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相关试卷

1、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 1, a_{n + 1} = \{\begin{array}{l} a_{n} + 2, n 为奇数 \\ a_{n} + 3, n 为偶数 \end{array}$ ，则 $\{a_{n}\}$ 的前40项和为.

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2、若椭圆 $E : \frac{x^{2}}{m^{2}} + \frac{y^{2}}{6} = 1$ 的右焦点为 $F (2, 0)$ ，则 $E$ 的长轴长为．

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3、已知抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ ，准线为 $l$ ，过焦点 $F$ 的直线交抛物线 $C$ 于 $A, B$ 两点，过 $A, B$ 分别作 $l$ 的垂线，垂足分别为 $A^{'}, B^{'}$ ，则（）

A、 $F A^{'} ⊥ F B^{'}$ B、若 $|A F| = 3 |B F|$ ，则直线 $A B$ 的斜率为 $\sqrt{3}$ C、 $A, O, B^{'}$ 三点共线（其中 $O$ 为坐标原点） D、 ${|A^{'} B^{'}|}^{2} = 4 |A F| |B F|$

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4、已知函数 $f (x) = x^{3} + b x^{2} + c x + b^{2} (b < 0)$ 在 $x = - 1$ 处有极值，且极值为8，则（）

A、 $f (x)$ 有三个零点 B、 $b = c$ C、曲线 $y = f (x)$ 在点 $(2, f (2))$ 处的切线方程为 $3 x + y + 4 = 0$ D、函数 $y = f (x) - 2$ 为奇函数

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5、已知 ${(1 - 2 x)}^{5} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{5} x^{5}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $a_{0} = 1$ B、 $a_{3} = - 80$ C、 $a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} + a_{5} = - 1$ D、 $a_{0} + a_{2} + a_{4} = 121$

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6、已知 $f^{'} (x)$ 是函数 $f (x)$ 的导数，且满足 $f^{'} (x) + f (x) > 0$ 对 $x \in [0, 1]$ 恒成立， $A$ ， $B$ 是锐角三角形的两个内角，则下列不等式一定成立的是（）

A、 $\frac{f (\sin A)}{e^{\sin B}} < \frac{f (\sin B)}{e^{\sin A}}$ B、 $\frac{f (\sin A)}{e^{\sin B}} > \frac{f (\sin B)}{e^{\sin A}}$ C、 $\frac{f (\cos A)}{e^{\sin B}} < \frac{f (\sin B)}{e^{\cos A}}$ D、 $\frac{f (\cos A)}{e^{\sin B}} > \frac{f (\sin B)}{e^{\cos A}}$

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7、现有 $2$ 名男同学和 $2$ 名女同学站成一排合影，则 $2$ 名女同学不相邻的站法种数是（）

A、 $6$ B、 $8$ C、 $10$ D、 $12$

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8、已知函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - f^{'} (2) x^{2} + x - 3$ ，则 $f^{'} (2) =$ （）

A、 $- 1$ B、1 C、 $- 5$ D、5

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9、二项式 ${(x^{2} - \frac{1}{2 x})}^{5}$ 展开式中含x项的系数是（）

A、 $\frac{5}{2}$ B、 $- \frac{5}{2}$ C、 $- \frac{5}{4}$ D、 $\frac{5}{4}$

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10、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且满足 $S_{n} = 2 n^{2}$ ，则 $a_{5} =$ （）

A、16 B、18 C、20 D、25

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11、已知各项均为正数的等比数列 $\{a_{n}\}$ 中， $3 a_{1}$ ， $\frac{1}{2} a_{3}$ ， $2 a_{2}$ 成等差数列，则 $q =$ （）

A、 $- 1$ B、3 C、 $- 1$ 或3 D、1.或 $- 3$

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12、在等差数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{4} + a_{8} = 20$ ， $a_{7} = 12$ ，则 $a_{4}$ 的值为（）

A、2 B、6 C、8 D、12

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13、用 $f^{'} (x)$ 表示函数 $f (x)$ 的导函数，若对 $f (x)$ 定义域内任意不相等的两个数 $x_{1}, x_{2}$ ，都有 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} = f^{'} (\frac{x_{1} + x_{2}}{2})$ 成立，则称函数 $f (x)$ 为 $A$ 函数；若对 $f (x)$ 定义域内任意不相等的两个数 $x_{1}, x_{2}$ ，都有不等式 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} > f^{'} (\frac{x_{1} + x_{2}}{2})$ （或都有不等式 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} < f^{'} (\frac{x_{1} + x_{2}}{2})$ ）成立，则称函数 $f (x)$ 为 $B$ 函数.

(1)、证明：若 $f (x) = x^{2}$ ，则 $f (x)$ 为 $A$ 函数；

(2)、若 $f (x) = e^{x}$ （ $e$ 为自然对数的底数），问 $f (x)$ 是 $A$ 函数还是 $B$ 函数？证明你的结论.

(3)、若 $g (x) = \frac{e^{x}}{x} - ln x + x - a$ 有两个不同的零点 $x_{1}, x_{2}$ .
（i）求实数 $a$ 的取值范围；
（ii）证明 $x_{1} x_{2} < 1$ .

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14、定义函数 $f (x) = a_{1} x^{n} + a_{2} x^{n - 1} + a_{3} x^{n - 2} + \cdot \cdot \cdot + a_{n} x (n \in N^{*})$ 为数列 $\{a_{n}\}$ 的“生成函数”，且 $f (1) = \frac{n^{2} + n}{2}$ ．

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、求 $f (\frac{1}{2})$ ．

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15、已知 ${(3 x^{2} + \frac{1}{\sqrt{x}})}^{n}$ 的二项展开式有 $7$ 项.

(1)、求该展开式中各项的系数和与各项的二项式系数和的比值；

(2)、求该展开式中含 $x^{7}$ 的项；

(3)、求该展开式中系数最大的项.

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16、已知函数 $f (x) = \frac{a x + 1}{e^{x}}$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、当 $a > 0$ 时，求函数 $f (x)$ 在区间 $[1, 2]$ 上的最大值.

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17、若函数 $f (x) = x^{3} - a x^{2} + b x$ $(a, b \in R)$ 在 $x = 1$ 处取得极值3，则 $a + b =$ .

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18、牛顿在《流数法》一书中给出了牛顿迭代法：用“作切线”的方法求方程的近似解.步骤如下：设 $r$ 是函数 $y = f (x)$ 的一个零点，任取 $x_{0}$ 作为 $r$ 的初始近似值，曲线 $y = f (x)$ 在点 $(x_{0} f (x_{0}))$ 处的切线为 $l_{1}$ ，设 $l_{1}$ 与 $x$ 轴交点的横坐标为 $x_{1}$ ，并称 $x_{1}$ 为 $r$ 的1次近似值；曲线 $y = f (x)$ 在点 $(x_{1}, f (x_{1}))$ 处的切线为 $l_{2}$ ，设 $l_{2}$ 与 $x$ 轴交点的横坐标为 $x_{2}$ ，称 $x_{2}$ 为 $r$ 的2次近似值.一般地，曲线 $y = f (x)$ 在点 $(x_{n,} f (x_{n})) (n \in N)$ 处的切线为 $l_{n + 1}$ ，记 $l_{n + 1}$ 与 $x$ 轴交点的横坐标为 $x_{n + 1}$ ，并称 $x_{n + 1}$ 为 $r$ 的 $n + 1$ 次近似值.在一定精确度下，用四舍五入法取值，当 $x_{n}$ 与 $x_{n + 1}$ 的近似值相等时，该近似值即作为函数 $f (x)$ 的一个零点 $r$ 的近似值.对于函数 $f (x) = x^{3} - 3$ ，用该方法近似计算方程 $f (x) = 0$ 的根 $r$ ，取初始近似值为 $x_{0} = 1$ ，下列说法正确的是（）

A、 $x_{1} = \frac{5}{3}$ B、直线 $l_{n + 1}$ 的方程为 $y = 3 x_{n}^{2} \cdot x - 2 x_{n}^{3} + 3$ C、 $x_{n + 1} = \frac{2}{3} x_{n} + \frac{1}{x_{n}^{2}}$ D、对任意非负整数 $n, \frac{4}{3} x_{n} + x_{n + 1} \geq 3$

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19、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ 的左､右焦点为 $F_{1} ､ F_{2}$ ，点 $P$ 为 $C$ 右支上一动点，则下列说法正确的是（）

A、双曲线 $C$ 与双曲线 $\frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{4} = - 1$ 有相同的渐近线 B、若 $|P F_{1}| = 2 |P F_{2}|$ ，则 $△ P F_{1} F_{2}$ 的周长为 $18 + 2 \sqrt{13}$ C、若 $P F_{1} ⊥ P F_{2}$ ，则 $△ P F_{1} F_{2}$ 的面积为2 D、若 $M$ 为圆 $E : {(x + \sqrt{13})}^{2} + y^{2} = 1$ 上一点，则 $|P M| - |P F_{2}|$ 的最大值为7

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20、已知随机变量 $X$ 的分布列如下表所示，则下列结论正确的是（）
$X$
1
2
4
5
$P$
0.2
0.35
$m$
0.3

A、 $m = 0.15$ B、 $E (X) = 2.9$ C、 $E (3 X) = 9$ D、 $D (X) = 2$

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$X$	1	2	4	5
$P$	0.2	0.35	$m$	0.3