec{b}) ⊥ \vec{b}$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为（）

A、 $\frac{2 π}{3}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{3 π}{4}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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11、若复数 $z$ 在复平面中对应的点都在一个过原点的圆上，则 $\frac{1}{\bar{z}}$ 的对应点均在（）

A、一条直线上 B、一个圆上 C、一条抛物线上 D、一支双曲线上

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12、设集合 $A = \{x \in Z | \frac{x - 3}{x + 1} \leq 0\}$ ， $B = \{x | \log_{2} (x + 2) \leq 2\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $[- 1, 2]$ B、 $(- 1, 2]$ C、 $\{- 1, 0, 1, 2\}$ D、 $\{0, 1, 2\}$

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13、设函数 $f (x) = \log_{a} (b^{x} - b - 1)$ ，其中 $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ， $b > 0$ 且 $b \neq 1$ .

(1)、当 $b = 2$ 时，求 $f (x)$ 的定义域；

(2)、当 $a = b$ 时，利用定义法证明： $f (x)$ 在定义域内单调递增；

(3)、若存在 $x \in (0, 2)$ ，使得 $f (x) = 0$ ，证明： $b > 2$ .

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14、已知函数 $f (x) = x^{2} - a x + a - b$ .

(1)、当 $a = b = 2$ 时，求 $f (x)$ 在区间 $[- 2, 3]$ 上的最大值；

(2)、若 $\forall x \in R$ ， $f (x) \geq 0$ ，求 $b$ 的最大值，并求当 $b$ 取得最大值时 $f (b)$ 的值；

(3)、若 $\exists t \in [1, 3]$ ，使得 $f (t) = - b$ ，求 $a$ 的取值范围.

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15、正数 $a$ ， $b$ 满足 $a^{2} + b = 4$ .

(1)、求 $a^{2} b$ 的最大值；

(2)、求 $a^{4} + a^{2} b + b^{2}$ 的最小值.

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16、记集合 $A = \{x |m \leq x \leq m^{2}\}$ ， $B = {y |- 2 < y \leq 9}$ .

(1)、若 $A \neq \emptyset$ ，求 $m$ 的取值范围；

(2)、若 $A \underset{\neq}{\subset} B$ ，求 $m$ 的取值范围.

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17、（1）若 $2^{\frac{3 + \lg a}{3 - \lg a}} = 4$ ，求 $a$ 的值；
（2）计算 $\frac{\log_{4} \sqrt{2026}}{\log_{256} 2026}$ 的值.

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18、已知函数 $f (x) = 4^{x} - 3 a \cdot 2^{x} + a$ ，则曲线 $y = f (x)$ 恒过定点的坐标为.

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19、算法中常用复杂度表示所需算力，指数时间复杂度表示算法的时间复杂度随输入规模 $N$ 呈指数型增长.记最终所需算力为 $L$ ，由硬件导致的规模系数为 $r$ （可视为常数），则有 $L = 2^{r N}$ .当输入规模 $N$ 增加1时，所需算力 $L$ 变为原来的4倍，则 $r =$ .

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20、若 $a \in (1, 4)$ ， $b \in (- 1, 2)$ ，则 $a + 2 b$ 的取值范围是.

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