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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = sin x cos x + \sqrt{3} {cos}^{2} x - \frac{\sqrt{3}}{2}$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的单调递增区间；

(2)、若函数 $h (x) = f (x) - \frac{3}{5}$ 的零点为 $x_{0}$ ，求 $cos (\frac{π}{6} - 2 x_{0})$ ．

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2、已知向量 $\vec{a} = (x, - 2), \vec{b} = (2, 4)$ .

(1)、若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，求实数 $x$ 的值；

(2)、若 $|\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{13}$ ，求实数 $x$ 的值

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3、如图是用斜二测画法画出的水平放置的正三角形ABC的直观图，其中 $O^{'} B^{'} = O^{'} C^{'} = 2$ ，则三角形ABC的面积为

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4、已知海上 $B$ 岛在 $A$ 岛的北偏东 $70^{\circ}$ 方向距离 $A$ 岛5海里处， $C$ 岛在 $A$ 岛的北偏西 $50^{\circ}$ 方向， $B$ 岛与 $C$ 岛相距7海里，则 $A$ 岛与 $C$ 岛的距离为海里.

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5、已知 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分列为 $a, b, c, A = 60 °, ∠ B A C$ 的平分线 $A D$ 交 $B C$ 于 $D$ ， $A D = 2$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $\frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{B D}{C D} = \frac{sin B}{sin C}$ C、 $\frac{1}{B D} + \frac{1}{C D}$ 的最大值是 $\sqrt{3}$ D、 $△ A B C$ 的周长的取值范围是 $[4 \sqrt{3}, + \infty)$

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6、有下列说法，其中正确的说法为（）

A、若 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ， $\vec{b} ∥ \vec{c}$ ，则 $\vec{a} ∥ \vec{c}$ B、两个非零向量 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ ，若 $|\vec{a} - \vec{b}| = |\vec{a} + \vec{b}|$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 垂直 C、若点G为 $△ A B C$ 的重心，则 $\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} = \vec{0}$ D、若 $\vec{O A} + \vec{O C} + 3 \vec{O B} = \vec{0}$ ， $S_{△ A O C}$ ， $S_{△ A B C}$ 分别表示 $△ A O C$ 、 $△ A B C$ 的面积，则 $S_{△ A O C} : S_{△ A B C} = 3 : 5$

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7、已知复数 $z = (1 - i) (6 + i)$ ，则（）

A、 $\bar{z} = 7 + 5 i$ B、 $|z - 2| = 5 \sqrt{2}$ C、 $z + 7$ 为纯虚数 D、 $z$ 在复平面内对应的点位于第四象限

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8、函数 $y = A sin (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, 0 < φ < π)$ 的部分图象如图所示， $A C = 2 \sqrt{3}$ ， $∠ A C B = \frac{π}{6}$ ，则 $ω =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、 $\frac{π}{2}$ D、 $π$

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9、如图是一个正方体的展开图，若将它还原为正方体，则（）

A、 $A F ⊥ C H$ B、 $C H ∥ B D$ C、EI与BG共面 D、AF与BG异面

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10、已知点M为 $△ A B C$ 中 $B C$ 边上的中点，点N满足 $\vec{A N} = \frac{1}{5} \vec{A M}$ ，过点N的直线与 $A B, A C$ 分别交于P，Q两点，且设 $\vec{A P} = x \vec{A B}, \vec{A Q} = y \vec{A C}$ ，则 $\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$ 的值为（）

A、5 B、6 C、9 D、10

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11、在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，已知 $a = 2, B = \frac{π}{3}, b = x$ （ $x$ 为常数），若该三角形有两个解，则 $x$ 的取值范围是（）

A、 $(2, 4)$ B、 $(\sqrt{3}, 4)$ C、 $(\sqrt{3}, 2)$ D、 $(1, 2)$

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12、已知向量 $\vec{a} = (\sqrt{3}, 1)$ ， $\vec{b} = (1, 0)$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量的模为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、1 C、 $\sqrt{3}$ D、2

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13、 $\sin 5 ° \cos 25 ° + \sin 25 ° \cos 5 ° =$ （）．

A、 $\sin 20 °$ B、 $\sin 30 °$ C、 $\cos 30 °$ D、 $\cos 20 °$

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14、已知函数 $y = f (x)$ 的定义域为 $R$ ．对于正实数a ，定义集合 $M_{a} = {x ∣ f (x + a) = f (x)}$ ．

(1)、若 $f (x) = s i n x$ ，判断 $\frac{π}{3}$ 是否是 $M_{π}$ 中的元素，请说明理由；

(2)、若 $f (x) = {\begin{array}{l} x + 2, & x < 0 \\ \sqrt{x}, & x \geq 0 \end{array}, M_{a} \neq \emptyset$ ，求a的取值范围；

(3)、若 $y = f (x)$ 是偶函数，当 $x \in (0, 1]$ 时， $f (x) = 1 - x$ ，且对任意 $a \in (0, 2)$ ，均有 $M_{a} \subseteq M_{2}$ ．写出 $y = f (x)$ ， $x \in (1, 2)$ 解析式，并证明：对任意实数c ，函数 $y = f (x) - c$ 在 $[- 3, 3]$ 上至多有9个零点．

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15、已知椭圆 $Γ : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{5} = 1 (a > \sqrt{5})$ ， $M (0, m) (m > 0)$ ， A是 $Γ$ 的右顶点．

(1)、若 $Γ$ 的焦点 $(2, 0)$ ，求离心率e；

(2)、若 $a = 4$ ，且 $Γ$ 上存在一点P ，满足 $\vec{P A} = 2 \vec{M P}$ ，求m；

(3)、已知AM的中垂线l的斜率为2，l与 $Γ$ 交于C、D两点， $∠ C M D$ 为钝角，求a的取值范围．

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16、已知 $f (x) = x^{2} - (m + 2) x + m l n x, m \in R$ ．

(1)、若 $f (1) = 0$ ，求不等式 $f (x) \leq x^{2} - 1$ 的解集；

(2)、若函数 $y = f (x)$ 满足在 $(0, + \infty)$ 上存在极大值，求m的取值范围；

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17、如图，P是圆锥的顶点，O是底面圆心，AB是底面直径，且 $A B = 2$ ．

(1)、若直线PA与圆锥底面的所成角为 $\frac{π}{3}$ ，求圆锥的侧面积；

(2)、已知Q是母线PA的中点，点C、D在底面圆周上，且弧AC的长为 $\frac{π}{3}$ ， $C D ∥ A B$ ．设点M在线段OC上，证明：直线 $Q M ∥$ 平面PBD ．

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18、2024年东京奥运会，中国获得了男子 $4 \times 100$ 米混合泳接力金牌．以下是历届奥运会男子 $4 \times 100$ 米混合泳接力项目冠军成绩记录（单位：秒），数据按照升序排列．
206.78
207.46
207.95
209.34
209.35
210.68
213.73
214.84
216.93
216.93

(1)、求这组数据的极差与中位数；

(2)、从这10个数据中任选3个，求恰有2个数据在211以上的概率；

(3)、若比赛成绩y关于年份x的回归方程为 $y = - 0.311 x + \hat{b}$ ，年份x的平均数为2006，预测2028年冠军队的成绩（精确到0.01秒）．

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19、已知数列 ${a_{n}}$ 、 ${b_{n}}$ 、 ${c_{n}}$ 的通项公式分别为 $a_{n} = 10 n - 9$ ， $b_{n} = 2^{n}$ 、， $c_{n} = λ a_{n} + (1 - λ) b_{n}$ .若对任意的 $λ \in [0, 1]$ ， $a_{n}$ 、 $b_{n}$ 、 $c_{n}$ 的值均能构成三角形，则满足条件的正整数 $n$ 有（）

A、4个 B、3个 C、1个 D、无数个

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20、已知 $A (0, 1), B (1, 2)$ ， C在 $Γ : x^{2} - y^{2} = 1 (x \geq 1, y \geq 0)$ 上，则 $△ A B C$ 的面积（）

A、有最大值，但没有最小值 B、没有最大值，但有最小值 C、既有最大值，也有最小值 D、既没有最大值，也没有最小值

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206.78	207.46	207.95	209.34	209.35
210.68	213.73	214.84	216.93	216.93