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相关试卷

1、已知 $a > 0$ ，对任意 $x_{1}, x_{2} \in (a, + \infty)$ ，且 $x_{1} < x_{2}$ 时，不等式 $x_{1} \cdot ln x_{2} - x_{2} \cdot ln x_{1} < 4 \cdot (x_{1} - x_{2})$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $[1, + \infty)$ B、 $[e, + \infty)$ C、 $[e^{4}, + \infty)$ D、 $[e^{5}, + \infty)$

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2、已知 $A = \{x |- 1 \leq x \leq 2\}$ ， $B = \{x |2 x - a < 0\}$ ，若 $x \in B$ 是 $x \in A$ 的必要不充分条件，则实数a的取值范围是（）

A、 $\{a |a > 4\}$ B、 $\{a |a \geq 4\}$ C、 $\{a |a > 2\}$ D、 $\{a |a \geq 2\}$

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3、已知集合 $A = \{x | x^{2} - 2 x - 3 \leq 0\}$ ， $B = \{1,2,4,6,8\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{1, 2\}$ B、 $\{1, 2, 4\}$ C、 $\{1, 2, 4, 6\}$ D、 $\{1, 2, 4, 8\}$

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4、如图1，圆C： ${(x + 1)}^{2} + y^{2} = 16$ ，点 $A (1, 0)$ ， P是圆C上任意一点，线段AP的垂直平分线和直线CP相交于点Q.当点P在圆上运动时，点Q的轨迹为E.

(1)、求轨迹E的方程；

(2)、过点C且与x轴不重合的直线l与E相交于M，N两点.设点 $B (2, 0)$ ，记直线BM，BN的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ，求 $k_{1} k_{2}$ 的值；

(3)、过点 $(0, 2)$ 作直线l交E于G，H两点（G在上方），设点 $R (0, \sqrt{3})$ ， $S (0, - \sqrt{3})$ ，若直线GS与HR相交于点T，证明：动点T在某定直线上.

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5、平面内沿着等腰直角 $△ A B C$ 的腰AC作底角 $∠ C A D = 30 °$ 的等腰 $△ A C D$ ， $A C = 2$ ，如图1.将 $△ A C D$ 沿AC翻折至 $△ A C K$ ，如图2.

(1)、当平面 $K A C ⊥$ 平面ABC时，
（ⅰ）证明： $K C ⊥ A B$ ；
（ⅱ）若G是 $△ A C K$ 的重心，求BG与平面ABC所成角的正弦值.

(2)、求二面角 $A - C K - B$ 的余弦值的最小值.

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6、已知在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线T： $y^{2} = 4 x$ 的焦点为F，点A在T上，点 $P (t, 0)$ ，其中 $t > 0$ .

(1)、若直线AF斜率为1，且与T的另一个交点为B，求 $△ O A B$ 的面积；

(2)、经过点P作直线l交T于D、C两点，若点Q是点P关于y轴的对称点，且A是线段DQ的中点，证明： $A C ⊥ P Q$ .

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7、已知点 $P (\sqrt{3} + 2, 3 - \sqrt{3})$ ，直线 $a x - y + 2 = 0$ ，圆 $C$ ： $x^{2} + y^{2} - 4 x - 6 y + 7 = 0$ .

(1)、过点 $P$ 作圆 $C$ 的切线l，求直线l的方程；

(2)、若在圆 $C$ 上至少存在三个点到直线 $a x - y + 2 = 0$ 的距离为 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ ，求 $a$ 的取值范围.

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8、如图，已知四面体 $A B C D$ 的所有棱长都等于2， $E, F, G, H$ 分别是棱 $A B, A D, D C, B C$ 的中点.

(1)、求 $\vec{G F} \cdot \vec{A C}$ 与 $\vec{E F} \cdot \vec{B C}$ ；

(2)、求 $|H F|$ 的长.

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9、已知O为坐标原点，双曲线C： $\frac{y^{2}}{a^{2}} - \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的上焦点为F，下顶点为A，过F作C的一条渐近线的垂线，垂足为P.若 $|P A| = \sqrt{3} |P O|$ ，则C的渐近线方程为.

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10、已知点 $A (2, 0, 0)$ 、 $B (0, 0, 1)$ 、 $C (3, 1, - 1)$ ，则点C到直线AB的距离为.

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11、直线 $l$ 的方程为 $(a + 2) x + (a - 2) y - 2 a = 0$ （a为常数）恒过定点.

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12、已知曲线C： $4 x^{2} - x y + 4 y^{2} = 1$ ，则下列结论正确的是（）

A、曲线C关于原点对称 B、直线 $y = 1$ 与曲线C有公共点 C、曲线C上任一点的横坐标的取值范围是 $[- \frac{4 \sqrt{7}}{21}, \frac{4 \sqrt{7}}{21}]$ D、曲线C上任一点与原点距离的取值范围是 $[\frac{\sqrt{2}}{3}, \frac{\sqrt{14}}{7}]$

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13、下列说法正确的是（）

A、若直线倾斜角越大，则斜率越大 B、经过点 $(1, 1)$ 且在 $x$ 轴和 $y$ 轴上截距相等的直线有 $2$ 条 C、若直线l经过点 $A (1, 0)$ 、 $B (2, \tan α)$ ，则直线 $l$ 的倾斜角是 $α$ D、直线 $x \sin α + y + 2 = 0$ 的倾斜角θ的取值范围是 $[0, \frac{π}{4}] \cup [\frac{3 π}{4}, π)$

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14、下列命题正确的是（）

A、若 $\vec{a} = \vec{b}$ ，则 $\vec{a} // \vec{b}$ B、若空间向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ ，满足 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ， $\vec{b} ⊥ \vec{c}$ ，则 $\vec{a} // \vec{c}$ C、若 $\{\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\}$ 构成空间的一个基底，则 $\vec{b} - \vec{a}$ ， $\vec{b} - \vec{a} + \vec{c}$ ， $\vec{c}$ 必共面 D、若直线 $l$ 的方向向量为 $\vec{e} = (1, - 1, 2)$ ，平面 $α$ 的法向量为 $\vec{m} = (6, 4, - 1)$ ，则 $l ⊥ α$

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15、如图，在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，M，N分别为 $B B_{1}$ ， $D D_{1}$ 的中点，O为底面ABCD的中心，点S在正方体的表面上运动，且满足 $N S ⊥ M O$ ，则下列结论正确的是（）

A、点S可以是棱 $C C_{1}$ 的中点 B、点S的轨迹是矩形 C、点S轨迹所围成的图形面积为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、点S轨迹的长度为 $2 + \sqrt{2}$

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16、已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 是椭圆的两个焦点， $P$ 是椭圆上的一点， $∠ F_{1} P F_{2} = 120 °$ ，则椭圆离心率 $e$ 的取值范围是（）

A、 $(0, \frac{1}{2}]$ B、 $(0, \frac{\sqrt{3}}{2}]$ C、 $[\frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$ D、 $[\frac{1}{2}, 1)$

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17、若圆 $C_{1}$ ： $x^{2} + y^{2} = a^{2} (a > 0)$ 与圆 $C_{2}$ ： $x^{2} + y^{2} - 6 x - 6 \sqrt{3} y + 20 = 0$ 相交，则a的取值范围（）

A、 $(4, 6)$ B、 $(2, 10)$ C、 $(6, 8)$ D、 $(8, 10)$

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18、“ $a = 1$ ”是“直线 $a x + (1 - a) y - 2 = 0$ 与直线 $(a - 1) x + (2 a + 3) y - 3 = 0$ 互相垂直”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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19、已知空间向量 $\vec{a} = (2, 1, 2)$ ， $\vec{b} = (- 1, μ, - 3)$ ， $\vec{c} = (1, 2, 3)$ ，若向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 共面，则实数 $μ$ 的值为（）

A、 $- 2$ B、2 C、 $- 1$ D、0

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20、已知直线l的一个方向向量为 $\vec{A B} = (\sqrt{3}, 3)$ ，则直线l斜率为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\sqrt{3}$ C、3 D、 $3 \sqrt{3}$

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